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19.2 一次函数
知识点1：正比例函数的定义及其性质
1.正比例函数的定义
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2.正比例函数的性质
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2)必过点：（0，0）、（1，k）
(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
知识点2：一次函数的定义及其性质
1.一次函数的定义
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，
一次函数y=kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当b=0， k≠0时， y=kx仍是一次函数．
⑶当b=0， k=0时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2.一次函数的性质
一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
b
k
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（- ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可
以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k¿0)b
k
（2）必过点：（0，b）和（- ，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限
0
直线经过第一、三、四象限
{k<0¿¿¿¿
直线经过第一、二、四象限
{k<0¿¿¿¿
直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数
，
符号
y y y y y y
图象
O x O x O x O x O x O x
性质 随 的增大而增大 随 的增大而减小
知识点3：一次函数y=kx＋b的图象的画法
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一
次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，
b），（-b/k，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
k<0
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
y=k x+b k ≠0 y=k x+b k ≠0
知识点4：直线 1 1（ 1 ）与 2 2（ 2 ）的位置关系
k =k b ≠b
（1）两直线平行⇔ 1 2且 1 2
k ≠k
（2）两直线相交⇔ 1 2
k =k b =b
（3）两直线重合⇔ 1 2且 1 2
k k =−1
（4）两直线垂直⇔ 1 2
知识点5：用待定系数法确定函数解析式的一般步骤
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未
知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
知识点6：一次函数的应用
1.一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转
化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与
x轴的交点的横坐标的值.2.一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元
一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
3.一次函数与二元一次方程组
a c
− x+
b b
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y= 的图象相同.
{a x+b y=c ¿¿¿¿ a
1
c
1
a
2
c
2
− x+ − x+
1 1 1
b b b b
（2）二元一次方程组 的解可以看作是两个一次函数y= 1 1和y= 2 2的图
象交点.
4.一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积
（1）一次函数y=kx＋b的图象与两条坐标轴的交点：
b
−
k
与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（ ，0）.
（2）直线 （b≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为
1 b b2
s= ×| |×|b|=
2 k 2|k|
【例题1】（2019广西河池）函数 的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例题2】（2019贵州黔西南州）如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A
（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为 ．
【例题3】（2020•安徽）已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）
【例题4】（2019•贵州安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克 60元
的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元）与每千元降
价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【例题5】（2020•连云港）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路
上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的路程y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小
欣同学结合图象得出如下结论：
快车途中停留了0.5h；
①快车速度比慢车速度多20km/h；
②图中a＝340；
③快车先到达目的地．
④其中正确的是（ ）
． B． C． D．
A ①③ ②③ ②④ ①④一、选择题
1．（2020•泰州）点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
2
2．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y= x+2分别交x轴于点A和点B．
3
则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（ ）
2√3
A．y＝x+2 B．y=√2x+2 C．y＝4x+2 D．y= x+2
3
3.（2019年陕西省）对于正比例函数 ，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（ ）．
A． B． C． D．
4.（2019年陕西省）已知一次函数 的图象经过点 、 ，且 时
，则k等于（ ）．
A． B． C． D．
5．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A． y=x2 B． y= C． y= D． y=
6．设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． 4 D． ﹣4
7．一次函数y=2x+1的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
8．若式子 +（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（ ）A B C D
9．一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A． k＞0，b＞0 B． k＜0，b＜0 C． k＜0，b＞0 D． k＞0，b＜0
10．关于一次函数y=2x﹣l的图象，下列说法正确的是（ ）
A． 图象经过第一、二、三象限
B． 图象经过第一、三、四象限
C． 图象经过第一、二、四象限
D． 图象经过第二、三、四象限
11．已知k＞0，b＜0，则一次函数y=kx﹣b的大致图象为（ ）
A B C D
12．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那该直线不经过的象限是（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
二、填空题
13．（2020•辽阳）若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝ ．
14.（2019辽宁本溪）函数y=5x的图象经过的象限是________.
15.（2019湖南郴州）某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期 1 2 3 4
数量（瓶） 120 125 130 135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为 瓶．
．在一次函数y=kx+3中，y的值随着x值的增大而增大，请你写出符合条件的k的一个值： ．
17．直线y=﹣3x+5不经过的象限为 ．18．19．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=
x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向
右依次记为S、S、S、…、S，则第4个正方形的边长是 ，S 的值为 ．
1 2 3 n 3
20．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y= x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，
点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点
A的对应点A′落在直线y=﹣ x上，则点B与其对应点B′间的距离为 ．22．如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA 的长为1，△AAB、△AAB、△AAB…△AA B 均为
1 1 2 1 2 3 2 3 4 3 n n+1 n
等边三角形，点A、A、A…A 在x轴的正半轴上依次排列，点B、B、B…B 在直线OD上依次排列，那
1 2 3 n+1 1 2 3 n
么点B 的坐标为 ．
n
三、解答题
23.（2019•河南）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需
120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 ．请设计出最省钱的
购买方案，并说明理由．
24.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
25.已知一次函数 =(n-2)x+ -n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3- ) 是什么函数，写
出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。
26.已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
27．某地出租车计费方法如图，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：
（1）该地出租车的起步价是 元；
（2）当x＞2时，求y与x之间的函数关系式；
（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车车费多少元？
