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本册过关检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知数列{a }的通项公式为a＝n2＋n.则12是该数列的第( )
n n
A．2项 B．3项 C．4项 D．5项
2．中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国
赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水
面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系h(t)＝10－5t2＋5t，则该运动
员在起跳后1秒时的瞬时速度为( )
A．10米/秒 B．－10米/秒 C．5米/秒 D．－5米/秒
3．等差数列{a }中，已知a＋a＝6，则S＝( )
n 3 7 9
A．36 B．27 C．18 D．9
4．设单调递增的等比数列{a }满足＋＝，aa＝36，则公比q＝( )
n 1 5
A． B． C．2 D．
5．已知函数f(x)＝sin x－mx为增函数，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，1] C．(－1，1) D．[1，＋∞)
6.
在一次劳动实践课上，甲组同学准备将一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁．如图，
已知矩形的宽为b，高为h，且梁的抗弯强度W＝bh2，则当梁的抗弯强度W最大时，矩形
的宽b的值为( )
A．d B．d C．d D．d
7．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是
数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]平均分
为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别平
均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：……；如此这样．每次在上一次
操作的基础上，将剩下的各个区间分别平均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过
程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若去掉的各区间长度
之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为( )
(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
A．4 B．5 C．6 D．7
8．过点(0，b)作曲线y＝ex的切线有且只有两条，则b的取值范围为( )
A．(0，1) B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．(0，1]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知等差数列{a }的公差为d，前n项和为S，且S＝S
12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由
于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能
保持原有的利润增长率．设经过 n年之后，该项目的资金为 a 万元．(取lg 2≈0.30，lg
n
3≈0.48)，则下列叙述正确的是( )
A．a＝2 200
1
B．数列{a }的递推关系是a ＝a×(1＋20%)
n n＋1 n
C．数列{a －1 000}为等比数列
n
D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番(即为原来的2倍)的目标
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．设数列{a }为等差数列，若a＋a＋a＝15，则a＝________．
n 2 5 8 5
14．在等比数列{a }中，a＝2，则前5项之积为____________．
n 3
15．已知函数f(x)＝ex－a(x＋3)，若f(x)有两个零点，则a的范围是________________．
16．已知函数f(x)＝ex(x－1)，则f(x)的极小值为____________；若函数g(x)＝mx－，对
于任意的x∈[－2，2]，总存在x∈[－1，2]，使得f(x)>g(x )，则实数m的取值范围是
1 2 1 2
____________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(10分)已知等差数列{a }满足a＝2，前4项和S＝7.
n 3 4
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设等比数列{b }满足b＝a，b＝a ，求数列{b }的通项公式．
n 2 3 4 15 n18．(12分) 记正项数列{a }的前n项和为S，已知a＝2，____________．
n n 1
从①S ＝；②＝；③a－a＝a ＋a 这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答
n n＋1 n
下面的问题：
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)求数列的前n项的和T，求证：T<1.
n n
19．(12分)已知函数f(x)＝－x3＋x2＋3x＋1.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求f(x)在区间[0，6]上的最值．
20．(12分)已知数列{a }的通项公式为：a ＝，其中a＝.记S 为数列{a }的前n项和．
n n＋1 1 n n
(1)求a ，S ；
2021 2022
(2)数列{b }的通项公式为b＝S ·2n－1，求{b }的前n项和T.
n n 3n n n
21．(12分)已知函数f(x)＝x sin x.
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性，并说明理由；
(2)求证：函数f(x)在上有且只有一个极值点．22．(12分)已知函数f(x)＝x－x ln x－1.
(1)证明：f(x)≤0；
(2)若ex≥ax＋1，求a.
