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章末过关检测(一) 计数原理
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．[2022·广东珠海高二期末]书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物
理书，某位同学从中任取1本，共有( )种取法．
A．8 B．7 C．12 D．5
2．[2022·河北张家口高二期末]A－C＝( )
A．2 B．22 C．12 D．10
3．[2022·湖北枣阳高二期中]北京大学一个班级的6名同学准备去参加冬奥会志愿服务
活动，其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选
择不去，则这6名同学不同的去法种数有( )
A．16 B．32 C．48 D．64
4．[2022·福建德化高二期末]甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在
一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是( )
A．6 B．12 C．24 D．48
5．在(x2－)n的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为( )
A．16 B．32 C．1 D．－32
6．[2022·湖南益阳高二期末]若(x2＋x－1)5＝a ＋ax＋ax2＋…＋a x10，则a ＋a ＋a ＋
0 1 2 10 0 2 4
a＋a＋a ＝( )
6 8 10
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．[2022·山东聊城高二期末](＋ax2)6(a∈R)的展开式的常数项为，则展开式中含x3项
的系数为( )
A．－ B． C．－或 D．－或
8．[2022·江苏盐城高二期末]给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、
绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数
为( )
A．24 B．72 C．96 D．144
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．[2022·山东临沂高二期中]如图，标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最
大信息量，现从结点A向结点B传递消息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，小圆圈
表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，则单位时间内传递的信息量可以
为( )
A．18 B．19 C．24 D．26
10．[2022·江苏盐城高二期末]某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技
术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是( )A．若任意选择三门课程，选法总数为C
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为CC－C
11．若x6＝a＋a＋a2＋…＋a6，其中a，a，a，…，a 为实数，则( )
0 1 2 6 0 1 2 6
A．a＝1 B．a＝30
0 4
C．a＋a＋…＋a＝63 D．a＋a＋a＝32
1 2 6 1 3 5
12．[2022·辽宁丹东高二期末]若(x－)n的二项展开式共有8项，则该二项展开式( )
A．各项二项式系数和为128 B．项数为奇数的各项系数和为－64
C．有理式项共有4项 D．第4项与第5项系数相等且最大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2022·江苏宿迁高二期末]如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有________
条不同的线路(每条线路仅含一条通路).
14．[2022·广东韶关高二期末](x－)6的展开式中常数项为________(用数字作答).
15．[2022·江苏苏州中学高二期末]有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日
还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相
同的分配方法种数是________．
16．若(＋)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________，展开式中的x
项为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)[2022·广东梅州高二期末]若(2x＋)n的展开式的二项式系数和为
64.
(1)求n的值；
(2)求展开式的常数项．
18．(本小题满分12分)0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称
这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．19．(本小题满分12分)已知(2x－3)7＝a(x－1)7＋a(x－1)6＋…＋a(x－1)＋a.
0 1 6 7
(1)求a＋a＋a＋…＋a；
0 1 2 7
(2)求a－a.
0 7
20．(本小题满分12分)某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，按下
面要求排出一个节目单，各有多少种排法？
(1)3个语言类节目彼此要隔开；
(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目；
(3)前3个节目中要有语言类节目．
21．(本小题满分12分)某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6
名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．(要求：列出排列组
合算式，并写出详细过程)
(1)抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
22．(本小题满分12分)[2022·湖北襄阳高二期末]已知二项式(5x－)n(n∈N*)的展开式中
各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求n的值及展开式中所有含x的有理项的个数；
(2)求展开式中系数最小的项．
