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章末质量检测(一) 空间向量与立体几何
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．)
1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，5，2)关于xOy坐标平面的对称点为( )
A．(－1，5，2) B．(1，－5，2)
C．(1，5，－2) D．(－1，－5，－2)
2．已知三维数组a＝(2，－1，0)，b＝(1，k，7)，且a⊥b，则实数k的值为( )
A．－2 B．2
C． D．－9
3．平面α的一个法向量n＝(2，0，1)，点A(－1，2，1)在α内，则点P(1，2，3)到平
面α的距离为( )
A．2 B．
C． D．
4.
在长方体ABCD ABC D 中，M为棱CC 的中点．若AB＝a，AD＝b， ＝c，则
1 1 1 1 1 ⃗A A
1
AM等于( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．a＋b＋c D．a－b＋c
5．空间三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则( )
A．AB与AC是共线向量 B．AB的单位向量是(1，1，0)
C．AB与BC夹角的余弦值为 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5)
6．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(－2，2，1)，c＝(3，4，z)，若a，b，c共面，则z等
于( )
A．－9 B．－5
C．5 D．9
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD
所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵
ABC ABC 中，若AC＝BC＝1，AA ＝2，点P为线段BA 的中点，则点P到平面ABC
1 1 1 1 1 1 1
的距离为( )
A．3 B．1
C． D．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列空间向量为单位向量且与x轴垂直的有( )
A．a＝(1，0，0) B．b＝(0，0，1)
C．c＝(0，，) D．d＝(0，，)
10．给出下列命题，其中不正确的有( )
A．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角
B．若AB＋CD＝0，则AB与CD一定共线
C．若AB＝CD，则AB与CD为同一线段
D．非零向量a、b、c满足a与b，b与c，c与a都是共面向量，则a、b、c必共面
11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(1，1，1)，A(1，0，1)，B(0，1，0)，则下
列说法正确的是( )
A．点P关于yOz平面对称的点的坐标为(－1，1，1)
B．若平面α的法向量n＝(2，－2，2)，则直线AB∥平面α
C．若PA，PB分别为平面α，β的法向量，则平面α⊥平面β
D．点P到直线AB的距离为
12．在正方体ABCD ABC D 中，E，F分别是AD 和C D 的中点，则下列结论错
1 1 1 1 1 1 1 1
误的是( )
A．AC ∥平面CEF B．BD⊥平面CEF
1 1 1
C．CE＝DA＋ －DC D．点D与点B 到平面CEF的距离相等
⃗DD 1
1
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)
13．已知向量 a＝(1，－2，3)，b＝(λ－1，3－λ，－6)，若 a∥b，则实数 λ＝
________．
14．如图，长方体 ABCD ABC D 中，AA ＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是
1 1 1 1 1
DD ，AB，CC 的中点，则异面直线AE与GF所成角为________．
1 1 1
14题图
15题图16题图
15．如图，在平行六面体ABCD ABC D 中，底面是边长为1的正方形，若∠AAB
1 1 1 1 1
＝∠AAD＝60°，且AA＝3，则AC的长为________．
1 1 1
16．如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD ABC D 中，AB，AD， 两两夹角
1 1 1 1 ⃗A A
1
均为，则 ·BD＝________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的
⃗AC
1
平面与直线AC 垂直．这三个顶点可以是________．
1
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知空间三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4).
(1)求向量AB与AC夹角θ的余弦值；
(2)求向量AB在向量AC上的投影向量a.
18.
(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC ABC 中，M，N分别是AB，BC 上的点，且
1 1 1 1 1 1
BM＝2AM，C N＝2BN.设AB＝a，AC＝b，AA＝c.
1 1 1 1
(1)试用a，b，c表示向量MN；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA＝∠CAA＝60°，AB＝AC＝AA＝1，求MN的长．
1 1 119.
(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCD ABC D 的棱长为2，E，F，G分别为
1 1 1 1
AB，BC，BB 的中点．
1
(1)求证：平面ADC ∥平面EFG；
1 1
(2)求平面ADC 与平面EFG间的距离．
1 1
20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平
面ABCD，E为PD的中点，PA＝AB＝1.
(1)求证：AE⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值．21．(本小题满分12分)如图所示，在直四棱柱ABCD ABC D 中，E为AA 上靠近点
1 1 1 1 1
A 的三等分点．
1
(1)若F为BB 的中点，试在AB 上找一点P，使PF∥平面CDE；
1 1 1 1
(2)若四边形ABCD是正方形，且BB 与平面CDE所成角的正弦值为，求二面角E
1 1
DC D的余弦值．
1
22.
(本小题满分12分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ACEF⊥平面ABCD，AD∥BC，
AB⊥AD，AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求证：CD⊥AF；
(2)若四边形ACEF为矩形，且∠EDC＝30°，求直线DF与平面DCE所成角的正弦值；
(3)若四边形ACEF为正方形，在线段AF上是否存在点P，使得二面角P BD A的余
弦值为？若存在，请求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．
