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专题21.11 实际问题与一元二次方程（分层专项练习）
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120
分；完成时间40——60分钟.
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么
每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据
“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可．
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
，
整理得： ，
解得： ， （舍），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人，
故选：A．
2．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新
宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1
月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量
为： ，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可．
解：设每个月销量的平均增长率为 ，则三月份的销量为： ，
则根据题意有： ，
故选：D
3．（24-25九年级上·河北唐山·期中）两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（ ）
A．26 B．28 C． 或26 D． 或28
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设这两个奇数分别为 ，由题意得方程，求得n的值，
即可求得这两个奇数的和．
解：设这两个奇数分别为 ，
由题意得： ，
即 ，
解得： ，
而 ，
故两个奇数和为： 或28；
故选：D．
4．（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可
售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．
当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元
A．32 B．28 C．32或36 D．32或28
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可．
解：设销售价应定为每件x元，
当涨价时：由题意可得： ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去），
所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元；
当降价时：由题意可得： ，
整理得： ，解得： （舍去）或 ，
所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元；
综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元．
故选D．
5．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程 和时间 之间的关系式
为 ，那么行驶 ，需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程 的值代入求解．
根据路程和时间之间的关系，将 代入求出t即可．
解：依题意得：
，
整理得 ，
解得 （不合题意舍去）， ，
即行驶 需要 ．
故选：C.
6．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县
举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少
支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛
一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答．
解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，
∴ ，
故选：D．7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相
垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面
的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
解：根据题意得： ，
故选：C．
8．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长 的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，
速度每秒增加 ．（提示：本题中，距离 平均速度 时间 ， ，其中 是开始时的速度，
是 秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知， ， ， ，则 ，
然后列出 ，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键解：由题意可知， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： （负值已舍去），
故选： ．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（2025·广东江门·二模）代数式 与代数式 的和为1，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可．
解：∵代数式 与代数式 的和为1，
∴ ，
去分母得， ，
解得， ， ，
经检验， ， 均为原方程的解，
故答案为： 或 ．
10．（24-25九年级下·重庆·期中）目前机器人进入服务行业已经成为产业新风口．某市在2023年服务行
业引进机器人2万台，计划2025年全市服务行业引进机器人3.92万台．设这两年全市机器人台数年平均
增长率为 ，则 值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年全市机器人台数年平均增长率为 ，根据题意列出一
元二次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
解：设这两年全市机器人台数年平均增长率为 ，
由题意可得： ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），∴ ，
故答案为： ．
11．（24-25九年级下·河北秦皇岛·阶段练习）淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果
由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为 ，则另一个正数为 ，根据两个数的
积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解．
解：设其中一个正数为 ，则另一个正数为 ，
由题意得 ，
整理得 ，即 ，
解得 ， ，
∴较大的正数是5，
故答案为：5．
12．（2025·江苏扬州·一模）在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案大1，
则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式．根据题意得关于a的方程
为 ，解方程即可．
解：由题意得： ，
整理得： ，
解得： ，
即a的值为1，
故答案为1．
13．（2025·江苏苏州·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．
后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均
每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为 元．
【答案】
【分析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润 元列出方程求解即可. 本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
解：设定价为x元.根据题意可得，
解之得： ，
∵销售量尽可能大
∴ ，
故答案为：
14．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图， 中， ，点P从点B出
发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出
发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后， 的面积等于4．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
解：设t秒后 的面积等于4，
由题意得： ，则 ，
∵ ，
∴ ，整理得： ，
解得： ， ，
∵点 从点C到点A的时间为 ，∴ ，不合题意，舍去，
∴1秒后， 的面积等于4．
故答案为：1．
三、解答题（4题共计30分）
15.（6分）（24-25八年级下·上海·期末）解方程：
【答案】 或
【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘
以 可得一个关于 的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得 的值，然后进行检验即可得．
解： ，
方程两边同乘以 ，得 ，
去括号，得 ，即 ，
合并同类项，得 ，即 ，
因式分解，得 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
经检验， 和 都是分式方程的解，
所以方程的解为 或 ．
16.（8分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某超市今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品
售价为40元时，一月份销售128件．二、三月该商品销售量持续走高，在售价不变的前提下，三月份的
销售量达到200件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率．
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利1250元？
【答案】（1） ；（2）10元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设二、三这两个月的月平均增长率为 ，利用该商品三月份的销售量 该商品一月份的销售量
二、三这两个月的月平均增长率 ，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
（2）设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，根据商场获利
1250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可．
解：（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：二、三这两个月的月平均增长率为 ；
（2）解：设商品降价 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：当商品降价10元时，商场获利1250元．
17.（8分）（24-25八年级下·浙江温州·期中）实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方
形菜园 （如图）．
素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为 ，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为 的铝合金材料
围建．
素材2：与墙平行的一边上要预留 宽的入口．
任务1：当长方形菜园 的长 为多少米时，菜园的面积为 ？
任务2：能否围成 的长方形菜园？若能，求出 的长；若不能，请说明理由．【答案】任务1： ；任务2：不能，见分析．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系求解，注意围墙 最长可利用 ，舍掉不符合题意的数据．
任务1：根据可以砌 长的墙的材料，即总长度是 ， ，则 ，再根据矩
形的面积公式列方程，解一元二次方程即可；
任务2：利用根的判别式进行判断即可．
解：任务1：解：设 的长为 米，
由题意，得 ，
解得 ， （舍去），
所以 ，
任务2：解：由题意得 ，
方程无解，
不能围成 的长方形菜园．
18.（8分）（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火
爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可
销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为
元/个，每天的销售量为 个．（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？
【答案】（1） ；（2）水杯的售价为50元或38元．
【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加
销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键．
（1）根据题意得 ，注意 的取值范围；
（2）设每个水杯的售价为 元，根据题意列出方程 ，求解即可．
解：（1）解：根据题意得， ．
答： 与 之间的函数关系式为 ．
（2）解：设每个水杯的售价为 元．
根据题意得 ．
解得： ．
答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元．
第二卷【拓展培优】
四、选择题（每小题3分，共12分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案.
19．（26-27九年级上·全国·课后作业）某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润．
已知第一年的利润率为x，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率为 ，这样第二年净得利
润112万元，可求得第一年的利润率x为（ ）
A．10% B．11% C．12% D．13%
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是利用本金×利润率=利润列式解一元二次方程．
第一年的利润率为 ，则第一年的利润为 ，第二年的利润率为 ，由题意列方程即可得出结论．
解：根据题意可知：第一年的利润为 万元，第二年的利润率为 ，利润为 万元，
则可得方程: ，
解得 ， （舍去）故选：C．
20．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．
试营销阶段发现：当销售单价足25元时，每天的销售置为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量
就减少10件．要使每天所得的销售利润为2000元，则销售单价为（ ）
A．30元 B．40元 C．30元或40元 D．10元或20元
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，关键是找到等量关系列出方程．设该文具销售单价为x元，
根据销售利润为2000元列一元二次方程求解．
解：设该文具销售单价为x元，
根据题意得： ，
解得， 或 ，
故选C．
21．（2025·山西朔州·三模）如图，边长为 的正方形纸片 ，剪去阴影部分四个全等的等腰直
角三角形，再沿着虚线折起，可以得到一个长方形盒子，点 ， ， ， 正好重合于上底面一点，且
此长方体盒子的表面积为 ，其中 ．若设 的长为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
设 的长为 ，则 ，根据长方体盒子的表面积为 ，可知阴影部分面积为 ，而阴影部分可以拼接成一个边长为 的正方形，据此建立方程即可．
解：设 的长为 ，则 ，
由题意得 ，
故选：A．
22．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一
瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，
已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香
液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进
驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要
获得275元的利润，则每套需降价（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为 元，则一套驱蚊器的售价为6x元，
进价为 元，列出方程解出即可；
解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为 元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进
价为 元，由题意得：
，
解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润 元
设每套驱蚊器降价a元，由题意得：
，
解得： , （舍去），
故选：A.
五、填空题（每小题3分，共12分）
23．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）两个实数之和为2，之积为 ，则这两个数中较小的数是
．【答案】 /
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设较大的数为 ，那么较小的数为 ，根据它们的积为
，列出方程，求出 的值，再根据两数之积为负数，则这两两个数为一正一负，即可解答．
解：设较大的数为 ，那么较小的数为 ，
根据题意： ，
解得： ，
当 时，则 ，符合题意；
当 时，则 ，不符合题意；
则这两个数中较小的数是 ，
故答案为： ．
24．（23-24九年级上·湖南常德·期中）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎
流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有 人感染，则每轮传染中平均
一个人传染的人数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中
有x人被传染，第二轮传染中有 人被传染，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解之取其符
合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人，故答案为：12．
25．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某网店销售医用外科口罩，每盒售价 元，每星期可卖
盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价 元，每星期可多卖 盒．已知该款口
罩每盒成本价为 元，若该网店某星期获得了 元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售
该款口罩 盒．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程．
根据每降价1元，每星期多卖 盒，该网店想一星期获利 元，列出一元二次方程，求解即可．
解：设该网店降价 元，
则根据题意可得： ，
整理得： ，
解得： ，
∵尽快减少库存，
∴当降价 元时，这星期预期销售 盒口罩，
故答案为 ．
26．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形 的边长为 ， 为 的中点，点 以
的速度从点 出发，沿 向点 运动，同时点Q以 的速度从点 出发，沿 向
点 运动，当点 运动到点 时， 、 两点同时停止运动，若在运动过程中，当 时，
的长度为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程是解题的关键；
分两种情况讨论，当 时和当 时，分别求解即可；
解：如图所示，当 时，点 在线段 上， 在 上，由条件可知 ，
依题意， ， ，则 ； ，
，
，
，
解得： ，此时 ；
如图所示，当 时，点 在线段 上， 在 上，
依题意， ， ，则 ， ，
，
解得： 或 （舍去），
此时 ．综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
六、解答题（12×2=24分）
27.（12分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）该方程无解
【分析】本题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算步骤．
（1）方程去分母，去括号，移项合并，再结合解一元二次方程的公式法求解，最后检验，即可解题．
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为 ，最后检验，即可解题．
解：（1）解：
，
，
，
经检验， 是该方程的解，
方程的解为 ；
（2）解：，
经检验， 使得 ，
是该方程的增根，
故该方程无解．
28.（12分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家
挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21
天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450
斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤
圆？
（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋
手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤
圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋
的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】（1）总共生产了 袋手工汤圆；（2）促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了 袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出
方程即可；
（2）设促销时每袋应降价 元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
解：（1）设总共生产了 袋手工汤圆，
依题意得，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
答：总共生产了 袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价 元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得 （舍去）
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，
正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
