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章末质量检测(一) 平面向量及其应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM化简后等于( )
A.AM B．0
C．0 D.AC
2．已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(2m，m＋1)，若
AB∥OC，则实数m的值为( )
A. B．－
C．－3 D．－
3．△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b＋c)(b
－c)＝a(b－a)，则内角C等于( )
A. B.
C. D.
4．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，AB·AC＝－1，则△ABC的面积为(
)
A. B．1
C. D.
5．已知向量a＝(x,2)，b＝(2，y)，c＝(2，－4)，且a∥c，b⊥c，则 |a
－b|＝( )
A．3 B.
C. D．2
6.
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内
的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并
在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝( )
A．3米 B．20米
C．5米 D．15米
7．已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)，外心(三条边
的中垂线交点)，重心(三条中线交点)，垂心(三个高的交点)之一，且满
足2AP·BC＝AC2－AB2，则点P一定是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心8．如图，在等腰直角△ABC中，D，E分别为斜边BC的三等分点
(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则AF＝( )
A.AB＋AC
B.AB＋AC
C.AB＋AC
D.AB＋AC
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题
给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选
对的得3分，有选错的得0分)
9．设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )
A．0·a＝0
B．(a·b)c＝a(b·c)
C．a·b＝0⇒a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
10．点 P 是△ABC 所在平面内一点，满足|PB－PC|－|PB＋PC－
2PA|＝0，则△ABC的形状不可能是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
11．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若
△ABC中A为钝角，则实数k的值可以是( )
A．1 B．－
C．－1 D．－2
12．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下面条
件中，能使得△ABC的形状唯一确定的有( )
A．a＝1，b＝2，c∈Z
B．A＝150°，asin A＋csin C＋asin C＝bsin B
C．cos Asin Bcos C＋cos (B＋C)cos Bsin C＝0，C＝60°
D．a＝，b＝1，A＝60°
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设向量a＝(－3,0)，b＝(－2,6)，则b在a上的投影为________．
14．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a⊥(a＋b)，则a与b夹角的大
小是________．
15．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在
BC上，且AE⊥BD，则AE·BC＝________.16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝4，
角A的平分线交边BC于点D，其中AD＝3，则S ＝________.
△ABC
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字
说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a
＋3b，OC＝ka＋5b.
(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
18.(12分)已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.
(1)求|a＋tb|的最小值及相应的t值；
(2)若a－tb与c共线，求实数t.
19.(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a
＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A；
(2)若S ＝4，求b，c的值．
△ABC
20．(12分)如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一
点，AD＝6，AC＝2，DC＝4，
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长．21.(12分)在①b2＋ac＝a2＋c2，②acos B＝bsin A，③sin B＋cos B
＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c________，A＝，b
＝，求△ABC的面积．
22．(12分)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内的海域
被设为警戒水域．点E正北方向55海里处有一个雷达观测站 A.某时
刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东45°方向且与点A相
距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45
°＋θ方向且与点A相距10海里的位置C.
(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；
(2)若该船不改变航行方向继续行驶，则判断它是否会进入警戒
水域，并说明理由．
