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专题 19.2 一次函数
1.理解一次(正比例)函数的定义；
2.掌握一次(正比例)函数的图象与性质；
3.掌握一次函数图象的平移；
4.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、不等式之间的关。
知识点01 一次函数与正比例函数的概念
【知识点】
1.一次函数与正比例函数的概念
1)一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。
2)函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一
个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3)两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。
【知识拓展1】一次函数的概念
例1．(2022·湖南·衡阳市八年级阶段练习)下列函数关系式： ； ； ； ，
其中一次函数的个数是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
1．(2022·江苏·八年级专题练习)下列函数① ；② ；③ ；④ ；⑤
中，是一次函数的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识拓展2】正比例函数的概念
例2．(2022·吉林长春·八年级期末)下列各式中，表示正比例函数的是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
2．(2022·河南·鹿邑县八年级期末)下列函数是正比例函数的是( )
A． B． C． D．
【知识拓展3】一次函数定义(含参问题)
例3．(2022·河北·原竞秀学校八年级期中)若函数 是正比例函数，则m的值为( )
A． B．2 C． D．0
【即学即练】
3．(2022·江苏·八年级专题练习)已知函数 是一次函数，则m的取值范围是( )
A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数
【知识拓展4】实际背景下的一次(正比例)函数概念
例4．(2022·浙江台州·八年级期末)下列变化过程中，y是x的正比例函数是( )
A．某村共有 耕地，该村人均占有耕地y(单位： )随该村人数x(单位：人)的变化而变化
B．一天内，温岭市气温y(单位： )随时间x(单位：时)的变化而变化
C．汽车油箱内的存油y(单位：升)随行驶时间x(单位：时)的变化而变化
D．某人一年总收入y(单位：元)随年内平均月收入x(单位：元)的变化而变化
【即学即练】
4．(2022·山东济南·中考真题)某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边
用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化
时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是( )
A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系知识点02 一次(正比例)函数的图象与性质
【知识点】
1.一次(正比例)函数的图象与性质
1)一次函数图象是一条直线；
2)已知两点可以作图，也可求出解析式；
3)交y轴于点(0，b)，交x轴于点( ，0)；
4)过象限、增减性
(过一、二象限) (过三、四象限) (过原点)
(过一、三象限)
随 的增大而增大
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
(过二、四象限)
随 的增大而减小
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
5)函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的(x、y)，x的值是点的横
坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标
的值，比较函数值的大小就是比较同一个 x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高
低。
2. 一次函数的平移与位置关系
y k xb y k xb
1 1 2 2
1)一次函数 与 的位置关系：
k =k b b
k k =1
1 2 1 2 1 2
两直线平行 且 两直线垂直2)、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
【知识拓展1】过象限问题
例1．(2022·山东·邹平市八年级期中)已知 ，则直线 不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【即学即练1】
1．(2022·福建福州·八年级期末)直线 不经过的象限是( )
A．第一 B．第二 C．第三 D．第四
2．(2022·河北保定·八年级期末)写出一个图象位于第二、四象限的正比例函数的解析式是______．
【知识拓展2】增减性判断
例2．(2022·安徽巢湖·八年级期末)下列函数的图象不经过第三象限，且y随x的增大而减小的是( )
A．y＝x B．y＝﹣x C．y＝x＋1 D．y＝﹣x﹣1
【即学即练2】
2．(2022·湖南绥宁·八年级期末)已知一次函数y＝(m＋2)x＋1，函数y的值随x值的增大而减小，则常数m
的取值可以是_____________．(只需要写一个满足条件的常数m)
3．(2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末)甲，乙两名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点 ；乙：y随x的增大而减小；根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个一
次函数的表达式为______．
【知识拓展3】增减性的运用-比大小
例3．(2022·湖北十堰·八年级期末)点A 和点B 都在直线y＝﹣2x+b上，则 和 的大小关系
是( )
A． B． C． D．不能确定
【即学即练】
3．(2022·湖北武汉·八年级期末)一次函数 的图像上有三个点 ， ， ，据此可
以判断 ， ， 的大小关系为( )
A． B． C． D．4．(2022·黑龙江佳木斯·八年级期末)若点 ， ， 在一次函数 ( 是常数)
的图象上，则 ， ， 的大小关系是( )
A． B． C． D．
【知识拓展4】运用增减性(过象限)求参数
例4．(2022·四川成都市·八年级期中)若y＝(m-2)x|m-2|﹣5是关于x的一次函数，且y随x增大而减小，则常
数m的值为______．
【即学即练】
4．(2022·河南许昌·八年级期末)已知一次函数 的图象经过第一、三、四象限，则下列结论正
确的是( )
A． B． ． C． D．
5．(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)已知正比例函数 的函数值y随x的增大而增大，则m的取
值范围是( )
A． B． C． D．
6．(2022·天津市红桥区教师发展中心八年级期末)已知点 ， 在正比例函数 的
图象上，且当 时，有 ，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【知识拓展5】一次函数的平移问题
例5．(2022·江西·八年级期末)若直线 向左平移5个单位长度，则得到的直线解析式为( )
A． B． C． D．
【即学即练】
5．(2022·湖南绥宁·八年级期末)在平面直角坐标系中，将直线l ：y＝3x平移后得到直线l ：y＝3x＋2，则
1 2下列平移的做法正确的是( )
A．将l 向左平移2个单位 B．将l 向右平移2个单位
1 1
C．将l 向上平移2个单位 D．将l 向下平移2个单位
1 1
6．(2022·沈阳市第七中学九年级开学考试)平面直角坐标系中，将直线向右平移1个单位长度得到的直线解
yx2
析式是 ，则原来的直线解析式是( )
y2x1 yx1 y=x+3 y2x3
A． B． C． D．
【知识拓展6】一次函数的图象问题
例6．(2022·山东济宁·八年级期末)在同一坐标系中，函数y＝2kx与y＝x﹣k的图象大致是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
6．(2022·广西钦州·一模)定义一种运算： 则函数 的图象大致是
( )
A． B．C． D．
知识点03 一次方程(组)与一次函数的关系
【知识点】
一元一次方程(二元一次方程组)与一次函数的关系
1)一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
2)一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。
y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解
3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考
虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定
两条直线交点的坐标.
4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的
交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的
直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.
【知识拓展1】一次函数与一次方程
例1．(2022·湖北鄂州·八年级期末)已知点 在直线 (k，b为常数，且 )上，则关于x的方
程 的解是 _____．
【即学即练】
1．(2022·河北·围场满族蒙古族自治县中小学教研室八年级期末)一次函数 的图像如图所示，则方程 的解为( )
A． B． C． D．
2．(2022·陕西·西工八年级期末)如图，已知直线y＝ax+b，则方程ax＝1﹣b的解为x＝_____．
【知识拓展2】根据函数图象得方程(组)的解
例2．(2022·广西·梧州市第十中学八年级期中)如图，若直线 ： 与直线 ： 相交于点
P，则方程组 的解是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
2．(2022·贵州黔西·二模)如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点 ，则关于x的方程mx+2＝kx+b的解为________．
3．(2022·山东烟台·七年级期中)两直线 和 的图象如图所示，则关于x的一元一次方程
的解是_________．
知识点04 一次不等式与一次函数的关系
【知识点】一次不等式与一次函数的关系
1)一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0(或kx+b＜0)。
2)从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合。
3)若两个不等式比较大小，如y＞y，反映在图像上为l 的图象在l 的图像上面部分x的取值范围。
1 2 1 2
【知识拓展1】一次函数与一次不等式
例1．(2022·广东·深圳八年级期末)一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则关于x的不等式mx﹣n＜0的解
集是( )A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【即学即练】
1．(2022·海南·八年级期末)一次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是( )
A． B． C． D．
【知识拓展2】一次函数与不等式组
例2．(2022·河南南阳·八年级期末)如图所示，一次图数y＝－x＋3与一次函数y＝2x＋m图象交于点(2，
n)，则关于x的不等式组 的解集为( )
A． B． C． D．
【即学即练】2．(2022·陕西榆林·八年级期末)直线 ： 与直线 ： 在同一平面直角坐标系中的图象如图
所示，则关于 的不等式 的解集是( )
A． B． C． D．
3．(2022·贵州毕节·八年级期末)一次函数 与 的图象如图所示，则下列结论：
① ；② ， ；③当 时， ；④不等式 的解集是
其中正确的结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
题组A 基础过关练
1．(2022·江苏·八年级专题练习)下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为( )
A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣ D．y＝2．(2022·宁夏吴忠·八年级期末)下列函数的图象不经过第一象限，且y随x的增大而减小的是( )
A． B． C． D．
3．(2022·河北·八年级期末)如图，已知直线 ，则关于 的不等式 的解集是( )
A． B． C． D．
4．(2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习)如图，已知一次函数y＝kx+b；与y＝kx+b 交于点
1 1 2 2 2
A，根据图象回答，y＞y 时，x的取值范围是( )
1 2
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
y2x1
5．(2022·湖北通城·八年级期末)直线 经过的象限是( )
A．三、二、一 B．三、四、一 C．二、三、四 D．二、一、四
6．(2022·广西南宁·八年级期末)下列说法正确的是( )
A．函数 的图象是过原点的射线 B．直线 经过第一、二、三象限
C．函数 ， 随 增大而增大 D．函数 ， 随 增大而减小
7．(2022·河北邢台·八年级期中)已知点 ， ， 都在直线 上，则 ， ， 的
大小关系是( )
A． B． C． D．
8．(2022·成都市 ·八年级专题练习)若关于x的方程﹣2x+b＝0的解为x＝2，则直线y＝﹣2x+b一定经过点()
A．(2，0) B．(0，3) C．(4，0) D．(2，5)
9．(2022·山东威海·七年级期中)两个一次函数的图像如图所示，依据图中的信息，下列方程组的解满足交
点P的坐标的是( )
A． B． C． D．
10．(2022·辽宁盘锦·八年级期末)函数y＝-5x＋a＋1是关于x的正比例函数，则a的值等于___________．
11．(2022·甘肃·金昌市第五中学八年级期中)将直线 向下平移_________个单位长度后得到的直线
解析式是 ．
题组B 能力提升练
1．(2022·江苏·八年级专题练习)下列问题中，两个变量之间成正比例关系的是( )
A．圆的面积S(cm2)与它的半径r(cm)之间的关系
B．某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池有水ym3
C．三角形面积一定时，它的底边a(cm)和底边上的高h(cm)之间的关系
D．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程y与行驶时间x之间的关系
2．(2022·广东云浮·八年级期末)对于函数 ，下列结论正确的是( )
A．它的图像必经过点 B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当 时， D．y的值随x值的增大而增大
3．(2022·全国八年级专题练习)已知一次函数y=kx-1，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．(2022·陕西·西安三模)如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
y kx3 k k 0 x
5．(2022·陕西韩城·初二期末)若一次函数 ( 为常数且 )的图像经过点(－2，0)，则关于
kx530
的方程 的解为( )
x 5 x3 x3 x5
A． B． C． D．
6．(2022·广东中山·八年级期末)若直线 与 的交点在第一象限，则b的值可以是( )
A．2 B．1 C．0 D．
7．(2022·辽宁大连·八年级期末)如图，直线y=kx+b与y轴交于点(0，1)，则关于x的不等式kx+b<1的解集
是( )
A．x>0 B．x<0 C．x>1 D．x<1
8．(2022·湖北华一寄宿学校八年级阶段练习)如图，已知一次函数 和 的的图象交于点
(﹣1，2)，则不等式组 的解集为( )A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．﹣4＜x＜﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1
9．(2022·河南郑州·八年级期末)如图所示，一次函数 与 的图像如图所示，下列说法：①
对于函数 ，y随x的增大而减小；②函数 不经过第四象限；③不等式 的解集
是 ．其中正确的是( )
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
10．(2022·吉林八年级阶段练习)已知函数 是关于x的一次函数，则m＝______．
11．(2022·河北·石家庄市第二十二中学八年级阶段练习)将直线L： 向下平移3个单位，得到的直
线应为______，直线L关于y轴对称的直线为______．
12．(2022·河南新乡·八年级期末)已知点 ， 在一次函数 的图象上，若
，则实数m的取值范围是______．
ym1x
13．(2022·福建南靖·八年级期中)若正比例函数 的函数值y随x的增大而减小，且函数图像上
的点到两坐标轴距离相等，则m的值为______________．
14．(2022·河南商丘·八年级期末)已知函数y＝﹣2x+b，当﹣2≤x≤0时，函数y的最大值为﹣3，则b＝
_____．y2xb yx2 yx4
15．(2022·内蒙古准格尔旗·八年级期末)若直线 经过直线 与 的交点，则b的值为
____________．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·贵州遵义·一模)定义新运算： ．对于函数 ，下列说法正确的是( )
A．函数的图象经过第二、四象限 B．函数的图象经过点
C．y随x的增大而增大 D．函数的图象是双曲线
2．(2022·河南南阳·八年级期末)关于一次函数 的图像，下列叙述中：①必经过点(1，2)；②与x
轴的交点坐标是(0， )；③过一、三、四象限；④可由 平移得到，正确的个数是( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·福建·闽侯县实验中学八年级期中)若点(x，y)、(x，y)是一次函数y＝ax+2图象上不同的两点，
1 1 2 2
记m＝(x﹣x)(y﹣y)，当m＜0时，a的取值范围是( )
1 2 1 2
A．a＞0 B．a＜0 C．a＜1 D．a＞1
4．(2022·河南南阳·八年级期中)一次函数 ，当 时，对应的y的值为 ，则kb的值
为( )
A．15 B． C． 或12 D．15或
5．(2022·福建·厦门市海沧区北附学校八年级期末)某个函数的图象由线段AB和线段BC组成，如图，其中
， ， ，点 ， 是这两条线段上的点，则正确的结论是( )
A．当 时， B．当 时，C．当 时， D．当 时，
6．(2022·四川成都·八年级期中)下图中，能表示一次函数 与正比例函数 (m，n为常数，且
)的大致图象的是( )
A． B． C． D．
7．(2022·安徽合肥·二模)若 是关于 的方程 的解，则一次函数
的图象与 轴的交点坐标是( )
A． B． C． D．
8．(2022·浙江台州·八年级期末)迭代是重复反馈过程的活动，其目的通常是为了逼近所需目标或结果．每
一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值．对于一次函
数 ，当 时， ．将 代入，得出 ，此过程称为一次迭代：再将 代入，
得出 ，此过程称为二次迭代……为了更直观的理解，我们不妨借助于函数图象，请你根据图象，得出
经过十次迭代后，y的值接近于下列哪个整数( )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．(2022·湖北武汉·八年级期末)直线y＝x+n与直线y＝mx+3n(m是常数，m≠0且m≠1)交于点A，当n的值发
生变化时，点A到直线y＝ x﹣3的距离总是一个定值，则m的值是( )A．3 B．2 C． D．
10．(2022·陕西·西安八年级期末)如图，直线 与直线 交于点 ，点 的横坐标为 ，且直线
过点 ，下列说法：①对于函数 来说， 随 的增大而减小；②函数 不
经过第三象限；③ ；④不等式组 的解集是 其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
11．(2022·陕西·西工大附中分校八年级期中)如图，直线l：y＝ax＋b经过点A(-1，-2)，与直线m：y＝cx＋
d交于点B，点B的横坐标是1，则不等式组cx＋d＞ax＋b＞-2的解集为( )
A．-2＜x＜1 B．-1＜x＜1 C．0＜x＜1 D．-2＜x＜0
12．(2022·江西·寻乌县教育局教学研究室八年级期末)若方程组 无解，则 图象不
经过第________象限．
13．(2022·陕西榆林·八年级期中)已知一次函数 的图象与x轴，y轴交于点A、B．
(1)若将此函数图象沿x轴向右平移2个单位后经过原点，求b的值；
(2)若函数 图象与一次函数 的图象关于y轴对称，求k、b的值．
