文档内容
专题 06 一次函数（知识串讲+热考题型）
一．常量与变量（共2小题） 二．函数的概念（共1小题）
三．函数关系式（共3小题） 四．函数自变量的取值范围（共2小题）
五．函数的图象（共3小题） 六．动点问题的函数图象（共3小题）
七．函数的表示方法（共2小题） 八．一次函数的定义（共2小题）
九．正比例函数的定义（共2小题） 十．一次函数的图象（共2小题）
十一．正比例函数的图象（共1小题） 十二．一次函数的性质（共3小题）
十三．正比例函数的性质（共2小题） 十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
十五．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题） 十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
十九．一次函数与一元一次方程（共2小题） 二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
二十一．一次函数的应用（共3小题） 二十二．一次函数综合题（共6小题）
一、函数的相关概念
x y x y
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一
x y x
确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数.
y x x a y b b a
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法.
二、一次函数的相关概念
y kxb k b k b
一次函数的一般形式为 ，其中 、 是常数， ≠0.特别地，当 ＝0时，一次函数
y kxb y kx k
即 （ ≠0），是正比例函数.
三、一次函数的图像及性质
1、函数的图像
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，
就是这个函数的图像.
要点诠释：
y kxb y kx b b b
直线 可以看作由直线 平移| |个单位长度而得到（当 ＞0时，向上平移；当 ＜0y kxb y kx
时，向下平移）.说明通过平移，函数 与函数 的图像之间可以相互转化.
2、一次函数性质及图像特征
掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）
解析式 y kxb （ k 为常数，且 k 0 ）
自变量取值
全体实数
范围
b
形状
过（0， b ）和（ k ，0）点的一条直线
k k 0 k 0
、
b b0 b0 b0 b0
的
取值
图
示 意
像
图
经过一、 经过一、 经过一、 经过二、
位置
二、三象限 三、四象限 二、四象限 三、四象限
趋势 从左向右上升 从左向右下降
函数变化规 y x y x
随 的增大而增大 随 的增大而减小
律
要点诠释：
k b ykxb
理解 、 对一次函数 的图像和性质的影响：
k y kxb b y
（1） 决定直线 从左向右的趋势（及倾斜角 的大小——倾斜程度）， 决定它与 轴交
k b ykxb
点的位置， 、 一起决定直线 经过的象限．
l y k xb l y k xb
（2）两条直线 1： 1 1和 2： 2 2的位置关系可由其系数确定：
k k l l
1 2 1与 2相交；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2平行；
k k b b l l
1 2，且 1 2 1与 2重合；
（3）直线与一次函数图像的联系与区别
xa y b
一次函数的图像是一条直线；特殊的直线 、直线 不是一次函数的图像.
四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看 从“形”的角度看
求关于x、 y 的一元一次 确定直线 y axb与 x轴
x为何值时，函数 y axb的
方程axb＝0（a≠0）
（即直线
y
＝0）交点的横坐
值为0？
的解 标
求关于x、 y 的二元一次
ya
1
xb
1
， x为何值时，函数 y a
1
xb
1
确定直线 y a
1
xb
1
与直线
方 程 组 的
ya xb． 与函数y a xb 的值相等？ y a xb 的交点的坐标
2 2 2 2 2 2
解．
求关于 x 的一元一次不等 确定直线 y axb在 x轴
x为何值时，函数 y axb的
式axb＞0（a≠0）的
（即直线
y
＝0）上方部分的
值大于0？
解集 所有点的横坐标的范围
一．常量与变量（共2小题）
1．（2023春•福州期中）某种签字笔每只 a元，买 5只签字笔共支出 b元，下列选项判断正确的是
（ ）
A．a是常量时，b是变量
B．a是变量时，b是常量
C．a是变量时，b也是变量
D．无论a论常量还是变量，b都是变量
【分析】根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量
称为常量，判断即可．
【解答】解：根据题意，可知a是变量时，b也是变量，
故选：C．
【点评】本题考查了常量和变量，熟练掌握常量和变量的概念是解题的关键．
2．（2023春•中原区期中）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，
汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．在上述变化过程中，
因变量是 汽车的速度 ．
【分析】根据变量与常量的定义进行判定即可得出答案．
【解答】解：汽车的速度随时间的变化而变化，在该变化过程中因变量是汽车的速度．
故答案为：汽车的速度．
【点评】本题主要考查了变量与常量，熟练掌握变量与常量的定义进行求解是解决本题的关键．
二．函数的概念（共1小题）3．（2023春•淮阳区月考）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值
与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：∵在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，
那么就说y是x的函数，
∴只有选项C不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
三．函数关系式（共3小题）
4．（2023春•平阴县期中）一蜡烛高24厘米，点燃后平均每小时燃掉4厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h
（厘米）与燃烧时间t（时）之间的关系式是 h ＝ 2 4 ﹣ 4 t （0≤t≤6）．
【分析】根据蜡烛点燃后剩余的高度＝蜡烛的高度﹣蜡烛燃烧的高度可列关系式．
【解答】解：由题意得蜡烛点燃后剩余的高度h（cm）与燃烧时间t（时）之间的关系式为h＝24﹣4t．
故答案为：h＝24﹣4t．
【点评】本题主要考查函数关系式，找准等量关系是解题的关键，属于基础题．
5．（2023•梅州校级开学）已知长方形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm2，则这个长方形的
面积y与x之间的关系可表示为 y ＝﹣ x 2 + 8 x ．
【分析】用含有x的代数式表示出矩形的长，进而表示出面积y即可．
【解答】解：由矩形的面积的计算方法得：
y＝x× ＝﹣x2+8x，
故答案为：y＝﹣x2+8x．
【点评】本题考查函数的表示方法，用代数式表示边长和面积，是正确解答的前提．
6．（2023•龙川县校级开学）如图，△ABC的边BC长是8，BC边上的高AD′是4，点D在BC运动，设
BD长为x，请写出△ACD的面积y与x之间的函数关系式 y ＝﹣ 2 x +1 6 ．【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可．
【解答】解：由题意可得，△ACD的面积y与x之间的函数关系式为：
y＝ AD′•DC＝ ×4×（8﹣x）＝﹣2x+16．
故答案为：y＝﹣2x+16．
【点评】此题主要考查了函数关系式，正确掌握钝角三角形面积求法是解题关键．
四．函数自变量的取值范围（共2小题）
7．（2023•文山州一模）函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：4﹣2x≥0，
解得：x≤2，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
8．（2023春•原阳县月考）函数 自变量a的取值范围 a ≠ 2 和﹣ 3 ．
【分析】根据分式的分母不为0、负整数指数幂的概念列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：a﹣2≠0且a+3≠0，
解得：a≠2和﹣3，
故答案为：a≠2和﹣3．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0、负整数指数幂的概念是解
题的关键．
五．函数的图象（共3小题）
9．（2023春•济阳区期中）在1000米中长跑考试中，小明开始慢慢加速，当达到某一速度后保持匀速，
最后200米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小明跑步时的速度y（单位：米/分）与时间x（单位：分）
之间的大致图象的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】根据小明的速度的变化判断即可．
【解答】解：由小明立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加；途中一直保持匀速，此时速度不
变，图象与x轴平行；最后2000米时奋力冲刺跑完全程，此时速度随时间的增大而增加，且图象比开始一
段更陡．
故选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，发现速度的变化关系是解题关键．
10．（2023•龙川县校级开学）如图，折线ABC为从甲地向乙地打长途电话所需付的电话费y（元）与通话
时间t（min）之间变化关系的图象．
（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
（2）由图象可知，当通话时间为2min时，应付电话费多少元？当通话时间为5min时，应付电话费多少元？
【分析】（1）根据题意，可得两个变量是电话费y（元）与通话时间t（分钟）；
（2）根据观察函数图象的纵坐标，可得相应的函数值．
【解答】（1）所需付的电话费 y（元）与通话时间 t（min） 之间的关系；
（2）当通话时间为 2min 时，应付电话费 2.4 元；
当通话时间为 5min 时，应付电话费 4.4 元．
【点评】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键．
11．（2023•平远县校级开学）如图，反映了小明从家出发到超市购物以及从超市返回家的时间与距离之
间的关系．
（1）图中自变量是 时间 ，因变量是 小明距家的距离 ．（2）小明到达超市用了 2 0 分钟，小明往返途中共花了 3 5 分钟．
（3）小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义，即可进行解答；
（2）根据函数图象，即可进行解答；
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，返回时路程为900米，时间为45
﹣30＝15分钟，根据速度公式即可进行解答．
【解答】解：（1）由图可知：
图中自变量是时间，因变量是小明距离家的路程．
故答案为：时间，小明距离家的路程．
（2）由图可知：
小明到达超市用了20分钟，小明往返途中共花了45﹣（30﹣20）＝35（分钟）．
故答案为：20，35．
（3）根据图象可得，小明从家到超市时路程为900米，时间为20分钟，
∴小明从家到超市时速度为： （米/分钟），
返回时路程为900米，时间为45﹣30＝15（分钟），
∴返回时的速度为： （米/分钟）．
答：小明从家到超市时的平均速度是45米/分钟，返回时的平均速度是60米/分钟．
【点评】本题主要考查了根据函数图象解决问题，解题的关键是观察图象，根据图象得出需要的数据．
六．动点问题的函数图象（共3小题）
12．（2023•武昌区模拟）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，点P从点A出发，以每秒1
个单位长度的速度，按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设 P点的运动时间为ts，△PAD的面积为
S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到BC的中点时，△PAD的面积为（ ）A．7 B．7.5 C．8 D．8.6
【分析】首先结合图形和函数图象判断出CD的长和AD的长，进而可得AB的长，从而可得E点坐标，然
后再计算出当5＜t≤10时直线解析式，然后再代入t的值计算出s即可．
【解答】解：根据题意得：四边形ABCD是梯形，
当点P从C运动到D处需要2秒，则CD＝2，△ADP面积为4，
则AD＝4，
根据图象可得当点P运动到B点时，△ADP面积为10，
则AB＝5，则运动时间为5秒，
∴E（5，10），
设当5＜t≤10时，函数解析式为s＝kt+b，
∴ ，
解得 ，
∴当5＜t≤10时，函数解析式为S＝﹣ t+16，
当P运动到BC中点时时间t＝7.5，
则S＝7，
故选：A．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的
关键．
13．（2023春•淮阳区月考）如图1，等腰Rt△ABC的边BC与正方形DEFG的边DE都在直线l上，且点
C与点D重合，AB＝BC＝DG＝2cm，将△ABC沿着射线DE方向移动至点B与点E重合停止，连接BG，
设C、D两点间的距离为xcm，B、G两点间的距离为ycm．
小陈根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小陈的探究过
程，请补充完整．（1）列表：如表的已知数据是根据C、D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几
组对应值；请你通过计算补全表格a＝ 2.2 4 ，b＝ 2 ；
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
y 2.83 2.5 a 2.06 b 2.06 2.24 2.5 2.83
（2）描点、连线：如图2，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函
数y关于x的图象；
（3）探究性质：随着x值的逐渐增大，y的值是怎样变化的？ 当 0 ≤ x ≤ 2 时， y 随 x 的增大而减小，当 2
＜ x ≤ 4 时， y 随 x 的增大而增大 ．
（4）解决问题：当BG+CD＝4.5时，C、D两点间的距离x是 0. 5 ．
【分析】（1）根据勾股定理进行计算便可；
（2）用描点法作出函数图象；
（3）根据函数图象解答；
（4）根据表格中数据可得结果．
【解答】解：（1）当x＝1时，CD＝1，
∴BD＝AC＝CD＝2﹣1，
∴y＝a＝BG＝ ，
当x＝2时，CD＝2，
∵BC＝2，
∴B与D重合，
∴y＝b＝BG＝＝DG＝2，
故答案为：2.24；2；
（2）根据描点法作出图象如下：（3）由函数图象可知，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大，
故答案为：当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，当2＜x≤4时，y随x的增大而增大；
（4）由表格数据可知，当x+y＝3时，x≈0.5，
故答案为：0.5．
【点评】本题动点问题的函数图象，勾股定理，正方形的性质，关键是正确作图函数图象，从函数图象上
获取信息．
14．（2023春•思明区校级月考）如图，长方形ABCD中，宽AB＝4，点P沿着四边按B→C→D→A方向
运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后恢复原速匀速运动，在运
动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图所示．
（1）直接写出m＝ 1 ，a＝ 4 ，b＝ 9 ；
（2）求长方形的长；
（3）当P点运动到BC中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动，当一
个点到达终点，另一个点也停止运动，设点 Q运动的时间为x秒，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y
与x之间的关系式．【分析】（1）当x＝a时，S△ABP ＝8，从而得出a和m的值，当x＝b时，S△ABP ＝4，从而求得b的值；
（2）由图象可知，BC的长度，在5≤x≤7时，S△ABP ＝12，求出BC的长；
（3）分0≤x≤1，1＜x≤2，2＜x≤4三种情况讨论．
【解答】解：（1）当x＝a时，S△ABP ＝ ×4×BP＝8，
∴BP＝4，
∴CP＝2，
∴a＝5﹣（2÷2）＝4，
∴m＝ ＝1，
当x＝b时，S△ABP ＝ ×4×AP＝4，
∴AP＝2，
∴DP＝4，
∴b＝7+（4÷2）＝9，
故答案为：1；4；9；
（2）在5≤x≤7时，△ABP的面积不变，
此时：点P在BC上运动，速度为每秒2个单位，
∴AD＝BC＝2×2＝4，
在5≤x≤7时，△ABP的面积为12，
∴ ×4×BC＝12，
∴BC＝6，
∴长方形的长为6；
（3）根据题意可知，BC＝4×1+1×2＝6，CD＝2×2＝4；
当0≤x≤1时，如图，BP＝3+x，CQ＝x，
∴y＝ BP•CQ＝ ×（3+x）•x＝ x2+ x；当1＜x≤2时，如图，BP＝4+2（x﹣1）＝2x+2，CQ＝x，
y＝ BP•CQ＝ ×（2x+2）•x＝x2+x；
当2＜x≤4时，如图，CP＝2（x﹣2），CQ＝x，
∴PQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x，
∴y＝ BP•CQ＝ ×（4﹣x）•6＝12﹣3x；
∴y＝ ．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，掌握矩形的性质，三角形的面积公式，利用数形结合的思想解决
问题是解题的关键．
七．函数的表示方法（共2小题）
15．（2023春•南海区校级月考）科学家认为二氧化碳（CO ）的释放量越来越多是全球变暖的原因之一．
2
下表1950﹣2020年全球排放的二氧化碳量：
年份 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020
全球CO 6002 9475 14989 19287 22588 24688 34180 35962
2
排放
量/百万
吨
其中因变量为 二氧化碳（ CO ）的释放量 ．
2
【分析】根据自变量、因变量的定义分别得出即可．【解答】解：由表可知，二氧化碳（CO ）的释放量随着年份的增加而增大．
2
∴因变量为二氧化碳（CO ）的释放量；
2
故答案为：二氧化碳（CO ）的释放量．
2
【点评】本题主要考查了自变量、因变量的定义，解题的关键是熟记定义进行判断．
16．（2023春•济阳区期中）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能
停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），对这种
型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离（m） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
（1）自变量是 刹车时车速 ，因变量是 刹车距离 ；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是 2 5 m；
（3）该种型号汽车的刹车距离用y（m）表示，刹车时车速用x（km/h）表示，根据上表反映的规律直接
写出y与x之间的关系式： y ＝ 0.2 5 x （ x ≥ 0 ） ；
（4）你能否估计一下，该种车型的汽车在车速为110km/h的行驶过程中，前面有一汽车遇紧急情况急刹并
停在距该车31m的地方，司机亦立即刹车，该汽车会不会和前车追尾？请你说明理由．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格数据可得答案；
（3）根据刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，可得答案；
（4）结合（3）的结论得出可得车速为110km/h的，刹车距离，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，自变量是刹车时车速，因变量是刹车距离．
故答案为：刹车时车速；刹车距离；
（2）当刹车时车速为100km/h时，刹车距离是25m．
故答案为：25；
（3）由表格可知，刹车时车速每增加10km/h，刹车距离增加2.5m，
∴y与x之间的关系式为：y＝0.25x（x≥0），
故答案为：y＝0.25x（x≥0）；
（4）当x＝110时，y＝110×0.25＝27.5，
∵27.5＜31，
∴该汽车不会和前车追尾．
【点评】本题考查了函数的表示方法以及函数的定义，理清刹车时车速与刹车距离的关系是解答本题的关
键．八．一次函数的定义（共2小题）
17．（2023春•天山区月考）下列函数：①y＝ ；②y＝﹣ ；③y＝3﹣ x；④y＝3x2﹣2；⑤y＝x2
﹣（x﹣3）（x+2）；⑥y＝6x．其中，是一次函数的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．当b＝0时，函数为y＝kx
（k≠0），所以正比例函数是一种特殊的一次函数．
【解答】解：①y＝ x，正比例函数，属于一次函数，符合题意；
②不是整式，不符合题意；
③y＝﹣ x+3，符合题意；
④x的次数是2，不符合题意；
⑤y＝x2﹣（x2﹣x﹣6）＝x+6，符合题意；
⑥这是x次方，不是1次，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的概念，注意一次函数必须是整式，x的最高次数只能是1，对于⑤要化简
后再判断．
18．（2023•沙坪坝区校级开学）已知函数 是关于x的一次函数，则m的值是 ﹣ 4
．
【分析】根据一次函数的定义求解．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣4）xm2﹣15+6是关于x的一次函数，
∴m﹣4≠0且m2﹣15＝1，
解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量
次数为1．
九．正比例函数的定义（共2小题）
19．（2023春•渝中区校级月考）下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正比例函数y＝kx（k≠0）定义来判断即可．【解答】解：A、 ，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B、 ，是正比例函数，符合题意；
C、 ，不是正比例函数，不符合题意；
D、 ，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数是常数是0的一次函数是解题的关键．
20．（2023春•衡山县校级月考）定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数．若特征数是[2，k﹣2]的一次函
数为正比例函数，则k的值是 2 ．
【分析】根据新定义写出一次函数的表达式；由正比例函数的定义确定k的值．
【解答】解：根据题意，特征数是[2，k﹣2]的一次函数表达式为：y＝2x+（k﹣2）．
因为此一次函数为正比例函数，所以k﹣2＝0，
解得：k＝2．
故填2．
【点评】此题为阅读理解题，结合考查正比例函数的定义，有新意，但难度不大．
一十．一次函数的图象（共2小题）
21．（2023春•包河区月考）在一次函数y＝ ax﹣a中，y随x的增大而减小，则其图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据y＝kx+b，k＜0时，y随x的增大而减小，可得答案．
【解答】解：在y＝ ax﹣a中，y随x的增大而减小，得a＜0，﹣a＞0，故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，利用一次函数的性质是解题关键．
（多选）22．（2023春•胶州市期中）已知直线y＝k x+b 与直线y＝k x+b 在同一平面直角坐标系中的图
1 1 2 2
象如图所示，则下列选项是关于x的不等式k x+b ＞k x+b 的正整数解的是（ ）
1 1 2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数的图象得出两函数的交点坐标，再根据图象得出即可．
【解答】解：∵根据图象可知：两函数的交点坐标为（3，2），
∴关于x的不等式k x+b ＞k x+b 的正整数解的取值范围是x＜3，
1 1 2 2
∴1和2是关于x的不等式k x+b ＞k x+b 的正整数解．
1 1 2 2
故选：AB．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，能根据函数的图象得出两函数的交点
坐标是解此题的关键．
一十一．正比例函数的图象（共1小题）
23．（2023春•桐柏县校级月考）如图，三个一次函数的图象分别对应解析式①y＝k x+b ；②y＝k x；
1 1 2
③y＝k x+b ．将k ，k ，k 从小到大排列，并用“＜”连接为（ ）
3 3 1 2 3
A．k ＜k ＜k B．k ＜k ＜k C．k ＜k ＜k D．k ＜k ＜k
1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 1 2
【分析】根据函数图象所经过的象限判断k的符号；然后根据直线的倾斜情况确定k的大小．
【解答】解：如图所示，k ＜0，k ＞0，k ＞0，
3 1 2
∴k 最小．
3∵直线y＝k x+b 比直线y＝k x倾斜度小，
1 1 2
∴k ＜k ，
1 2
∴k ＜k ＜k ．
3 1 2
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
一十二．一次函数的性质（共3小题）
24．（2023春•北碚区校级月考）一次函数y＝﹣2x+5的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】一次项系数﹣2＜0，则图象经过二、四象限；常数项5＞0，则图象还过第一象限．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴图象经过二、四象限；
∵5＞0，
∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象经过第一象限．
∴一次函数y＝﹣2x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
25．（2023春•靖江市期中）若点（﹣3，y ）、（3，y ）都在函数y＝x+1的图象上，则y 和y 的大小关
1 2 1 2
系为y ＜ y （用“＞”、“＝”、“＜”填空）．
1 2
【分析】由k＝1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜3，即可得出y ＜y ．
1 2
【解答】解：∵k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点（﹣3，y ）、（3，y ）都在函数y＝x+1的图象上，且﹣3＜3，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故答案为：＜．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是
解题的关键．26．（2023春•盐湖区校级月考）如图，已知一次函数y＝﹣x+3，当x ＝ 5 时，y＝﹣2；
当x ＞ 5 时，y＜﹣2；
当x ＜ 5 时，y＞﹣2；
当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0 ＜ x ＜ 6 ．
【分析】根据函数图像上即可求解．
【解答】解：如图，
y＝﹣2，即﹣x+3＝﹣2，解得x＝5，
故答案为：x＝5．
y＜﹣2即，在y＝﹣2直线下方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＞5．
y＞﹣2即，在y＝﹣2直线上方所有的横坐标点的集合．
故答案为：x＜5．
﹣3＜y＜3即，在y＝﹣3、y＝3直线之间所有的横坐标点的集合．
故答案为：0＜x＜6．
【点评】本题考查了一次函数图像与一元一次不等式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
一十三．正比例函数的性质（共2小题）27．（2023•碑林区校级二模）已知正比例函数 y＝kx中，y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣kx+k的
图象所经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【分析】先根据正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即
可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了正比例函数的性质和一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 y＝kx+b（k≠0）中，
当k＜0，b＞0时函数的图象在一、二、四象限．
28．（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为
﹣ 1 ．
【分析】根据正比例函数的性质，得到m＜0，|m|＝1，然后求解即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，
∴m＜0，|m|＝1，
解得m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数的有关性质．
一十四．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
29．（2023春•沙坪坝区校级月考）一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，则（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b≥0 D．k＜0，b≤0
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第三象限，
∴k＜0，b≥0．
故选：C．
【点评】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数 y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，直线
必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过
原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交是解题的关键．
30．（2023春•渝中区校级月考）若关于x的一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，且关于y的分式方程 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是（ ）
A．16 B．10 C．18 D．14
【分析】根据题意和一次函数的性质、分式方程有意义的条件，可以得出m的取值范围，再写出符合要求
的m的整数值，再计算即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（7﹣m）x﹣9的图象不经过第二象限，
∴7﹣m＞0，
解得m＜7，
解方程 可得， ，
∵分式方程有有非负数解，
∴ 且 ，
解得m＞2且m≠4，
由上述可得，m的取值范围为2＜m＜7且m≠4，
∴m的整数值为3，5，6，
∴3+5+6＝14．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的图象与系数的关系、解分式方程、解一元一次不等式，解决本题的关键是明
确题意，求出m的取值范围．
31．（2023•红桥区一模）若一次函数y＝2x+b﹣1（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的取值
范围是 b ＞ 1 ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝2x+b﹣1的图象经过第一、二、三象限，
∴b﹣1＞0，
∴b＞1．
故答案为：b＞1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，
b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负
半轴．记住k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象
限；k＜0，b＞0 y＝kx⇔+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0 y＝kx⇔+b的图象在二、三、四象限．
一十五．一次函⇔数图象上点的坐标特征（共2小题） ⇔32．（2023•靖江市模拟）已知点 在一次函数y＝（m2+1）x+2n（m，n
为常数）的图象上，则y ，y 的大小关系为（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【分析】由偶次方的非负性可得出m2≥0，进而可得出m2+1＞0，利用一次函数的性质可得出y值随x的增
大而增大，再结合﹣1＜3，即可得出y ＜y ．
1 2
【解答】解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴y值随x的增大而增大．
∵a2+1﹣（2a﹣1）＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1＞0，
∴a2+1＞2a﹣1，
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质以及偶次方的非负性，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随
x的增大而减小”是解题的关键．
33．（2023春•新城区校级月考）如图，函数y＝2x﹣4与x轴，y轴交于点（2，0），（0，﹣4），当﹣4
＜y＜0时，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．﹣1＜x＜2
【分析】由图知：当0＜x＜2时，﹣4＜y＜0；因此当﹣4＜y＜0时，0＜x＜2，由此可得解．
【解答】解：函数y＝2x﹣4与x轴、y轴交于点（2，0），（0，﹣4），
即当0＜x＜2时，函数值y的范围是﹣4＜y＜0，
因而当﹣4＜y＜0时，x的取值范围是0＜x＜2．
故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联
系及数形结合思想是解决本题的关键．
一十六．一次函数图象与几何变换（共3小题）
34．（2023春•崇川区校级月考）将直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的表达式为y＝ y
＝﹣ 2 x ﹣ 1 ．
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝﹣2x﹣2向上平移1个单位长度，可得直线的解析式
为：y＝﹣2x﹣2+1，即y＝﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣2x﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象“上加下减，左加右减”的平移法则是
解答此题的关键．
35．（2023春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半
轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过t秒该直线可将平行四边形
OABC分成面积相等的两部分，则t的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】依题意，直线经过平行四边形对角线的交点时，平分平行四边形的面积，求出对角线交点坐标，
进而根据一次函数平移的性质即可求解．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将 OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形， ▱
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握平行四边形的中心对称性质，直线经过对
角线的交点是解题的关键．
36．（2023春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的点A和点C分别落在x轴和y
轴上，AO＝4，CO＝2，直线y＝x+1以每秒1个单位长度向下移动，经过 2 秒该直线可将矩形OABC
的面积平分．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后
计算出过D且平行直线y＝x+1的直线解析式，从而可得直线y＝x+1要向下平移2个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，
当y＝x+1经过D点时，该直线可将矩形OABC的面积平分；
∵AC，BO是 OABC的对角线，
∴OD＝BD，▱
∵AO＝4，CO＝2，
∴B（4，2），
∴D（2，1），
根据题意设平移后直线的解析式为y＝x+b，
∵D（2，1），∴1＝2+b，解得b＝﹣1，
∴平移后的直线的解析式为y＝x﹣1，
∴直线y＝x+1要向下平移2个单位，
∴时间为2秒，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交
点的直线平分矩形的面积．
一十七．待定系数法求一次函数解析式（共4小题）
37．（2023春•崇川区校级月考）已知y与x﹣3成正比例，当x＝6时，y＝18，求：
（1）y与x的函数解析式；
（2）当y＝12时，求x的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义，设y＝k（x﹣3），然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到
y与x的函数解析式；
（2）利用（1）中的解析式，计算函数值为12所定义的自变量的值即可．
【解答】解：（1）设y＝k（x﹣3），
把x＝6，y＝18代入得18＝k×（6﹣3），
解得k＝6，
∴y＝6（x﹣3），
即y与x的函数解析式为y＝6x﹣18；
（2）当y＝12时，6x﹣18＝12，
解得x＝5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
38．（2023•梅州校级开学）已知直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，那么该直线的表
达式为 y ＝ 3 x ﹣ 2 ．
【分析】由直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，得到m2+m﹣4＝﹣2，求出m的值，又m+2≠0，得到m＝1，即可求出直线的表达式．
【解答】解：∵直线y＝（m+2）x+m2+m﹣4（m为常数）的截距是﹣2，
∴m2+m﹣4＝﹣2，
∴m＝1或m＝﹣2，
∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
∴m＝1，
∴该直线的表达式为：y＝3x﹣2．
故答案为：y＝3x﹣2．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．
39．（2023春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系 xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点
（3，0）和（﹣3，﹣2）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出该一次函数图象，并求它的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．
（2）利用直线解析式求得直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（3，0）和（﹣3，﹣2）．
∴ ，解得： ．
∴这个一次函数的解析式为：y＝ x﹣1．
（2）如图，令x＝0，则y＝ x﹣1＝﹣1，
∴直线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴图象与坐标轴围成的三角形的面积＝ ＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练
掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．
40．（2023•海曙区开学）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，
0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多
边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．
【分析】延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．把将多边形OABCDE分割
两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE分割成面积相等的两部分．而M点正是
矩形ABFO的中心，求得矩形CDEF的中心N的坐标，设y＝kx+b，利用待定系数法求k，b即可．
【解答】解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF；连接CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线l把矩形ABFO分成面
积相等的两部分．
又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，
过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．于是，直线MN即为所求的直线l．设直线l的函数表达式为y＝kx+b，则
解得 ，故所求直线l的函数表达式为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了一次函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），要有两组对应量确定解析式，即得到k，b的
二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．
一十八．待定系数法求正比例函数解析式（共1小题）
41．（2023•博罗县开学）若y＝（m﹣2）x+m2﹣4是y关于x的正比例函数，求该正比例函数的解析式．
【分析】利用正比例函数的定义得出k的值即可，得到函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是关于x的正比例函数，
∴m﹣2≠0，m2﹣4＝0，
解得：m＝﹣2，
∴该正比例函数的解析式为y＝﹣4x．
【点评】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
一十九．一次函数与一元一次方程（共2小题）
42．（2023春•福州期中）如图，一次函数y＝ax+b的图象为直线l，则关于x的方程 的解
为 x ＝ 2+ ．【分析】根据一次函数图象可得一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，则函数y＝a（x﹣ x）+b的
图象经过（2+ ，0）点，进而得到方程 的解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过（2，0）点，
∴一次函数y＝ax+b的图象向右平移 单位后，交x轴于点（2+ ，0），
∴关于x的方程 的解为x＝2+ ，
故答案为：x＝2+ ．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与几何变换，关键是正确利用数形结合
的方法解决问题．
43．（2023春•沙坪坝区校级月考）某同学在研究一个函数时，利用计算机，设计了一个如图所示的流程
图．若输入x＝﹣4，输出y＝﹣1；输入x＝ ，输出y＝﹣1；输入x＝ ，输出y＝1．
（1）a＝ 4 ，k＝ 2 ，b＝ ﹣ 2 ；
（2）在平面直角坐标系中，请作出x≥0时的函数图象；（3）请写出一条该函数的性质：
当 x ≥ 0 时， y 随着 x 的增大而增大 ；
（4）根据函数图象，直接写出关于x的方程kx+b＝﹣x+4解．
【分析】（1）根据待定系数求解即可；
（2）根据利用两点法作出图象即可；
（3）根据图象写出一条性质即可；
（4）作出直线y＝﹣x+4，根据直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2）即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＜0时， ，当x＝﹣4，输出y＝﹣1；
∴ ，
∴a＝4；
∴当x＜0时， ，
当x≥0时，y＝kx+b，输入 ，输出y＝﹣1；
输入 ，输出y＝1．
∴ ，
解得 ，
∴当x≥0时，y＝2x﹣2，
故答案为：4，2，﹣2（2）当x＝0时，y＝2x﹣2＝﹣2，
当y＝0时，0＝2x﹣2，
解得x＝1，
得到点（0，﹣2），（1，0），根据x≥0即可作出函数图象如下：
（3）该函数的性质：当x≥0时，y随着x的增大而增大；
故答案为：当x≥0时，y随着x的增大而增大（答案不唯一）；
（4）如图，
根据函数图象，直线y＝2x﹣2与直线y＝﹣x+4的交点为（2，2），
∴关于x的方程kx+b＝﹣x+4解为x＝2．
【点评】此题考查一次函数与一元一次方程、反比例函数和一次函数的图象和性质、一次函数图象交点问
题，数形结合和准确计算是解题的关键．
二十．一次函数与一元一次不等式（共2小题）
44．（2023•未央区校级模拟）如图，直线l ：y＝x+3与直线l ：y＝ax+b相交于点A（m，4），则关于x
1 2
的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ）A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1
【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，然后根据图象写出不等式的解集即可．
【解答】解：∵y＝x+3经过点A（m，4），
∴m+3＝4，
解得：m＝1，
∴A（1，4），
∴关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是正确从函数图象中找出正确信息．
45．（2023春•城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图
所示，那么不等式 的解集为 x ＞ 1 ．
【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵从图象可知：两一次函数y＝ x+ 与y＝﹣ x+2的图象的交点坐标是（1， ），∴不等式 x+ ＜﹣ x+2的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元
一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
二十一．一次函数的应用（共3小题）
46．（2023春•北碚区校级期中）A、B两地相距4000米，甲货车从A地匀速开往B地，乙货车在甲货车
出发10分钟后，从B地沿同一公路出发匀速开往A地，到达A地后停止，而甲继续开往B地，到达B地
后才停止．两车之间的距离y（米）与甲货车出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图中的折线CD—DE
—EF—FG所示：①甲的速度为100米/分钟；②乙的速度为140米/分钟；③乙货车从B地到A地用的时
间为 分钟；④当乙到达A地时，甲离B地的距离为 米．上述说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲乙两货车的速度，然后即可计算出乙货车从B地到
A地用的时间，再根据函数图象中的数据，即可计算出当乙到达A地时，甲离B地的距离．
【解答】解：由题意可得，
甲货车的速度为：4000÷40＝100（米/分钟），故①正确；
由甲乙两车在22分钟相遇可得乙货车的速度为：（4000﹣10×100）÷（22﹣10）﹣100＝150（米/分钟），
故②错误；
乙货车从B地到A地用的时间为： （分钟），故③正确；
当乙到达 A 地时，甲行驶时间为 分钟，此时离 B 地的距离为
（米），故④正确；
正确的有①③④；故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．（2023春•南召县月考）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象．
①乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加；
②甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/s；
③在4至8秒时间段内，甲的速度都大于乙的速度；
④甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等．
上述结论正确的是 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，4秒后直线呈上升趋
势，则速度不断增加；8秒时速度是32cm/s，乙12秒时速度是32cm/s，直接可判断②；在4至8秒内甲的
速度图象一直在乙的上方，可判断③；算出甲、乙3秒所走路程即可判断④．
【解答】解：根据图象可得，乙前4秒的速度不变，是匀速运动，4秒后速度不断增加，
故①正确，；
从图象可知，甲点8秒时速度是32cm/s，乙点12秒时速度是32cm/s，
故②正确，；
在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，
故③正确；
甲每秒增加的速度为：32÷8＝4（米/秒），3×4＝12（米/秒），
∴甲前3秒平均速度为 ＝6（米/秒），运动路程为6×3＝18（米）；
乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×3＝36米，
所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．
48．（2023•市北区校级开学）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位 10km的培训中心参加学习，图中l甲 ，l乙 分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，以下说法
中正确的是 ①③④ ．
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲．
【分析】观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，然后根据图象上特殊点的意义进
行解答．
【解答】解：①乙在28分时到达，甲在40分时到达，
所以乙比甲提前了12分钟到达，
故①正确；
②根据甲到达目的地时的路程和时间知：甲的平均速度＝10÷ ＝15（km/h），
故②错误•；
④设乙出发x分钟后追上甲，则有： ×x＝ ×（18+x），
解得x＝6，
故④正确；
③由④知：乙遇到甲时，所走的距离为：6× ＝6（km），
故③正确．
所以正确的结论有三个：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过
图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二十二．一次函数综合题（共6小题）
49．（2023春•雨花区期中）约定：如果函数的图象经过点（m，n），我们就把此函数称作“（m，n）族
函数”．比如：正比例函数y＝2x的图象经过点（1，2），所以正比例函数y＝2x就是“（1，2）族函数”．
（1）①以下数量关系中，y不是x的函数的是 BE （填选项）
②以下是“（﹣1，1）族函数”的是 AEF （填选项）
A.
B．|y|＝x
C．y＝x2+2x﹣4
D．y＝|x|+1
E．y2＝﹣x
F．y＝2x+3
（2）已知一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）．
①若该函数是“（﹣ ，4）族函数”，求k的值．
②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．
（3）已知一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的
函数值y恰好有 ，求该一次函数的解析式．
【分析】（1）①根据函数的定义即可求解；
②将点（﹣1，1）代入各选项函数解析式中即可解答；
（2）①将点（﹣ ，4）代入一次函数y＝kx﹣k+1中，即可求解；
②函数解析式可变形为y＝k（x﹣1）+1，令x﹣1＝0即可求解；
（3）由题意可知一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），联立两函数解
析式，求得交点为（﹣1，2），即m＝﹣1，n＝2，进而得到当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值
y恰好有2≤y≤4，再分k＞0或k＜0两种情况，当k＞0时，此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4）；当
k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2）；再分别根据待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）①对于B选项，|y|＝x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的
函数，
对于E选项，y2＝﹣x，则x与y不是唯一对应关系，不符合函数定义，即y不是x的函数，
故答案为：BE；
②A．∵ ，∴ 是“（﹣1，1）族函数”，B．∵1≠﹣1，∴|y|＝x不是“（﹣1，1）族函数”，
C．∵1≠1﹣2﹣4，∴y＝x2+2x﹣4不是“（﹣1，1）族函数”，
D.1≠1+1，∴y＝|x|+1不是“（﹣1，1）族函数”，
E.1＝﹣（﹣1），∴y2＝﹣x是“（﹣1，1）族函数”，
F.1＝﹣2+3，∴y＝2x+3是“（﹣1，1）族函数”，
故答案为：AEF；
（2）①∵一次函数y＝kx﹣k+1（k为常数，k≠0）是“（﹣ ，4）族函数”，
∴4＝ ﹣k+1，
解得：k＝﹣2；
②∵y＝kx﹣k+1＝k（x﹣1）+1，
令x﹣1＝0，则x＝1，y＝1，
∴无论k取何值，该函数必经过一定点（1，1）；
（3）∵一次函数y＝2x+4和y＝﹣x+1都是“（m，n）族函数”，
∴一次函数y＝2x+4的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象的交点为（m，n），
联立得： ，
解得： ，
∴交点为（﹣1，2），
∴m＝﹣1，n＝2，
∵当m≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有 ，
∴当﹣1≤x≤1时，一次函数y＝kx+b的函数值y恰好有2≤y≤4，
①当k＞0时，
此时一次函数过点（﹣1，2），（1，4），
∴ ，
解得： ，
∴y＝x+3；
②当k＜0时，此时一次函数过点（﹣1，4），（1，2），
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣x+3；
综上，该一次函数的解析式为y＝x+3或y＝﹣x+3．
【点评】本题主要考查函数的定义、新定义、用待定系数法求函数解析式、一次函数的性质，理解新定义，
并学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
50．（2023春•雨花区期中）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M是线段AB
的中点，点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，过点A作AQ∥BP交PM的延长线于Q，PM
交y轴于点C，连接OM．
（1）线段OM的长；
（2）①证明：四边形AQBP是平行四边形；
②当m取何值时，四边形AQBP是菱形；
（3）若点M坐标为（3，4），当﹣3≤m≤﹣2时，记 （其中OC示线段OC的长度），求s的最大
值．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后依据点M是线段AB的中点得出点M的坐标，即可求解；
（2）①证明△AMQ≌△BMP（ASA），根据全等三角形的性质得AQ＝BP，根据平行四边形的判定即可
得出结论；
②根据菱形的判定和性质即可求解；
（3）利用待定系数法求出直线PM的解析式为y＝ x+ ，可得C （0， ），则OC＝ ，s＝＝2m﹣6，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】（1）解：∵y＝﹣ x+8，当x＝0时，y＝8，
当y＝0时，﹣ x+8＝0，
解得x＝6，
∴A（0，8），B（6，0），
∵点M是线段AB的中点，
∴点M（3，4），
∴OM＝ ＝5；
（2）①证明：∵AQ∥BP，
∴∠AQM＝BPM，
∵点M是线段AB的中点，
∴AM＝BM，
∵∠AMQ＝∠BMP，
∴△AMQ≌△BMP（ASA），
∴AQ＝BP，
∵AQ∥BP，
∴四边形AQBP是平行四边形；
②解：当AP＝BP时，平行四边形AQBP是菱形，
∵点P为x轴负半轴上一动点，点P的横坐标记作m，
∴P（m，0）（m＜0），
∵A（0，8），B（6，0），
∴BP＝ ＝ ，AP＝6﹣m，
∴ ＝6﹣m，解得m＝﹣ ，
∴当m＝﹣ 时，四边形AQBP是菱形；
（3）解：设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵M（3，4），P（m，0）（﹣3≤m≤﹣2），∴ ，解得 ，
∴直线PM的解析式为y＝ x+ ，
当x＝0时，y＝ ，
∴C （0， ），
∴OC＝ ，
∴s＝ ＝2m﹣6，
∵2＞0，
∴s随m的增大而增大，
∵﹣3≤m≤﹣2，
∴当m＝﹣2时，s的最大值为2×（﹣2）﹣6＝﹣10．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形
的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等，解答本题的关键
是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
51．（2023春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、
点B，与直线CD：y＝kx+b（k≠0）交于点P，OC＝OD＝4OA．
（1）求直线CD的解析式；
（2）连接OP、BC，若直线AB上存在一点Q，使得S△PQC ＝S四边形OBCP ，求点Q的坐标；
（3）将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面
直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先求出OA，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形OBCP的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；
当点Q在点P的上方时；分别求出三角形PQC的面积，即可求出点Q的坐标；
（3）先求出直线l为y＝﹣x+3，然后得到OE＝3，然后分情况进行分析：当OE＝3作为矩形OEMN的边
时；当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则x＝1，
∴点A为（1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝OD＝4OA＝4，
∴点C为（4，0），点D为（0，4），
设直线CD的解析式为y＝kx+b；
∴ ，
∴ ，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4；
（2）解：在y＝2x﹣2中，令x＝0，则y＝﹣2，
∴点B为（0，﹣2），
∵ ，
解得 ，
∴点P的坐标为（2，2）；∴ ；
∵点Q在直线AB上，则设点Q为（x，2x﹣2），则
当点Q在点B的下方时，如图：
∵AC＝3，点P的坐标为（2，2），
∴ ，
∵S△PQC ＝S四边形OBCP ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
当点Q在点P的上方时，如图：
，
∴ ，
∴
解得： ，
∴ ，
∴点Q的坐标为 ；
综合上述，点Q的坐标为 或 ；
（3）解：∵直线CD向下平移1个单位长度得到直线l，
∴直线l为y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，∴点E的坐标为（3，0），
即OE＝3；
当OE＝3作为矩形OEMN的边时，如图：
∴点N的坐标为（0，3），
∴点M的坐标为（3，3）；
当OE＝3作为矩形OEMN的对角线时，如图：
∴点F的坐标为 ，
∵tan∠OEN＝|﹣1|＝1，
∴∠OEN＝45°，
∵ON⊥NE，
∴△ONE是等腰直角三角形，
∴ON＝NE，
∴四边形ONEM是正方形，
∴MN⊥OE，MN＝OE，
∴ ，
∴点M的坐标为 ；综合上述，则点M的坐标为（3，3）或 ；
【点评】本题考查了矩形的性质，一次函数的图象和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题．
52．（2023春•宜兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），点B、C都在x轴上，BC＝
12，AD∥BC，CD所在直线的函数表达式为y＝﹣x+9，E是BC的中点，点P是BC边上一个动点．
（1）当PB＝ 1 或 1 1 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE，有两种情况：①当P在E
的左边，利用已知条件可以求出BP的长度；②当P在E的右边，利用已知条件也可求出BP的长度；
（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．由（1）知，当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶
点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相等即可证明是菱形．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，点A坐标是（0，4），CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，
∴D点的纵坐标为4，y＝4时，4＝﹣x+9，x＝5，
∴D点的横坐标为5，
∴D（5，4），
∵CD所在直线的函数关系式为y＝﹣x+9，y＝0时，0＝﹣x+9，x＝9，
∴C（9，0），∴OC＝9，
作DN⊥BC交于N，如图1所示，
则四边形OADN为矩形，
∴CN＝OC﹣ON＝OC﹣AD＝9﹣5＝4，DN＝4，
∴△DNC为等腰直角三角形，
∴CD＝ ＝4 ，
若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD＝PE＝5，
有两种情况：①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE＝6，
∴PB＝BE﹣PE＝6﹣5＝1；
②当P在E的右边，
PB＝BE+PE＝6+5＝11；
故当PB＝1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）点P在BC边上运动过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形，理由如下：
①当BP＝1时，此时CN＝DN＝4，NE＝6﹣4＝2，
∴DE＝ ＝ ＝2 ≠AD，
故不能构成菱形．
②当BP＝11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴EP＝AD＝5，
过D作DN⊥BC于N，如图2所示：由（1）得：DN＝CN＝4，
∴NP＝BP﹣BN＝BP﹣（BC﹣CN）＝11﹣（12﹣4）＝3．
∴DP＝ ＝ ＝5，
∴EP＝DP＝AD＝5，
故此时平行四边形PDAE是菱形，
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定、
矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考压轴题．
53．（2023春•福州期中）在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．
1
当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0．
（1）求k，b的关系式（用含b的代数式表示k）；
（2）若∠ABO＝60°．
①求直线l 的解析式；
1
②若直线l ：y＝mx+m与直线l 相交，且两条直线所夹的锐角为45°，求m的值．
2 1
【分析】（1）根据当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，可得当x＝3时，y＝0，即A（3，0），即可得
k，b的关系式为k＝﹣ ；
（2）①由A（3，0），∠ABO＝60°，可得B（0， ），用待定系数法即可得直线l 的解析式为y＝﹣
1
x+ ；②设直线l 与x轴交于D，连接BD，直线l 与直线l 交于C，分两种情况：当C在y轴左侧
2 1 2
时，过C作CH⊥y轴于H，由y＝mx+m可得D（﹣1，0），即可得BD2+AB2＝AD2，故∠ABD＝90°＝
∠DBC，从而△BCD是等腰直角三角形，由∠CBH＝∠ABO＝60°，可得C（﹣ ， +1），代入y＝mx+m得m＝﹣2﹣ ；当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，由△BDC是等腰直角三角形，有AC＝
AB﹣BC＝2 ﹣2，而∠ABO＝60°，即可得C（ ， ﹣1），代入y＝mx+m得m＝2﹣ ．
【解答】解：（1）∵当x＞3时，y＜0；当x＜3时，y＞0，
∴当x＝3时，y＝0，即A（3，0），
∴3k+b＝0，
∴k＝﹣ ，
∴k，b的关系式为k＝﹣ ；
（2）①如图：
由（1）知，A（3，0），
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∴OB＝ ＝ ＝ ，
∴B（0， ），
把A（3，0），B（0， ）代入y＝kx+b得：
，解得 ，
∴直线l 的解析式为y＝﹣ x+ ；
1
②设直线l 与x轴交于D，连接BD，直线l 与直线l 交于C，
2 1 2
当C在y轴左侧时，过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝mx+m中，令y＝0得x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
∵A（3，0），B（0， ），
∴AD＝4，AB＝2 ，BD＝2，
∴BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°＝∠DBC，
∵∠ACD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
在Rt△BCH中，∠CBH＝∠ABO＝60°，
∴∠BCH＝30°，
∴BH＝ BC＝1，CH＝ BH＝ ，
∴C（﹣ ， +1），
把C（﹣ ， +1）代入y＝mx+m得：﹣ m+m＝ +1，
解得m＝﹣2﹣ ；
当C在y轴右侧时，过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BCD＝45°，∠DBC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝2，
∵AB＝2 ，
∴AC＝AB﹣BC＝2 ﹣2，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
在Rt△ACK中，
CK＝ AC＝ ﹣1，AK＝ CK＝3﹣ ，
∴OK＝OA﹣AK＝3﹣（3﹣ ）＝ ，
∴C（ ， ﹣1），
把C（ ， ﹣1）代入y＝mx+m得：
m+m＝ ﹣1，
解得m＝2﹣ ，
综上所述，两条直线所夹的锐角为45°，m的值为﹣2﹣ 或2﹣ ．【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，含30°角的直
角三角形三边关系等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
54．（2023春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A、点B分别在x轴与y轴上，直线
AB的解析式为 ，以线段AB、BC为边作平行四边形ABCD．
（1）如图1，若点C的坐标为（3，7），判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线BP的对称点是Q，连接PQ，BQ．
①当∠CBP＝ 3 0 °时，点Q位于线段AD的垂直平分线上；
②连接AQ，DQ，设CP＝x，设PQ的延长线交AD边于点E，当∠AQD＝90°时，求证：QE＝DE，并求
出此时x的值．
【分析】（1）过C作CH⊥y轴于H，在y＝﹣ x+3中，可得A（4，0），B（0，3），即有OA＝4，OB
＝3，AB＝5，而C（3，7），故OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，可证△AOB≌△BHC（SAS），得AB＝BC，
∠ABO＝∠BCH，从而可得∠ABC＝90°，根据四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，即
知四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，由Q在AD的垂直平分线上，可得BQ＝CQ，而C关于直线BP
的对称点是Q，有BC＝BQ，故△BCQ是等边三角形，∠CBQ＝60°，即可得∠CBP＝∠QBP＝ ∠CBQ＝
30°；
②由∠AQD＝90°，C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，可得∠DQE＝∠BQA，∠QDE
＝∠BAQ，而AB＝BQ，有∠BQA＝∠BAQ，故∠DQE＝∠QDE，即得QE＝DE，从而可得DE＝QE＝AE
＝ ，设CP＝PQ＝x，在Rt△PDE中有（5﹣x）2+（ ）2＝（x+ ）2，从而可解得x的值是 ．【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形，理由如下：
过C作CH⊥y轴于H，如图：
在y＝﹣ x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，AB＝ ＝5，
∵C（3，7），
∴BH＝OH﹣BO＝4，CH＝3，
∴OB＝CH＝3，OA＝BH＝4，
在△AOB和△BHC中，
，
∴△AOB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，∠ABO＝∠BCH，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠ABO+∠HBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）①过Q作QK⊥AD于K，连接CQ，如图：∵Q在AD的垂直平分线上，
∴直线QK是正方形ABCD的对称轴，
∴QK是BC的垂直平分线，
∴BQ＝CQ，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴BC＝BQ，
∴BC＝BQ＝CQ，
∴△BCQ是等边三角形，
∴∠CBQ＝60°，
∵C关于直线BP的对称点是Q，
∴∠CBP＝∠QBP＝ ∠CBQ＝30°，
故答案为：30；
②如图：
∵∠AQD＝90°，
∴∠DQE+∠EQA＝90°，∠QDE+∠DAQ＝90°，∵C关于直线BP的对称点是Q，四边形ABCD是正方形，
∴∠BQP＝∠C＝90°，∠BAD＝90°，AB＝BC＝BQ，
∴∠BQE＝90°＝∠BQA+∠EQA，∠BAQ+∠DAQ＝90°，
∴∠DQE＝∠BQA，∠QDE＝∠BAQ，
∵AB＝BQ，
∴∠BQA＝∠BAQ，
∴∠DQE＝∠QDE，
∴QE＝DE，
∵∠EQA＝90°﹣∠DQE＝90°﹣∠QDE＝∠EAQ，
∴QE＝AE，
∴DE＝QE＝AE，
∴QE＝DE＝ AD＝ AB＝ ，
设CP＝PQ＝x，则PD＝CD﹣x＝5﹣x，PE＝PQ+QE＝x+ ，
在Rt△PDE中，PD2+DE2＝PE2，
∴（5﹣x）2+（ ）2＝（x+ ）2，
解得x＝ ，
∴x的值是 ．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及正方形的判定，等边三角形的判定，勾股定理及应用等知识，
解题的关键是掌握对称的性质．
