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章末质量检测(三) 圆锥曲线的方程
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C． D．
2．过椭圆＋＝1左焦点 F 引直线 l交椭圆于 A、B两点，F 是椭圆的右焦点，则
1 2
△ABF 的周长是( )
2
A．20 B．18
C．10 D．16
3．已知焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为(
)
A． B．
C．2 D．
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于
Q点，且PF＝4FQ，则点P到准线l的距离为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲
线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的
一部分，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm，点A与点C，点B与点D均
关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝36 cm，则|AD|＝( )
A．12 cm B．6 cm
C．38 cm D．6 cm
6．已知椭圆mx2＋5my2＝5的一个焦点坐标是(－2，0)，则m＝( )
A．5 B．2
C．1 D．
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，以O为圆心的圆交抛物线于A、B两点，
交准线于M、N两点，若|AB|＝4，|MN|＝2，则抛物线方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝10x
8．已知F，F 是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上．当△PF F 的面积最
1 2 1 2
大时，△PF F 的内切圆半径为( )
1 2A． B．
C．1 D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．关于双曲线－＝1，下列说法正确的有( )
A．虚轴长为8 B．渐近线方程为y＝±x
C．焦点坐标为(±5，0) D．离心率为
10．已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则下列选项正确的是( )
A．当m＝n时，方程表示的曲线是圆
B．当mn<0时，方程表示的曲线是双曲线
C．当m>n>0时，方程表示的曲线是椭圆
D．当m＝0且n>0时，方程表示的曲线是抛物线
11．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2，则( )
A．椭圆的方程为＋＝1 B．椭圆与双曲线2y2－2x2＝1的焦点相同
C．椭圆过点 D．直线y＝k(x＋1)与椭圆恒有两个交点
12．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线交于
两点A，B，与抛物线的准线交于点D，|BF|＝1，则( )
A．|BD|＝2 B．p＝
C．点A到准线的距离为2 D．点F为线段AD的中点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．双曲线mx2＋y2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝________．
14．过抛物线x2＝2y焦点的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为
4，则线段AB的长度为________．
15．已知线段AB的长度为3，其两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，点M满足
2AM＝MB.则点M的轨迹方程为________．
16．已知双曲线－＝1，(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F(－c，0)，F(c，0)，过F 的
1 2 1
直线l与圆C：＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF ⊥x轴，则直线l
2
的斜率是________，双曲线的渐近线方程为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作斜率为
1 2 2
的弦AB.求：
(1)弦AB的长；
(2)△FAB的周长．
118．(本小题满分12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为
F，抛物线上一点A的横坐标为2，且FA·OA＝16.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M(8，0)作直线l交抛物线于B，C两点，设B(x ，y)，C(x ，y)，判断OB·OC
1 1 2 2
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
19．(本小题满分12分)已知P是椭圆C ：＋y2＝1上的动点，F ，F 分别是C 的左、
1 1 2 1
右焦点，点Q在FP的延长线上，且∠PQF ＝∠PF Q，记点Q的轨迹为C .
1 2 2 2
(1)求C 的方程；
2
(2)直线l与C 交于A，B两点，与C 交于M，N两点，若MN的中点为T，求AB的
1 2
中点坐标．
20．(本小题满分12分)已知直线l：ax－y－1＝0与双曲线C：x2－2y2＝1相交于P、Q
两点．
(1)当a＝1时，求|PQ|；
(2)是否存在实数a，使以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出a的值；若不存
在，说明理由．
21．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋2与C交于A，
B两点且OA⊥OB(O为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；
(2)设P(2，2)，若直线PA，PB的倾斜角互补，求k的值．
22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，离心率
1 2
为，且过点(0，1).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F 的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A、B非椭圆顶点)，求 · 的
1 ⃗F A ⃗F B
2 2
最大值．
