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专题 19.31 一次函数几何分类专题（折叠问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·广东梅州·期末）已知直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ， 是
线段 上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处，则直线 的函数解析式是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是长方形，
，将 沿直线 折叠，此时点A落在点D处， 与 交于点E，且 ，
则 所在直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．（17-18八年级下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣ x+6与x，y轴分别
交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，
则点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0， ） C．（0， ） D．（0， ）
4．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点O为原点， ， （
），点 在线段 上．将 沿着直线 折叠，点A的对称点是点C．若 ，下
列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴，y轴交
于A，B两点，以 为底边在y轴的右侧作等腰 ，将 沿y轴折叠，使点C恰好落在直线
上，则C点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中， 在 轴正半轴上， 在 轴正半轴上，
以 ， 为边构造矩形 ，点 的坐标为 ， ， 分别为 ， 的中点，将 沿 折
叠，点 的对应点 恰好落在 上，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
7．（18-19八年级下·河北保定·阶段练习）如图，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点，在
轴的负半轴上有一点 ，若将 沿直线 折叠得到 ，点 在 轴上，则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
8．（19-20八年级上·重庆·期中）如图，已知点 的坐标为 ，过点 作 轴的垂线交 轴于点 ，
连接 ，现将 沿 折叠，点 落在第一象限的 处，则直线 与 轴的交点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（18-19八年级下·河南安阳·期末）如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（4，2） C．（3，2） D．（﹣1，2）
10．（21-22九年级下·江西吉安·期中）如图，折叠 ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C
落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若 ABCD的面积是8，则下列结论中
正确的是（ ）
A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，直线 与 轴和 轴分别交于 两点，第四象
限中有一点 ，连接 ， ， 轴．将 沿 折叠，使点 落在点 处．若在 轴上
存在一点 ，满足 ，则点 坐标为 ．12．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知 ， ， 与 交于点A，垂直于
轴的直线 交 轴于点 ．若点 为直线 上一点，将 沿 折叠，使得点 落在直线 上，
则点 的纵坐标为 ．
13．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在 轴上点 处，则点 的坐标为 ．
14．（22-23八年级下·福建泉州·期中）已知 ， ，将 沿着某直线 折叠后如图所
示， 与 轴交于点 ，与 交于点 ，则点 坐标是 ．15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在菱形 中，点C在x轴上， ，
，M为边 的中点，N为边 上一动点（不与点O重合），将 沿直线 折叠，使点O
落在点E处，连接 ， ，当 为等腰三角形时，直线 的解析式是 ．
16．（2023·辽宁沈阳·一模）如图，四边形 是矩形， 在 轴上， 在 轴上，函数 的
图象与 交于点 ，点 是射线 上一点，沿 折叠点 恰好落在函数 的图象上，且
，则点 的坐标为 ．
17．（21-22八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，长方形 中，点B与原点O重合，点A在y轴
的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为 中点，F为 上一点，将 沿 折叠后，点A恰好
落到 上的点G处， 所在的直线方程为 ，则折痕EF的长为 ．18．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连接 ，将
线段 沿过点 的直线折叠，使点 落在 轴上的点 处，折痕所在的直线交 轴于点 ，则直线 的
表达式为 .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）如图，把矩形 放入平面直角坐标系 中，
使 分别落在x、y轴的正半轴上，其中 ，对角线 所在直线解析式为 将矩形
沿着 折叠，使点A落在边 上的点D处．
（1）求点A的坐标； （2）求 的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若
不存在，请说明理由．
20．（8分）（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线 经过点 ，与直线 交
于点 ，与 轴交于点 ，点 为直线 上一动点，过 点作 轴的垂线交直线 于点 ．
（1）求点A的坐标；
（2）当 时，求 的面积；（3）连接 ，当 沿着 折叠，使得点 的对应点 落在直线 上，求此时点 的坐标．
21．（10分）（23-24八年级上·江苏·周测）如图所示，把长方形纸片 放入直角坐标系 中，
使 、 分别落在x、y轴的正半轴上，连接 ，且 ，
（1）求 所在直线的解析式；
（2）将纸片 折叠，使点A与点C重合（折痕为 ），求折叠后纸片重叠部分的面积．
（3）求 所在的直线的函数解析式．
22．（10分）（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 交坐标轴于点
， ，点C为x轴正半轴上一点，连接 ，将 沿 所在直线折叠，点B恰好与y轴上
的点D重合．
（1）求直线 对应的函数表达式；
（2）P为直线 上一点， ，求点P的坐标；
（3）若点Q在x轴上，且 为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．23．（10分）（23-24八年级上·广东茂名·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点
，与 轴交于点 ，点 在 轴上运动，连接 ，将 沿直线 折叠，点 的对应点记
为 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若点 恰好落在直线 上，求 的面积；
（3）如图2，若 恰好与 轴平行，且边 与线段 有交点，设交点为 ，在 轴上是否存在
点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、
y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为 ．
（1）如图1，连接 ，将 沿直线 折叠，点O的对应点点C恰好落在 上，则 ；（2）如图2，取线段 的中点E，连接 ，过点E作 ，交x轴于点Q．将 沿 所
在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接 ．
①猜想 的度数，并证明；
②求证： ；
（3）连接 ，请直接写出直线 的解析式（用含有a的代数式表示）．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，轴对称折叠的性质．由解析式
，可得 ， ，根据勾股定理， ， 中，构建方程求解得 ，
于是 ，运用待定系数法求解即可．
解：对于 ，当 时， ；
当 时， ， ；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
由折叠知， ．
∴ ．中， ，
∴ ，
解得， ．
∴ ，
设直线 的解析式为 ，得
，解得 ，
∴ ．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为 ，
则 ， ，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求
出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
解：∵四边形 是长方形， ，
∴ ，
设点E的坐标为 ，则 ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E的坐标为 ，
设 所在直线的解析式为 ，
将点 代入 中，
得 ，解得： ，
∴ 所在直线的解析式为 ．
故选C．
3．D【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，
再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，
利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
解：过C作CD⊥AB于D，如图，
对于直线y=- x+6，
当x=0，得y=6；当y=0，x=8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，
∴AB=10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=6-n，
∴DA=OA=8，
∴DB=10-8=2，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+22=（6-n）2，解得n= ，
∴点C的坐标为（0， ）．
故选D．
【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也
考查了折叠的性质和勾股定理．
4．D
【分析】本题考查轴对称性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、两点坐标距离公式，熟练掌握
一次函数的图象与性质是解答的关键．根据轴对称性质，判断出点C在y轴上，再根据坐标与图形，结合
勾股定理列关于m、n、t的方程，再利用待定系数法求得直线 的解析式，从而得到t与m、n的关系，
然后逐项代值求解即可．解：∵点 在直线 上，
∴ ，
∵ 沿着直线 折叠，点 的对称点是点C，
∴点C在y轴上，且 ，故选项A正确，不符合题意；
设直线 的表达式为 ，
将 、 代入，得 ，则 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵点 在线段 上，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ②，
由①②解得 ，
∴ ，故选项B正确，不符合题意；
∵ ， ， ，
所以 正确，故选项C正确，符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故选项D不正确，符合题意，
故选：D
5．A
【分析】先求点 的坐标，根据“以 为底边在y轴的右侧作等腰 ”可求C点的纵坐标，进
而可求C点的对应点坐标为，即可求解．解：由题意得：点 的坐标为：
∵以 为底边在y轴的右侧作等腰
∴C点的纵坐标为
将 沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为
∵点C恰好落在直线 上
∴ ，
即C点的对应点坐标为
则C点的坐标为
故选：A
【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．
6．A
【分析】先求得直线 的解析式，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设点
，在 中，再利用勾股定理得到关于 的方程，解方程即可．
解： 点 的坐标为 ，四边形 是矩形， ， 分别为 ， 的中点，
， ， ，
由折叠的性质可得： ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设点 ，
则 ， ，
在 中， ，
，
解得： 或 （不合题意，舍去），
当 时， ，
点 的坐标为 ，
故选：A．
【点拨】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的
性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意易得点 ，则根据勾股定理可得AB=10，设点 ，则有 ，
AC=AB=10，OC=16，然后利用勾股定理可求解．
解：令x=0时，则有y=8，令y=0时，则有 ，解得x=6，
∴点 ，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中， ，
∵将 沿直线 折叠得到 ，
∴AB=AC=10，BD=DC，∴OC=16，
设点 ，则有 ， ，
在Rt△DOC中， ，即 ，
解得： ，
∴点 ；
故选A．
【点拨】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及勾股定理、折叠的性质是
解题的关键．
8．D
【分析】根据对称性得到∠BAO=∠CAO，由AB∥y轴得∠COA=∠BAO，可推出CA=CO，再根据勾股定
理即可求得OC，进而求出直线AD解析式即可得结论．
解：根据翻折可知：
∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠AB'O=90°，AB'=AB=9，OB'=OB=3．
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠BAO=∠COA，
∴∠CAO=∠COA，
∴CA=CO，
设CA=x，则CO=x，CB'=9﹣x，
在Rt△OCB'中，根据勾股定理，得
OC2=OB'2+B'C2，即x2=32+（9﹣x）2，
解得：x=5，
∴OC=5，
∴C（0，5），
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A（﹣3，9），C（0，5）代入，得
b=5，﹣3k+5=9，
解得：k ，∴直线AD解析式为y x+5，
当y=0时，x ，
∴D点的坐标为（ ，0）．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是根据勾股定理求得
OC的长．
9．A
【分析】由直线y=2x+4与y轴交于点B，可得OB=4，再根据 OBC是以OB为底的等腰三角形，可得
点C的纵坐标为2，依据 OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线△AB上，即可得到点C的横坐标为1．
解：∵直线y=2x+4与△y轴交于点B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
又∵△OBC是以OB为底的等腰三角形，
∴点C的纵坐标为2，
∵△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，
∴当y=2时，2=2x+4，
解得x=-1，
∴点C的横坐标为1，
∴点C的坐标为（1，2），
故选A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、翻折变换的性质、一次函数的性质；熟练掌握翻折变换和等
腰三角形的性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得 ， ，从而证明四边形
AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得 ；设点E到BG的距离为 ，
结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
解：∵折叠 ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，
∴ ， ， ，四边形 面积=四边形 面积
∵ ABCD
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即选项B不正确；
∴
∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形 面积=四边形 面积
∴ 四边形 面积= +四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x， ABCD的面积是8
∴ ，即
∵点E在AD边上
∴ 四边形BCDE面积 ，即
∴ ，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵ 四边形 面积
∴ 四边形 面积
∴ ，即
∴
∴ ，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．【点拨】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴
对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
11．
【分析】先求出点 ，点A的坐标为 ，根据等腰三角形的性质求出
，根据 轴，得出 ，说明点 在y轴上，
，求出 ，证明 ，得出 ，求出 ，即可得出答案．
解：把 代入 得： ，则点 ，
把 代入 得： ，解得： ，
则点A的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿 折叠，使点 落在点 ，
∴点 在y轴上， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的几何综合，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，平行线的性
质，等腰三角形的判断和性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，说明点 在y轴上．
12．1或7/7或1
【分析】先求出点 ，根据两点间距离公式求出 ，设点 的坐标为
，点P的坐标为 ，根据折叠的性质求出 ， ，根据两点间距离公式求出
，求出 或 ，得出 或 ，再根据两点间距离公式求出结果即
可．
解：联立 ，
解得： ，
∴ ，
则 ，
设点F的对应点为 ，设点 的坐标为 ，点P的坐标为 ，
根据折叠可知： ， ，∴ ，
即 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
当 时， ，
即 ，
解得： ；
当 时， ，
即 ，
解得： ；
综上分析可知，点P的横坐标为1或7．
故答案为：1或7．
【点拨】本题主要考查了一次函数的几何综合，折叠的性质，两点间距离公式，求两条直线的交点坐
标，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算．
13．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得 ，
，由一次函数可得 ， ，进而由勾股定理得到 ， ，设 ，由
列方程即可求出 ，进而得到点 的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是
解题的关键．
解：由折叠可得 ， ，
∵直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴点 的坐标为 ，
故答案为： ．
14．
【分析】设 ，根据题意， ，然后根据勾股定理列出关于 的方程，解方程即可
求得．
解：设 ，
∴ ，
， ，
又由折叠知 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象与几何变换，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列
出方程是解题的关键．
15． 或
【分析】分 、 和 ，分类讨论即可．
解：①当 时，连接 ，作 于H， 于H，
∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵M为边 的中点，∴ ， ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴D、E、N三点共线，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，即 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴ ；
②当 时， ，此时E和A重合，N和C重合， 是等腰三角形，
，
∴ ，
把M，N坐标代入 ，得，解得 ，
∴ ；
③当 时， 此时E在 的垂直平分线上
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ 的垂直平分线过点A，
∴
又 ，
∴
又 ，
∴E和A重合，
∴此种情况和②一样．
综上，直线 解析式为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与
性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
16． /
【分析】设沿 折叠点 恰好落在函数 的图象 上，其坐标为 ，进而可得
，点B坐标为 ，由 ，可得 、 、点E坐标为 ，根
据 和两点距离公式方程求出 ，即可解得．
解：由折叠性质可知： ，
设沿DE折叠点B恰好落在函数 的图象 上，其坐标为 ，∴ ，
∴点B坐标为
∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点E坐标为 ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： （不合题意，舍去）， ，
∴
∴点B坐标为
故答案为：
【点拨】本题主要考查了折叠图形的性质和一次函数图象点的坐标特征，根据两点距离公式正确表示
出 和 列方程求解是解题关键．
17．
【分析】如图所示，连接 ，先求出点C和点F的坐标，然后证明 ，得到，设 ，则 ，在 中， ，
则 ，由此求解即可．
解：如图所示，连接 ，
令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ；
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ，
由折叠的性质可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．【点拨】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的
性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18． 或
【分析】根据题意作出图形，当点P在 轴正半轴时，连接 ，根据勾股定理可求出AB的值，根据
翻折的性质可得 ，则 ，设 ，在 中，由勾股定理可得 的
值，由此可得P点的坐标，最后由待定系数法可求出函数的解析式；当点P在 轴负半轴时，同理可得．
解：根据题意作出图形，当点P在 轴正半轴时，如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在 中，
由勾股定理可得： ，
∵将线段 沿过点 的直线折叠，使点A落在 轴上的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
由勾股定理可得 ，∴ ，
解得： ,
∴ ,
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ；
当点P在 轴负半轴时，如图所示，连接 ，
∵将线段 沿过点 的直线折叠，使点A落在 轴上的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则
在 中，
由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得： ,
∴ ,
∴ ，设直线 的表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ；
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握翻折变
换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．（1） ；（2）5；（3）存在， ，理由见分析
【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折
叠的性质、勾股定理以及轴对称−最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征
结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出 的长度；（3）利用两
点之间线段最短确定点P的位置．
（1）由矩形的性质结合 的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线
的解析式，由直线 的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标；
（2）在 中，利用勾股定理可求出 的长，进而可求出 的长，设 ，则
，在 中，利用勾股定理可求出 （ 的长）的值；
（3）作点E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，此时 的周长最小，由点E的坐标可得
出点 的坐标，由点B， 的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，再利用一次函数图像上点
的坐标特征可求出点P的坐标．
（1）解：∵ ，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，代入 得到 ，
∴直线 的解析式为 ，令 ，得到 ，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∴ ；
（3）解：如图作点E关于y轴的对称点 ，连接 交y轴于P，
此时 的周长最小．
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则
解得则 的解析试为 ，
当 时，
∴ ．
20．（1）点A的坐标为 ；（2） 的面积为 ；（3）点D的坐标为 或
【分析】（1）利用直线 过点 得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式，令
即可求解；
（2）设 的横坐标为 ，代入直线 与直线 解析式表示出 与 的纵坐标，进而表示出 的
长，根据 求出 的值进而求出三角形 面积即可；
（3）分点 落在射线 和射线 上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
（1）解： 直线 过点 ，
，解得 ，
点 ，
直线 经过点点 ， ，
，解得： ，
直线 解析式为 ，
令 ，则 ，解得 ，
点 的坐标为 ；
（2）解： ，
，
设点 的横坐标为 ，则点 坐标为 ，轴，
点 坐标为 ，
，
解得： 或18，
当 时， ；
当 时，同理可得： ，
综上， 的面积为 ；
（3）解：过 作 于点 ，
点 的坐标为 ， ，
， ， ，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
当 沿着 折叠，且点 落在射线 上的 时，设 交 轴于点 ，如图1所示：根据折叠的性质可得： ， ，
又 ，
，
， ，
轴，
当 时， ，
坐标为 ；
当 沿着 折叠，且点 落在射线 上的 时，延长 交 轴于点 ，如图2所示：
根据折叠的性质可得： ， ，
又 ，
，
， ，轴，
当 时， ，
点 坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点拨】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象
上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
21．（1） ；（2）重叠部分的面积为10；（3）直线 的解析式为
【分析】（1）设 ，则 ，在 中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即
可得到点A、C的坐标，根据所得A、C两点的坐标用待定系数法求出直线 的解析式即可；
（2）由折叠的性质可得 ，设 ，结合 ，可得 ，在 中由
勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到 的值，再证 可得 ，这样
即可由三角形面积公式求出 的面积了．
（3）由（2）可知 ， 的长，从而可得点E、F的坐标，由此即可用待定系数法求得直线 的
解析式了．
（1）解：∵ ，
∴ 可设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得 或 （不合题意，舍去），
∴ ， ，
∴ ， ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，
解得： ，∴直线 解析式为 ；
（2）解：由折叠的性质可知 ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即重叠部分的面积为10；
（3）解：由（2）可知 ， ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
【点拨】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，
平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键．
22．（1） ；（2） 或 ；（3）点Q的坐标为 或 或 或【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据勾股定理求出 ，根据折叠得出 ， ，设 ，则
，根据勾股定理得出 ，求出 ，设 ，根据 ，求
出 或 ，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：当 时，当 时，当 时，分别求出结果即可．
（1）解：设直线 对应的函数表达式为： ，
∵直线 交坐标轴于点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 对应的函数表达式为： ；
（2）解：由题意可知： ， ，
在 中， ，
由折叠性质可知： ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得， ，
∴ ，
∵P在直线 上，
∴设 ，∵ ，
∴ ，
解得， 或 ，
①当 时， ，
②当 时， ，
∴ 或 ；
（3）解：设 ，
∵点 ， ，
∴ ， ， ，
①当 时，
则 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点Q的坐标为 ；
②当 时，
则 ，即 或18，
∴点Q的坐标为 或 ；
③当 时，
则 ，
解得： ，
∴点Q的坐标为 ；综上所述，点Q的坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，
勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
23．（1）直线 的函数表达式为 ；（2） 的面积为15或60；（3）存在，点 的坐标
为 或 或 或
【分析】本题考查了一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键
在于对知识的熟练掌握与灵活运用；
（1）设直线 的函数表达式为 待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理得， ，由题意知，分点 在 上运动，点 在 轴的正半轴上运
动，两种情况求解，①当点 在 上运动，由折叠的性质 ， ，则
，由勾股定理求出 ，根据 求解；②当点 在 轴的正半轴上运动
时，根据折叠性质和勾股定理得 ，根据 ，即可求解；
（3） 轴，则 轴，由题意得点P，点C坐标及 长度；分当 时， 是
等腰三角形；当 时， 是等腰三角形，分别求解即可；
解：（1）设直线 的函数表达式为 ，
将 ， ，代入 得， ，解得
直线 的函数表达式为 ．
（2）由勾股定理得， ，
由题意知，分点 在 上运动，点 在 轴的正半轴上运动，两种情况求解：
①当点 在 上运动，如图①，由折叠的性质可知， ， ，则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，解得 ，
；
②当点 在 轴的正半轴上运动，如图②，
由折叠的性质可知， ， ，则 ，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，即 ，解得 ，
；
综上所述， 的面积为15或60；
（3）存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
轴，则 轴，
由题意知， ，则 ，
当 时， ，则 ，
，设 ，当 时， 是等腰三角形，如图③，
，解得 ，或 ，
或 ；
当 时， 是等腰三角形，则 ，解得 ，或 ，
；
当 时， 是等腰三角形，则 ，解得 ，
；
综上所述，存在，点 的坐标为 或 或 或 ．
24．（1） ；（2）① ，证明见分析；②证明见分析；（3）
【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得 是等腰直角三角形，由折叠的性质可得
是等腰直角三角形，进而得 ，则由勾股定理建立方程即可求得a的值；
（2）①由折叠性质得 ， ；由 则可得
；由E是中点，则得 ，从而可证 ，则 ，最后
可得 ；
②连接 ，证明 ，则这两个三角形面积相等，从而可求证；（3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明 ，则其面积相等，设 ，由面积关系
求得m与n的关系，再设 解析式，即可求得解析式．
（1）解：在 中，令 ，得 ；令 ，得 ；
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
由折叠的性质： ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
在 中，由勾股定理得： ，
解得： 或 （舍去）,
故答案为： ；
（2）解：①猜想 ；
理由如下：
由折叠性质得 ， ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；②如图，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ， ， ；
∴ ， ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵
；
（3）解：如图，过点D作y轴的垂线，垂足为H，由折叠知， ，由（2） 知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
设 ，
则 ，即 ，
即 ；
设直线 解析式为 ，则 ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式
等知识，证明三角形全等是解题的关键．
