文档内容
考点 10 二次函数与幂函数（3 种核心题型+基础保分练+综
合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
【知识点】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 ．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的 ．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)定义域
值域
对称轴 x＝
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递 ； 在上单调递 ；
单调性
在上单调递 在上单调递
【核心题型】
题型一 幂函数的图象与性质
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x＝1，
y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇
偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【例题1】（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能
是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
题型二 二次函数的解析式
求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
【例题2】（2024·全国·模拟预测）已知二次函数 满足对于任意的 ，
，且 .若 ，则 的最大值与最小值之和
是（ ）
A． B． C．4 D．
【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）已知二次函数 满足对于任意的
且 ．若 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（2023·河北沧州·三模）已知二次函数 满足 ，；当 时， .函数 的定义域为 ， 是奇函
数， 是偶函数， 为自然对数的底数，则（ ）
A．函数 的最小值为
B．
C．
D．函数 的导函数 的最小值为
【变式3】（2023·山东·一模）已知二次函数 满足 ，顶点为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围.
题型三 二次函数的图象与性质
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不
论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与
区间的位置关系进行分类讨论．
命题点1 二次函数的图象
【例题3】（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，沿
的方向运动，当点 到达点 时停止运动．过点 作 交 于点 ，
设点 的运动路程为 ，图②表示的是 与 的函数关系的大致图象，则矩形
的面积是（ ）A．20 B．18 C．10 D．9
【变式1】（2023·山东枣庄·二模）指数函数 的图象如图所示，则 图象顶
点横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（多选）（2023·湖北孝感·模拟预测）已知向量 ，
，则函数 的大致图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【变式3】（多选）（23-24高三上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数 的图
象如图所示，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤
，下面的选项中所有序号结论全正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①④⑤ D．③④⑤
命题点2 二次函数的单调性与最值
【例题4】（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 的单调增区间为（ ）
A． B．C． 和 D．
【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区
间 内单调，若 的否定为真命题，则 的取值范围是 .
【变式3】（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数 在区间 上的最
大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（23-24高三上·全国·期末）二次函数 满足条件 ，则
的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．7
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高三·全国·对口高考）已知二次函数 满足 ，且
的最大值是8，则此二次函数的解析式为 （ ）
A． B．C． D．
4．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）函数 的单调增区间为（ ）
A． B．
C． 和 D．
二、多选题
5．（23-24高三上·福建厦门·期中）下列函数中，满足“ ， ，都有
”的有（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 与 的
图象交点的纵坐标之和为 ．
8．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知函数 在区间 上的最大值为
M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
9．（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间
内单调，若 的否定为真命题，则 的取值范围是 .四、解答题
10．（23-24高三上·全国·期末）已知二次函数 满足 ，且
．求 的解析式；
11．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数 ．
(1)解不等式 ；
(2)设函数 ，若函数 与 的图象无公共点，求参数 的取值范
围．
12．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知二次函数 ．
(1)若 ，求 在 上的最值；
(2)求函数 在 上的最小值．
综合提升练
一、单选题1．（23-24高三上·山东济宁·期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）下列函数中，定义域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程 和 的解分别是 和 ，
则函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(－ ，＋∞) B．[－ ，＋∞)
C．[－ ，0) D．[－ ，0]
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 的最小值为0，若关
于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
7．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 ．若 ，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（23-24高三下·广东·阶段练习）已知函数 存在极值点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·浙江宁波·模拟预测）随机变量 的分布列如表：其中 ，下列说法正确的
是（ ）
0 1 2
P
A． B．
C． 有最大值 D． 随y的增大而减小
10．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数
的值可以为（ ）
A． B． C． D．3
11．（2024·浙江·模拟预测）二次函数 （a，b，c是常数，且 ）的自变
量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当 时，对应的函数值 .下列说法不正确的有（ ）
A．B．
C．关于x的方程 一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在 和0
之间
D． 和 在该二次函数的图象上，则当实数 时，
三、填空题
12．（2023·河南信阳·一模）在 ， ，0，1，2的五个数字中，有放回地随机取两个数
字分别作为函数 中a，b的值，则该函数图像恰好经过第一、三、四象限的
概率为 ．
13．（2024·北京延庆·一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 的
一个取值为 ．
14．（2023·浙江·二模）若 ，则 的取值范围是 .
四、解答题
15．（23-24高三上·山东菏泽·期末）已知函数 ．
(1)若函数 的最大值为0，求实数m的值．
(2)若函数 在 上单调，求实数m的取值范围．
16．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的解析式；(2)若为任意实数，试讨论 在 上的单调性和最小值.
17．（22-23高三上·山东菏泽·期中）已知函数 ，函数在区间
上的最大值为4， .
(1)求 的解析式；
(2)设 ，若不等式 在 上有解，求实数k的取值范围.
18．（2024高三·全国·专题练习）已知函数
(1)若函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.19．（2024高三·全国·专题练习）函数 在区间 上有 值为4，
求实数 的值．两个方框处为无法辨认的两个汉字，请你结合上下文把这两个字补上并解
答该题．
拓展冲刺练
一、单选题
1．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数 满足 ，若 恒成
立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y
＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A．α
