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期末复习学案（5）第 19 章一次函数按考点复习（解析版）
考点1 一次函数及正比例函数的定义
1．（2023春•罗山县期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【思路引领】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有
唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此D选项中的曲线，表示y是x的函数，故D符合题意；
A、B、C选项中的曲线，不表示y是x的函数，故A、B、C不符合题意；
故选：D．
【总结提升】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
2．（2023秋•长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是 （ 1 ）（ 3 ）（ 5 ）（ 6 ）（ 7 ） ，是正比
例函数的是 （ 1 ）（ 6 ） ．（填序号）
x 2 1
（1）y=− ；（2）y=− ；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x− ；（6）y＝x（x﹣4）﹣
2 x 2
x2；（7）y＝x﹣6．
【思路引领】根据一次函数与正比例函数的定义解答即可．
x 2
【解答】解：（1）y=− 是一次函数，也是正比例函数；（2）y=− 是反比例函数；（3）y＝3﹣5x
2 x
1
是一次函数；（4）y＝﹣5x2是二次函数；（5）y＝6x− 是一次函数；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x
2
是正比例函数，也是一次函数；（7）y＝x﹣6是一次函数．
故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）
【总结提升】本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数
的定义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．
3．（2023秋•碑林区校级期中）若函数y=(m+1)xm2−3是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m的值是（ ）
1
A．﹣2 B．2 C． D．3
2
【思路引领】由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．
【解答】解：∵函数 是正比例函数，
y=(m+1)xm2−3
∴m2﹣3＝1，
解得m＝±2，
∵图象经过第二、四象限，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
∴m＝﹣2，
故选：A．
【总结提升】本题主要考查正比例函数的性质，由正比例函数的性质求得 m的值是解题的关键，注意
利用图象的位置进行取舍．
考点2 一次函数的图象和性质
4．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为 2 ，该正比例函数的
图象经过第 二、四 象限．
【思路引领】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），由正比例函数的图象经过点 A（3，﹣6），利
用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣6＝3k，解之即可得出k值，代入y＝﹣4即可求出m（x）的值，
再由k＝﹣2＜0，利用正比例函数的性质可得出正比例函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．
∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（3，﹣6），
∴﹣6＝3k，
解得：k＝﹣2，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点B（m，﹣4），
∴﹣4＝﹣2m，
∴m＝2．
∵k＝﹣2＜0，
∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限．故答案为：2；二、四．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，根据函数图象经过点的
坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出正比例函数的解析式是解题的关键．
5．（2023春•自贡期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象如图所示，则k，b的取值范围是
（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＜0，b＞0 C．k＞0，b＜0 D．k＜0，b＜0
【思路引领】根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出 k＞0，b＜0，此
题得解．
【解答】解：观察图形可知：一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，b＜0．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、
四象限”是解题的关键． ⇔
6．（2023春•青川县期末）已知点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（2，﹣1）四点在直线y＝
1 1 2 2 3 3
kx+4的图象上，且x ＞x ＞x ，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 3 1 2 1 3 2
【思路引领】根据待定系数法求得k，然后根据一次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵点D（2，﹣1）在直线y＝kx+4的图象上，
∴﹣1＝2k+4，
5
解得k=− ，
2
∵k＜0，
∴函数y随x的增大而减小，
∵x ＞x ＞x ，
1 2 3
∴y ＞y ＞y ，
3 2 1
故选：B．【总结提升】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握
一次函数的性质是解题的关键．
7．（2023春•香坊区校级月考）已知一次函数y＝（m+2）x+（1﹣m），若y随x的增大而减小，且此函
数图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是 m ＜﹣ 2 ．
【思路引领】y随x的增大而减小，则m+2＜0，图象与y轴的交点在x轴上方，则1﹣m＞0，则可以得
到不等式组求解即可．
【解答】解：∵y随x的增大而减小，
∴m+2＜0，
解得m＜﹣2．
又∵此函数图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴1﹣m＞0，
解得m＜1．
∴m的取值范围是m＜﹣2．
故答案为：m＜﹣2．
【总结提升】本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线 y＝kx+b所在的位置
与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过第一、三象限；k＜0时，直线必经过第二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
1
8．（2023春•肥城市期末）已知直线 y＝（m﹣3）x﹣3m+1不经过第一象限，则m的取值范围是 ≤
3
m ≤ 3 ．
【思路引领】直线有可能过的象限分三种情况：①二、四；②二、三、四；③三、四（平行于x轴的
常数函数）．
【解答】解：分三种情况：
①如果直线经过二、四象限，
那么m﹣3＜0，﹣3m+1＝0，
1
解得m= ；
3
②如果直线经过二、三、四象限，
那么m﹣3＜0，﹣3m+1＜0，
1
解得 ＜m＜3；
3
③如果直线经过三、四象限（平行于x轴的常数函数），那么m﹣3＝0，﹣3m+1＜0，
解得m＝3；
1
综上所述， ≤m≤3．
3
1
故答案为： ≤m≤3．
3
【总结提升】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，进行分类讨论是解题的关键．
9．（2023春•滦州市期末）已知一次函数y＝kx﹣k，若y随着x的增大而减小，则该函数图象经过第 一 、
二、四 象限．
【思路引领】根据已知条件“y随x的增大而减小”判断k的取值，再根据k，b的符号即可判断直线所
经过的象限．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣k，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，即﹣k＞0，
∴该函数图象经过第一、二、四象限．
故答案为一、二、四．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线 y＝kx+b所在的位置与
k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0
时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
考点3 一次函数图象上点的坐标特征
10．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），直线y＝kx﹣
3交x轴于点B，交y轴于点C，若△ABC的面积6，则k＝（ ）
3 3 3
A．±1 B．± C．1或− D．﹣1或
5 5 5
【思路引领】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，C的坐标，进而可得出OC，AB的长，利
用三角形的面积公式结合△ABC的面积为6，即可得出关于k的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当x＝0时，y＝k×0﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3；
当y＝0时，kx﹣3＝0，
3
解得：x= ，
k
3 3
∴点B的坐标为（ ，0），AB＝| −1|．
k k1 1 3
∵S△ABC = AB•OC＝6，即 ×3| −1|＝6，
2 2 k
3
解得：k＝﹣1或k= ．
5
故选：D．
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐
标特征结合△ABC的面积为6，找出关于k的方程是解题的关键．
11．（2023春•万州区校级月考）已知函数y＝﹣2x+3，
（1）画出这个函数的图象；
（2）写出函数与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【思路引领】（1）利用描点法画函数图象；
（2）根据图象写出直线与坐标轴的交点坐标；
（3）根据三角形面积根式计算．
3
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x= ，
2
描点如图：
3
（2）函数图象与x轴的交点坐标为（ ，0），与y轴的交点坐标为（0，3）；
2
1 3 9
（3）此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积= ×3× = ．
2 2 4
k
【总结提升】本题考查了一次函数的图象的图象：经过两点（0，b）、（− ，0）或（1，k+b）作直
b
线y＝kx+b．一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是
k
（− ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
b
考点4 一次函数图象与几何变换12．把一次函数y＝kx+1的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位后所得直线正好经过点（5，
3），则该一次函数表达式为： y ＝ 0. 5 x + 1 ．
【思路引领】根据一次函数平移的规律得到y＝kx+1的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位后
得到的解析式为y＝k（x﹣3）+2，然后把（5，3）代入平移后的解析式求出k即可．
【解答】解：y＝kx+1的图象向上平移1个单位后解析式为y＝kx+2，把y＝kx+2向右平移3个单位后得
到的解析式为y＝k（x﹣3）+2，
把（5，3）代入y＝k（x﹣3）+2得k×（5﹣3）+2＝3，解得k＝0.5，
所以一次函数解析式为y＝0.5x+1；
故答案为：y＝0.5x+1
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换：在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的
平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有
这样一个规律“左加右减，上加下减”．
13．（2023春•资中县月考）直线l与直线y＝2x﹣1关于x轴对称，直线l的解析式为（ ）
1
A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x﹣1 C．y＝﹣2x+1 D．y=− x﹣1
2
【思路引领】根据直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对称的性质求解．
【解答】解：∵直线l与直线y＝2x﹣1关于x轴对称，
∴直线l的解析式为﹣y＝2x﹣1
即y＝﹣2x+1．
故选：C．
【总结提升】本题考查了一次函数图象与几何变换：直线y＝kx+b（k≠0，且k，b为常数）关于x轴对
称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b．
14．（2023春•南江县期末）直线y＝kx+b与y＝﹣5x+1平行，且经过（2，1），则k+b＝ 6 ．
【思路引领】根据两直线平行，k值相等可得k＝﹣5，再把（2，1）代入y＝﹣5x+b可得b的值，进而
可得答案．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与y＝﹣5x+1平行，
∴k＝﹣5，
∵经过（2，1），
∴1＝﹣5×2+b，
b＝11，
∴k+b＝6，故答案为：6．
【总结提升】此题主要考查了两直线平行问题，关键是掌握两一次函数图象平行时，k值相等．
考点5 一次函数与一元一次方程的关系
15．（2023秋•宁明县期中）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解是 x
＝ 3 ．
【思路引领】根据图象：得到当y＝0时，x＝3，由此可以求得方程kx+b＝0的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b图象经过点（3，0）
∴当y＝0时，x＝3，
即方程kx+b＝0的解是x＝3．
故答案为：x＝3．
【总结提升】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 ax+b
＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求
相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
16．如图，函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A（a，4），则方程mx+n＝﹣2x的解是 x ＝﹣ 2 ．
【思路引领】先求出A点横坐标，根据两个一次函数的交点横坐标即为联立这两个一次函数的一元一次
方程的解，即可求解．
【解答】解：将点A（a，4）代入y＝﹣2x，
得﹣2a＝4，
∴a＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
∵函数y＝mx+n和y＝﹣2x的图象交于点A，
∴方程mx+n＝﹣2x的解是x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．【总结提升】本题考查了一次函数与方程的关系，熟练掌握一次函数的交点与方程的关系是解题的关键．
1
17．（2023秋•平远县期末）已知一次函数y＝kx﹣b（k、b为常数且k≠0，b≠0）与y= x的图象相交于
3
1 1 3
点M（a， ），则关于x的方程（k− ）x＝b的解为x＝ ．
2 3 2
1 1
【思路引领】把M（a， ）代入y= x求出a，根据M点的横坐标，即可求出答案．
2 3
1 1 1 1
【解答】解：把M（a， ）代入y= x得： = a，
2 3 2 3
3
解得a= ，
2
3 1
∴M（ ， ），
2 2
1 3
∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b= x的解为 ，
3 2
1 3
∴关于x的方程（k− ）x＝b的解为x= ．
3 2
3
故答案为： ．
2
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次方程，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，题目
具有一定的代表性，难度适中．
考点7 一次函数与一元一次不等式的关系
18．（2023春•西平县期中）如图，函数y ＝﹣2x与y ＝ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不
1 2
等式﹣2x＜ax+3的解集是 x ＞﹣ 1 ．【思路引领】直接利用一次函数的性质得出m的值，再利用函数图象得出不等式﹣2x＜ax+3的解集．
【解答】解：∵函数y ＝﹣2x与y ＝ax+3的图象相交于点A（m，2），
1 2
∴2＝﹣2m，
解得：m＝﹣1，
∴关于x的不等式﹣2x＜ax+3的解集是：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
【总结提升】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出m的值．
19．（2022春•沈河区校级月考）如图，已知函数 y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为
1，则关于x的不等式x+1≤ax+3的解集是 x ≤ 1 ．
【思路引领】根据函数图象可直接得出结论．
【解答】解：由图象可知，在P点右侧，y＝x+1的图象在y＝ax+3的图象下方，
故不等式x+1≤ax+3的解集是x≤1，
故答案为：x≤1．
【总结提升】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是熟练的运用数形结合思想，直
观的得到答案．
考点8 一次函数的应用
20．（2023春•莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y
（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分
钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距100米．正确的有 ①②④ （在横线上填写正确的序号）．
【思路引领】①根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路
程，从而可以判断该小题是否正确；
②根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500﹣300＝200米，从而可以计算出两分钟后
乙每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；
③根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该小
题是否正确；
④根据图象，可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该小题是否正确．
【解答】解：由图象可得，
甲每分钟走：600÷6＝100（米），故①正确；
两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正确；
乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2分
钟达到B地，故③错误；
当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100米，
故④正确；
故答案为：①②④．
【总结提升】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合
的思想解答．
21．（2022•黄冈模拟）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A
方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，
那么长方形ABCD的面积为 2 1 ．【思路引领】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
【解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB＝7，
当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC＝10﹣7＝3，
∴长方形ABCD的面积为：AB•BC＝7×3＝21．
故答案为：21．
【总结提升】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息，利用数形结合的思想方法
是解此题的关键．
22．（2023春•南海区期末）在抗击新冠肺炎疫情期间，司机小张开车免费将志愿者从A市送到B市，到
达B市放下志愿者后立即按原路原速返回A市（志愿者下车时间忽略不计），而快递员小李则骑摩托车
从B市向A市运送快递，他们出发时间相同，均沿两市间同一条公路匀速行驶，设两人行驶的时间为x
（h），两人相距y（km），如图表示y随x变化而变化的情况，根据图象解决以下问题：
（1）A、B两市之间的路程为 24 0 km；点M表示的实际意义是 出发 2 小时小张与小李相遇 ；
（2）小张开车的速度是 8 0 km/h；小李骑摩托车的速度是 4 0 km/h．
（3）试求出发多长时间后，两人相距60km．
【思路引领】（1）根据题意和函数图象中的数据解答即可；
（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得小张开车的速度和小李骑摩托车的速度；
（3）由（2）的结论分情况列方程解答即可．
【解答】解：（1）根据函数图象中的数据可得A、B两市之间的路程为240km，M表示的实际意义是出
发2小时小张与小李相遇；故答案为：240；出发2小时小张与小李相遇；
（2）小张开车的速度为：240÷3＝80（km/h），小李骑摩托车的速度为：240÷2﹣80＝40（km/h）．
故答案为：80；40；
（3）设出发x小时两人相距60km．有三种情况：
相遇前：80x+40x+60＝240，解得x＝1.5；
相遇后小张未到达B市前：80x+40x﹣60＝240，解得x＝2.5；
小张返回途中：40x﹣80（x﹣3）＝60，解得x＝4.5；
答：出发1.5，2.5，4.5小时，两人相距60km．
【总结提升】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合
的思想解答．
23．（2023•商丘模拟）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠；
设某学生暑期健身 x（次）按照方案一所需费用为 y （元）且y ＝k +b；按照方案二所需费用为 y
1 1 1 2
（元）且y ＝k x，其函数图象如图所示．
2 2
（1）求k 和b的值，并说明它们的实际意义；
1
（2）求打折前的每次健身费用和k 的值；
2
（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【思路引领】（1）把点（0，30），（10，180）代入y ＝k x+b，得到关于k 和b的二元一次方程组，
1 1 1
求解即可；
（2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二每次健身费用
按九折优惠，求出k 的值；
2
（3）根据y ，y 的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论．
1 2【解答】解：（1）∵y ＝k x+b的图象过点（0，30），（10，180），
1 1
∴{ b=30 )，
10k +b=180
1
解得{k =15)，
1
b=30
k ＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
1
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元；
（2）由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25（元），
则k ＝25×0.8＝20；
2
（3）由题意可知，y ＝15x+30，y ＝20x．
1 2
15x+30＝20x，
解得：x＝6，
∴健身不大于6次时，选择方案二所需费用少，健身大于6次时，选择方案一所需费用少．
【总结提升】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出 y 、y 关于x的
1 2
函数解析式．
考点8 一次函数与几何综合
51．（中考•南通）平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣1）三点，D（1，
m）是一个动点，当△ACD的周长最小时，△ABD的面积为（ ）
1 2 4 8
A． B． C． D．
3 3 3 3
【思路引领】先根据△ACD的周长最小，求出点C关于直线x＝1对称的点E的坐标，再运用待定系数
法求得直线AE的解析式，并把D（1，m）代入，求得D的坐标，最后计算，△ABD的面积．
【解答】解：由题可得，点C关于直线x＝1的对称点E的坐标为（2，﹣1），
设直线AE的解析式为y＝kx+b，则
{0=−k+b
)
，
−1=2k+b1
{k=− )
解得 3 ，
1
b=−
3
1 1
∴y=− x− ，
3 3
将D（1，m）代入，得
1 1 2
m=− − =− ，
3 3 3
2
即点D的坐标为（1，− ），
3
1 2 1 2 4
∴当△ACD的周长最小时，△ABD的面积= ×AB×|− |= ×4× = ．
2 3 2 3 3
故选：C．
【总结提升】本题属于最短路线问题，主要考查了轴对称性质的运用以及待定系数法的运用，解决问题
的关键是运用两点之间线段最短这一基本事实．
52．（2023秋•鄞州区期末）已知过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s＝a+3b，
3
则s的取值范围是 ﹣ 9 ≤ s＜− ．
2
3
【思路引领】根据题意得出a＜0，b≤0，即可出− ≤a＜0，从而求得s的取值范围．
2
【解答】解：∵过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，
∴a＜0，b≤0，
将（2，﹣3）代入直线y＝ax+b，
﹣3＝2a+b，
b＝﹣3﹣2a
{ a＜0 )
∴ ，
−3−2a≤0
3
解得− ≤a＜0，
2
s＝a+3b＝a+3×（﹣3﹣2a）＝﹣9﹣5a，
a＝0时，s＝﹣9，3 3
当a=− 时，s=−
2 2
33
故− ≤s＜﹣9．
2
3
故答案为：− ≤s＜﹣9．
2
【总结提升】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意求出a的取值范围是解题的关键．
53．（2023春•宜春期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+7的图象交y轴于点D，且它与正
3
比例函数y= x的图象交于点A．
4
（1）求点D的坐标；
（2）求线段OA的长；
3
（3）设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交y= x和y＝
4
7
﹣x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC= OA，求△OBC的面积．
5
【思路引领】（1）把x＝0代入y＝﹣x+7可得D点坐标；
（2）联立两一次函数的解析式求出x、y的值即可得出A点坐标，利用勾股定理可得OA的长；
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中根据勾股定理求出OA的长，故可得出BC的长，
根据P（a，0）可用a表示出B、C的坐标，故可得出a的值，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）令x＝0，y＝﹣x+7＝0+7＝7，
∴D点坐标为（0，7）；
（2）根据题意得，{ y= 3 x )
4
¿ y=−x+7
{ x=4 )
解得 ，
¿ y=3
∴A（4，3）；
OA 5；
=❑√42+32=
（3）过点A作x轴的垂线，垂足为D，在Rt△OAD中，
7 7
∵OA＝5．∴BC= OA= ×5＝7．
5 5
∵P（a，0），
3
∴B（a， a），C（a，﹣a+7），
4
3 7
∴BC= a﹣（﹣a+7）= a﹣7，
4 4
7
∴ a﹣7＝7，解得a＝8，
4
1 1
∴S△OBC = BC•OP= ×7×8＝28．
2 2
【总结提升】本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出辅助线．构造出直角三角形是解答
此题的关键．
54．（2023春•新罗区期末）已知：直线l：y＝kx﹣k+3（k≠0）始终经过某定点P．
（1）求该定点P的坐标；
（2）已知A（﹣2，1），B（0，2），若直线l与线段AB相交，求k的取值范围；
（3）在0≤x≤2范围内，任取3个自变量x ，x ，x ，它们对应的函数值分别为y ，y ，y ，若以y ，
1 2 3 1 2 3 1
y ，y 为长度的3条线段能围成三角形，求k的取值范围．
2 3【思路引领】（1）对题目中的函数解析式进行变形即可求得点P的坐标；
（2）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以求得k的取值范围；
（3）根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得k的取值范围．
【解答】解：（1）y＝kx﹣k+3＝k（x﹣1）+3，
当x＝1时，y＝3，即为点P（1，3）；
（2）∵点A、B坐标分别为（﹣2，1）、（0，2），直线 l与线段AB相交，直线 l：y＝kx﹣k+3
（k≠0）恒过某一定点P（1，3），
∴当x＝﹣2时，y≤1，或当x＝0时，y≥2，
{−2k−k+3≤1)
∴ ，
−k+3≥2
2
解得， ≤k≤1；
3
（3）当k＞0时，直线y＝kx﹣k+3中，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤2时，﹣k+3≤y≤k+3，
∵以y 、y 、y 为长度的3条线段能围成三角形，
1 2 3
{ −k+3＞0 )
∴ ，得k＜1，
2(−k+3)＞k+3
∴0＜k＜1；
当k＜0时，直线y＝kx﹣k+3中，y随x的增大而减小，
∴当0≤x≤2时，k+3≤y≤﹣k+3，
∵以y 、y 、y 为长度的3条线段能围成三角形，
1 2 3
{ k+3＞0 )
∴ ，得k＞﹣1，
2(k+3)＞−k+3
∴﹣1＜k＜0，
由上可得，﹣1＜k＜0或0＜k＜1．
【总结提升】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，
解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
