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章末过关检测(二) 随机变量及其分布
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．[2022·河北唐山高二期末]若随机变量X的分布列如下表所示，则a的值为( )
X 1 2 3
P 0.2 a 3a
A.0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．[2022·山东济宁高二期末]在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现
不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是(
)
A． B． C． D．
3．在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为( )
A． B． C． D．
4．[2022·江苏无锡高二期末]已知随机变量X～B(2，p)，P(X＝1)＝，则D(X)＝( )
A． B．1 C． D．2
5．已知随机变量X～B(2，p)，Y服从两点分布，若P(X≥1)＝0.64，P(Y＝1)＝p，则
P(Y＝0)＝( )
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
6．[2022·湖南郴州高二期末]3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题
是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理事会吕云辉教授围绕这一主题进行了
深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学
兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3 000名学生平均每天的睡
眠时间X～N(8，1)，则该校每天平均睡眠时间为6～7小时的学生人数约为(结果四舍五入
保留整数)( )
A．64 B．408 C．472 D．815
7．[2022·福建厦门海沧实验中学高二期中]某游泳小组共有20名运动员，其中一级运
动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、
三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能
够晋级的概率为( )
A．0.58 B．0.60 C．0.62 D．0.64
8．[2022·广东中山大学附中高二期中]设0<a<，0<b<，随机变量ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P a b
则当a在(0，)内增大时，( )
A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)增大，D(ξ)减小
C．E(ξ)减小，D(ξ)增大 D．E(ξ)减小，D(ξ)减小
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．[2022·广东云浮高二期末]已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m 3m
下列结论正确的有( )A．m＝ B．E(X)＝ C．E(2X－1)＝ D．D(X)＝
10．[2022·湖北孝感高二期末]袋中装有4个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，从
中不放回的随机取两个球，A表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”，B
表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的有( )
A．事件A与事件B独立
B．事件A与事件B不互斥
C．在事件A发生的前提下，事件B发生的概率为
D．在事件B发生的前提下，事件A发生的概率为
11．[2022·辽宁大连高二期末]坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束．小明是
一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重X(单位：kg)符合正态
分布N(27.5，4)，下列说法正确是( )
A．配重的平均数为27.5 kg
B．P(23.5<X≤29.5)＝0.818 6
C．σ＝2
D．10 000使用该器材的人中，配重超过33.5 kg的有135人
12．[2022·山东青岛高二期末]已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述
正确的是( )
A．若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5
B．若共进行10次射门，则命中5次的概率最大
C．若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1
D．若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2022·河北张家口高二期末]随机变量X～N(1，22)，则P(X>3)≈________．(精确
到0.000 1).
14．[2022·福建三明高二期中]设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则
P(<X<)＝________．
15．[2022·江苏宿迁高二期末]已知随机变量ξ～B(n，p)，P(ξ＝1)＝，E(ξ)＝4，则D(ξ)
的值为________．
16．[2022·山东济宁高二期中]甲、乙、丙三人投篮命中率分别为，，，现三人各投篮
一次，记三人命中的总次数为 X，则至少有一人命中的概率为________，E(X)＝
________．(结果用最简分数表示，第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水
线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表：
分组区间(单
(490，495] (495，500] (500，505] (505，510] (510，515]
位：克)
产品件数 3 4 7 5 1
已知包装质量在(495，510]中的产品为一等品，其余为二等品．
(1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率；
(2)从该流水线上任取2件产品，设X为一等品的产品数量，求X的分布列．18．(本小题满分12分)为了丰富学生的课外活动，某校举办“最强中学生”知识竞赛
活动．经过前期的预赛和半决赛，最终甲、乙两个班级进入决赛．决赛共设三个项目，每
个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得
冠军．已知甲班级在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.6，各项目的比赛结果相互
独立．
(1)求甲班级获得冠军的概率；
(2)用X表示乙班级的总得分，求X的分布列与期望．
19．(本小题满分12分)[2022·广东广州高二期中]共享电动车(shared ev)是一种新的交通
工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放
了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任
取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．
(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；
(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望．
20．(本小题满分12分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息
如表所示．
甲公司 乙公司
职位 A B C D 职位 A B C D
月薪/千元 5 6 7 8 月薪/千元 4 6 8 10
获得相应 获得相应
0.4 0.3 0.2 0.1 0.4 0.3 0.2 0.1
职位概率 职位概率
(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的
人数和为η，求η的分布列；
(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率；
(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理
由．21．(本小题满分12分)[2022·福建三明高二期末]有3箱同一品种的零件，每箱装有10
个零件，其中第一箱内一等品6个，第二箱内一等品4个，第三箱内一等品2个，现从3
箱中随机挑出一箱，然后从该箱中依次随机取出2个，取出的零件均不放回，求：
(1)第1次取出的零件是一等品的概率；
(2)在第1次取出的零件是一等品的条件下，第2次取出的零件也是一等品的概率．
22．(本小题满分12分)[2022·河北沧州高二期末]李师傅每天都会利用手机在美团外卖
平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为
1 000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，
每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在[1 000，1 050](单位：克)上的有60份，重量
在[950，1 000)(单位：克)上的有40份．
(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅
为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有X份，试以这
100天的频率作为概率，求X的分布列与数学期望；
(2)已知如下结论：若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取k(k∈N*，k≥2)个数据，记
这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N(μ，).记李师傅这100天购买的每份水果平均重
量为Y克，试利用该结论来解决下面的问题：
①求P(Y≤990)；
②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在[950，1 050](单位：克)上，且每份水
果重量的平均值Y＝988.72，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果
缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的．
附：通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
