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19.2.1正比例函数
正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
y kx k k k
一般的，形如 （ 为常数，且 ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中 叫做
比例系数.
2、正比例函数的等价形式
y x
（1）、 是 的正比例函数；
y kx k k
（2）、 （ 为常数且 ≠0）；
y x
（3）、若 与 成正比例；
y
k
（4）、 x （ k 为常数且 k ≠0）.
题型1：正比例函数的概念
1.下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是（ ）
A．圆的面积S（cm2）与它的半径r（cm）之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水
ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a（cm）和底边上的高h（cm）之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
【分析】分别列出每个选项的解析式，根据正比例函数的定义判断即可．
【解答】解：A选项，S＝ r2，故该选项不符合题意；
B选项，y＝15+5x，这是一次函数，故该选项不符合题意；
π
C选项，∵ ah＝S，
∴a＝ ，故该选项不符合题意；
D选项，y＝60x，故该选项符合题意；
故选：D．【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握形如 y＝kx（k≠0）的函数是正比例函
数是解题的关键．
【变式1-1】下列函数中，属于正比例函数的是（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝﹣2x+1 C．y＝ D．y＝
【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C．是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D．是正比例函数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，
注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，y＝kx
也叫正比例函数．
【变式1-2】下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积S与它的半径r
B．三角形面积一定时，某一边a和该边上的高h
C．正方形的周长C与它的边长a
D．周长不变的长方形的长a与宽b
【分析】根据正比例函数的定义计算．
【解答】解：A、圆的面积＝ ×半径2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
π
B、三角形面积S一定时，它的底边a和底边上的高h的关系S＝ ah，不是正比例函
数，故此选项不符合题意；
C、正方形的周长C＝边长×4＝4a，是正比例函数，故此选项符合题意；
D、设周长为C，则依题意得C＝2（a+b），则a与b不是正比例关系，故此选项不
符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查正比例函数的定义．解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般
地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函
数，那么y就叫做x的正比例函数．
【变式1-3】下面各组变量中，成正比例关系的是（ ）
A.人的身高h与年龄t
B.正方形的面积S与它的边长a
C.当平行四边形一条边长一定时，平行四边形的面积S和这条边上的高h
D.汽车从甲地到乙地，所用时间t与行驶速度v
【答案】C【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是
对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：A、人的身高h与年龄t不成比例，故选项不合题意；
B、正方形的面积S与它的边长a成二次函数关系，故选项不合题意；
C、当平行四边形一条边长一定时，平行四边形的面积 S和这条边上的高h成正比例
关系，故选项符合题意；
D、汽车从甲地到乙地，所用时间t与行驶速度v成反比例关系，故选项不合题意；
故选：C．
题型2：正比例函数的概念与含参问题
2.若函数y＝x+k﹣2是正比例函数，则k的值是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．﹣2
【分析】根据正比例函数的定义得出k﹣2＝0，再求出k即可．
【解答】解：∵函数y＝x+k﹣2是正比例函数，
∴k﹣2＝0，
解得：k＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，
注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫一次函数，当b＝0时，函数y
＝kx+b叫正比例函数．
【变式2-1】已知函数y＝2x|a﹣2|+a2﹣1是正比例函数，则a＝（ ）
A．1 B．±1 C．3 D．3或1
【分析】利用正比例函数定义可得a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，再解即可．
【解答】解：由题意得：a2﹣1＝0，且|a﹣2|＝1，
解得：a＝1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）
的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
5．
【变式2-2】若函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（2m+6）x+m2﹣9是关于x的正比例函数，
∴m2﹣9＝0，2m+6≠0，
解得：m＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．【变式2-3】当m＝ ﹣ 2 时，函数y＝（m﹣2） 是正比例函数．
【分析】根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2） 是正比例函数，
∴ ，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是正比例函数的定义，即一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）
的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
正比例函数的图象与性质
正比例函数 y kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它
为直线 y kx.当k＞0时，直线 y kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x
的增大 y也增大；当k＜0时，直线 y kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着
x的增大 y 反而减小.
题型3：正比例函数的图象-作图
3.画出正比例函数y＝2x的图象．
【分析】根据直线的解析式知其图象过原点，再令 x＝1求出y的值，描出各点，根
据两点确定一条直线画出函数图象．
【解答】解：如图所示：
．【点评】本题考查了正比例函数的图象，解答此题的关键找出该直线上任意两点的坐
标．
【变式3-1】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的图象，并
指出它们的特点．
【分析】利用描点法画出图象即可解决问题．
【解答】解：函数y＝2x，y＝2x﹣3，y＝2x+3的图象如图所示，
从解析式上看k相同，从图象上看是平行的．
【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是熟练掌握
描点法画图，记住结论：k相同两直线平行．
【变式3-2】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝﹣ x，y＝﹣0.6x的图象．
【分析】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答
即可．
【解答】解：
x 0 1
y＝2x 0 2
0
y＝﹣ x ﹣
y＝﹣0.6x 0 ﹣0.6【点评】本题考查了画函数的图象，考查的是用描点法画函数的图象，解答此题的关键
是描出各点，画出函数图象，再根据函数图象找出规律．
题型4：正比例函数的图象-象限问题
4.下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数的图象是经过原点的直线解答即可．
【解答】解：A、不是正比例函数图象，故此选项错误；
B、是正比例函数图象，故此选项正确；
C、不是正比例函数图象，故此选项错误；
D、不是正比例函数图象，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数的性质．
【变式4-1】一次函数y＝﹣x的图象平分（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】根据正比例函数的性质判断出正比例函数y＝﹣x的图象所经过的象限，进
而可得出答案．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴一次函数y＝﹣x的图象经过二、四象限，
∴一次函数y＝﹣x的图象平分二、四象限．故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
【变式4-2】如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，
③y＝cx，将a，b，c从小到大排列为（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b
＞c，进而得到答案．
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则a＜c＜b，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当 k＞0时，图象经过一、
三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减
小．同时注意直线越陡，则|k|越大
【变式4-3】正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、四象限 D．第二、三象限
【分析】判断m2+1的符号即可得到答案．
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
而正比例函数y＝kx当k＞0时图象经过一、三象限，
∴正比例函数y＝（m2+1）x的图象经过一、三象限，
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数图象，关键是判断m2+1的符号．
题型5：正比例函数的性质-函数增减性
5.下列正比例函数中，y的值随x值的增大而减小是（ ）
A．y＝8x B．y＝0.6x C．y＝ x D．y＝（ ﹣
）x
【分析】根据正比例函数的增减性确定正确的选项即可．【解答】解：∵y＝kx中，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答问题的关
键．
【变式5-1】已知正比例函数y＝（k+5）x，且y随x的增大而减小，则k的取值范围是
（ ）
A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5
【分析】根据正比例函数图象的特点可直接解答．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+5）x中若y随x的增大而减小，
∴k+5＜0．
∴k＜﹣5，
故选：D．
【点评】此题比较简单，考查的是正比例函数y＝kx（k≠0）图象的特点：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小．
【变式5-2】已知正比例函数y＝（m﹣1）x的图象上两点A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
当x ＜x 时，有y ＞y ，那么m的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0
【分析】据正比例函数的增减性可得出（m﹣1）的范围，继而可得出m的取值范
围．
【解答】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则m﹣1＜0，即m＜1．
故选：A．
【点评】能够根据两点坐标之间的大小关系，判断变化规律，再进一步根据正比例函
数图象的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
列不等式求解集．
【变式5-3】已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为
或﹣ ．
【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出x＝﹣2时，y＝3或x＝2时，y＝
3，分别代入代入函数解析式得出k的值即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y＝3，∴2k＝3，解得k＝ ；
当k＜0时，函数y随x的增大而减小，
∴当x＝﹣2时，y＝3，
∴﹣2k＝3，解得k＝﹣ ．
∴k的值为 或﹣ ，
故答案为 或﹣ ．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
【变式5-4】已知函数y＝（m﹣1）x 是正比例函数．
（1）若函数关系式中y随x的增大而减小，求m的值；
（2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值．
【分析】利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，
解之即可得出m的值；
（1）由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＜0，
解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值；
（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＞0，解之
即可得出m的取值范围，进而可确定m的值．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x 是正比例函数，
∴ ，
解得：m ＝﹣2，m ＝2．
1 2
（1）∵函数关系式中y随x的增大而减小，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1，
∴m＝﹣2．
（2）∵函数的图象过第一、三象限，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴m＝2．
【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y
随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当 k＜0时，y随x的增大而减
小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．
题型6：正比例函数的性质-含参问题6.已知正比例函数y＝（2k﹣3）x，若y随x增大而减小，则k的值可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由y随x增大而减小，利用正比例函数的性质可得出关于 k的一元一次不等
式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝（2k﹣3）x的y值随x值的增大而减小，
∴2k﹣3＜0，
∴k＜ ．
故选：A．
【点评】本题考查了正比例的性质，牢记“k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0
时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
【变式6-1】已知正比例函数y＝kx，当自变量x的值增大3时，函数值减小4，则k的
值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由于自变量x增加3，y的值减小4，则y﹣4＝k（x+3），然后把y＝kx代入
可求出k的值．
【解答】解：根据题意得y﹣4＝k（x+3），
即y﹣4＝kx+3k，
而y＝kx，
所以kx﹣4＝kx+3k，
3k＝﹣4
解得：k＝﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为 y＝
kx（k≠0），然后把一组对应值代入求出k即可得到正比例函数解析式．
【变式6-2】在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝ ﹣ 2
．
【分析】x的次数为1且x的系数为负．
【解答】解：∵|m|﹣1＝1，
∴m＝±2，
又∵y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查一次函数的概念与性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．【变式6-3】已知直线y＝kx经过第二、四象限，且 在实数范围内有意义，求k
的取值范围．
【分析】根据y＝kx经过第二、四象限，可得k＜0，再由二次根式有意义的条件，即
可得出k的取值范围．
【解答】解：∵据y＝kx经过第二、四象限，
∴k＜0，
∵ 在实数范围内有意义，
∴2k+3≥0，
∴k≥﹣ ，
综上可得：﹣ ≤k＜0．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，注意二次根式有意义的条件：被开方数为非
负数．
【变式6-4】已知正比例函数y＝（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，而正比例函数
y＝（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，且m为整数，你能求出m的可能值吗？
为什么？
【分析】先根据正比例函数y＝（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，得出m+2＞
0，解得m＞﹣2．再由正比例函数y＝（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，得出
2m﹣3＜0，解得m＜ ．又m为整数，即可求出m的可能值．
【解答】解：m的可能值为﹣1，0，1．理由如下：
∵正比例函数y＝（m+2）x中，y的值随x的增大而增大，
∴m+2＞0，
解得m＞﹣2．
∵正比例函数y＝（2m﹣3）x，y的值随x的增大而减小，
∴2m﹣3＜0，
解得m＜ ．
∵m为整数，
∴m的可能值为﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＞
0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
题型7：求正比例函数值或点坐标
7.在直线y=2x上到x轴距离为2的点的坐标为【分析】根据直线y=2x上的点到x轴距离是2，故y=±2，求出x的值即可得出结论．
【解答】解：∵直线y=2x上的点到x轴距离是2，
∴y=±2，
当y=2时，即2x=2，解得x=1；
当y=-2时，即2x=-2，解得x=-1．
∴符合条件的点的坐标为：（1，2）或（-1，-2）．
故答案为：（1，2）或（-1，-2）．
【变式7-1】已知正比例函数y=2x，当x=-1时，函数y的值是（ ）
A．2 B．-2 C．-0.5 D．0.5
【答案】B
【分析】根据函数值的求法，直接将x=-1代入函数关系式得出即可．
【解答】解：对于正比例函数y=2x，
当x=-1时，函数值y=-2×1=-2．
故选：B．
【变式 7-2】已知点 A（1，-2），若 A，B 两点关于 x 轴对称，则 B 点的坐标为
若点（3，n）在函数y=-2x的图象上，则n=
【分析】平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-
y）．将点（3，n）代入函数即可求得n的值．
【解答】解：∵A，B两点关于x轴对称，
∴B点的坐标为（1，2）；
若点（3，n）在函数y=-2x的图象上，
则n=-6．
故答案为：（1，2），-6．
【变式7-3】已知正比例函数y=kx的图象，经过点M（-2，4）．
（1）推出y的值与x值的变化情况；
（2）画出这个函数的图象．
【分析】（1）先把点M（-2，4）代入正比例函数y=kx，求出k的值，根据k的符号即
可得出结论；
（2）在坐标系内描出点M（-2，4），过原点与点M（-2，4）作直线即可得出函数
图象．
【解答】解：（1）∵正比例函数y=kx的图象，经过点M
（-2，4），
∴4=-2k，解得k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小；
（2）如图所示待定系数法求正比例函数的解析式
y kx k k k
由于正比例函数 （ 为常数， ≠0 ）中只有一个待定系数 ，故只要有一
x y k
对 ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 值.
题型8：待定系数法求正比例函数解析式
8.已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）．
（1）求此正比例函数的解析式；
（2）点（2，﹣2）是否在此函数图象上？请说明理由．
【分析】（1）设正比例函数解析式为y＝kx，把已知点坐标代入求出k的值，即可确
定出解析式；
（2）把x＝2代入解析式计算求出y的值，即可作出判断．
【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
把（﹣1，2）代入得：2＝﹣k，
解得：k＝﹣2，
则正比例函数解析式为y＝﹣2x；
（2）把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，
∵﹣4≠﹣2，
∴点（2，﹣2）不在函数y＝﹣2x图象上．
【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标
特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式8-1】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，k+2），求这个函数解析式并画
出这个函数的图象．
【分析】（1）点A（2，k+2）代入解析式即可得到k的值，从而求出函数解析式；
（2）根据解析式求出函数图象上的两个点即可画出函数图象．
【解答】解：（1）将点A（2，k+2）代入y＝kx得，k+2＝2k，
解得k＝2，
∴函数解析式为y＝2x；
（2）如图：函数过原点（0，0），A（2，4）．．
【点评】本题考查了正比例函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征，熟悉待定系
数法和正比例函数的性质是解题的关键．
【变式8-2】已知y＝y +y ，y 与x成正比例，y 与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝
1 2 1 2
4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式．
【分析】根据题意设y ＝k x，y ＝k （x﹣3），从而可得y＝k x+k （x﹣3），然后把
1 1 2 2 1 2
x＝﹣1，y＝4和x＝1，y＝8代入联立方程组，进行计算即可解答．
【解答】解：设y ＝k x，y ＝k （x﹣3），
1 1 2 2
则y＝y +y ＝k x+k （x﹣3），
1 2 1 2
由题意得： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3），
即y＝2x+6，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析
式，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
【变式8-3】已知q是关于t的正比例函数，当t＝5时，q＝﹣20．
（1）求q关于t的函数表达式．
（2）当t＝﹣5时，求函数q的值．
（3）当q＝32时，求自变量t的值．
【分析】（1）依据待定系数法，即可得到q关于t的函数表达式．
（2）依据自变量的取值，即可得出函数值；
（3）依据函数值，即可得出自变量的值．
【解答】解：（1）设q＝kt（k≠0），∵t＝5时，q＝﹣20，
∴﹣20＝5k，
∴k＝﹣4，
∴q关于t的函数表达式为：q＝﹣4t；
（2）当t＝﹣5时，q＝﹣4×（﹣5）＝20，
即函数q的值为20．
（3）当q＝32时，32＝﹣4t，
解得t＝﹣8，
即自变量t的值为﹣8．
【点评】本题主要考查了正比例函数以及待定系数法的运用，求正比例函数解析式需要
一对对应值即可．
【变式8-4】已知正比例函数图象经过点（﹣1，2）．
（1）求此正比例函数的表达式；
（2）画出这个函数图象；
（3）点（2，﹣5）是否在此函数图象上？
（4）若这个图象还经过点A（a，8），求点A的坐标．
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx，将点（﹣1，2）代入可得出k的值．
（2）找出图象过的两个点，画图．
（3）将点（2，﹣5）代入，看能否满足函数解析式，继而可作出判断．
（4）将x＝a，y＝8代入函数关系式求得．
【解答】解：（1）设函数关系式为：y＝kx，
则﹣k＝2，即k＝﹣2，
故可得出正比例函数关系式为：y＝﹣2x；
（2）直线y＝﹣2x过（0，0），（1，﹣2），
画出函数图象如图：（3）将点（2，﹣5）代入，左边＝﹣4，右边＝﹣5，左边≠右边，
故点（2，﹣5）不在此函数图象上；
（4）将A点代入y＝﹣2x得：﹣2a＝8，解得a＝﹣4，
所以A（﹣4，8）．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，一次函数的图象和性质，一
次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
