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第二章 相交线与平行线
2.3 平行线的性质
基础篇
一、单选题
1．（2022春·广西防城港·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等
C．两直线平行，同旁内角相等 D．垂线段最短
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可判断A，C，根据对顶角的性质可判断B，根据垂线段的性质
可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A．两直线平行，内错角相等，原说法正确，不合题意；
B．对顶角相等，原说法正确，不合题意；
C．两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，符合题意；
D．垂线段最短，原说法正确，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，垂线段的性质，熟记以上几何性质
与概念是解本题的关键．
2．（重庆市沙坪坝区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，直线 被
直线 所截， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”和“邻补角互补”来求∠2的度数．
【详解】解： ,
,故选择：B
【点睛】本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：定理1：两条平行线被第三条直线
所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条
直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线
被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
3．（2022春·江苏常州·七年级常州市清潭中学校考期中） 与 是同旁内角， ，
下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． 或 D． 的大小不确定
【答案】D
【分析】两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系．
【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，
同旁内角才互补．
∴ 的大小不确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，特别注意，同旁内角互补的条件是两直线平行．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线 ， 的直角顶点A落在直线
上，点B落在直线 上，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ .
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.
5．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）如图，如果 ， ，那么 的度数
为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的判定与性质即可求 的度数．
【详解】解：如图，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ，则下列各式中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即
可得到结论．
【详解】∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
二、填空题
7．（2023秋·陕西咸阳·八年级统考期末）一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线
上， ，则 _________°．
【答案】
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意得出 的度数是解题的关键．
8．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，直线 ， ， ，
则 ________ ．
【答案】
【分析】如图：延长AB交 于E，根据平行线的性质可得 ，根据 可
得 ，根据平行线的性质可得 ，即可求出 的度数．
【详解】如图：延长AB交 于E，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，通过内错角相等证得 是解题关键．
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图， 和 的角平分线交于点
E，延长 交 于点F， ，则 _________．
【答案】58°##58度
【分析】依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到
，进而得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴
∵ 平分
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同
旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
10．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）如图，将一个直角三角形的直角顶点放在一个长方形的一边上，如果 ，那么 ______度．
【答案】
【分析】根据平行线的性质可得 ，再根据平角的定义结合 即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义．理解和掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图 平分 ， ， ．
求 的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义求出 度数，再根据平行的性质就可求出 的度数．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟记角平分线的定义是解题的关键．
12．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知三角形 的顶点 ， 分别在直线和 上，且 ．若 ， ．
(1)当 时，求 的度数．
(2)设 ， ，求 和 的数量关系（用含 ， 的等式表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；
（2）过点过 点作 ，可得 ，根据两直线平行，同旁内角互补得
到 ， ，由此得到
，在 中， ，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图所示，过 点作 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定
理是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022春·广东河源·七年级校考期中）如图，将一个宽度相等的纸条按如图所示沿
折叠，已知∠1=50°，则 _______．
【答案】100°
【分析】先根据图形折叠的性质求出∠3的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵将一个宽度相等的纸条按如图所示沿AB折叠，
∴ ，
．
故答案为100°．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；翻折变换的性质，即折叠是
一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对
应角相等．
2．（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）已知射线 ，连接 ，点P是射线
上的一个动点（与点A不重合）， ， 分别平分 和 ，分别交射线
于点C，D．当 时，则 ______度，（用含x的代数式表示）【答案】
【分析】由角平分线的定义可得 ， ，从而得到
，再由平行线性质得 ，从而可求解；
【详解】解：∵ ， 分别平分 和 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，结合图形并熟练掌握相关性质及定
理是解题的关键．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图， ， 平分 ，
， ，则 ________度．
【答案】110
【分析】过点E作 ，过点F作 ，利用余角的性质 ，
根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义和平行线的性质得到
， ，将 转化为 ，最后根
据平角的性质即可得到答案．【详解】解：过点E作 ，过点F作 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质余角，平角等知识，解题关键是熟练
掌握两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，已知 ， 平分 ， 平分 ，
， ，则 的度数为___________．（用含n的式子表示）【答案】
【分析】首先过点E作 ，由平行线的传递性得 ，再根据两直线平
行，内错角相等，得出 ， ，由角平分线的定义
得出 ， ，再由两直线平行，内错角相等得出
，由 即可得出答案．
【详解】解：如图，过点E作 ，则 ，
，
∴ ， ，
又∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握
平行线的性质和角平分线的定义．5．（2023春·江苏·七年级专题练习）下列各图中的 与 平行．
（1）图①中的 _____度，图②中的 _____度，图③中的
_____度，图④中的 _____度，…，第
⑩个图中的 _____度
（2）第n个图中的 _____．
【答案】 180 360 540 720 1620
【分析】（1）分别过 、 、 ．．．作 的平行线，利用平行线的性质求解即可；
（2）根据（1）的计算总结出规律即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
如图，分别过 、 、 ．．．作MA 的平行线，
1
同理可得：图②中的 ，
图③中的 ，
图④中的 ，
…，
第⑩个图中的 ；
故答案为：180，360，540，720，1620；
（2）第n个图中的 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，图形规律探究，根据题意作出辅助线，构造出平行
线是解答此题的关键．二、解答题
6．（2022春·广西防城港·七年级校考阶段练习）如图，已知四边形ABCD中，∠D＝
100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC＝70°．
(1)AD与BC平行吗？试写出推理过程；
(2)求∠DAC和∠EAD的度数．
【答案】(1)平行，详见解析
(2)40°；70°
【分析】（1）根据角平分线定义求出 ，得出 ，根据平行线的判
定推出即可．
（2）根据平行线的性质求出 代入 求出即可．
【详解】（1）解： ，
理由是： 平分 ，
（2）
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义等，正确的识别图形是解题的关
键．
7．（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图1，直线 ，点A是直线 上一点，
点C是直线 上一点，点B是直线 、 之间的一点．(1)过点B作 ，试说明： ；
(2)如图2， 平分 ， ， 平分 ，当 时，点C在直
线 右侧运动的过程中， 的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明
理由．
【答案】(1)见解析；
(2)是， ．
【分析】（1）依据平行公理推论得到 ，结合“两直线平行内错角相等”可
得 ， ，最后进行等量代换得到结果；
（2）设 ，则 ， ，结合（1）、角平分线和平行线的性质
可求出 从而得到结论
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
由（1）证得 ，又
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，点C在直线 右侧运动的过程中， 的度数保持不变， ．【点睛】本题考查了平行公里的推论、平行线的性质、角平分线的性质；解题的关键是运
用平行线的性质对角进行等量代换．
8．（2023春·七年级课时练习）已知直线 ， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直
线l3和直线l1，l2交于C和D，直线 上有一点P．
(1)如果P点在C，D之间运动时，问 ， ， 有怎样的数量关系？请说明
理由．
(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索 ， ，
之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
【答案】(1)
(2)当点 在直线 上方时， ；当点 在直线 下方时，
．
【分析】（1）过点 作 ，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出
，再由“两直线平行，内错角相等”得出 、 ，再
根据角与角的关系即可得出结论；
（2）按点 的两种情况分类讨论：①当点 在直线 上方时；②当点 在直线 下方时，
同理（1）可得 、 ，再根据角与角的关系即可得出结论．
【详解】（1）解： ．
过点 作 ，如图1所示．
， ，
，
， ，
，．
（2）解：结论：当点 在直线 上方时， ；当点 在直线 下方时，
．
①当点 在直线 上方时，如图2所示．过点 作 ．
， ，
，
， ，
，
．
②当点 在直线 下方时，如图3所示．过点 作 ．
， ，
，
， ，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错
角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的
性质得出相等（或互补）的角是关键．
