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专题 19.5 一次函数的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 行程问题】...............................................................................................................................................1
【题型2 工程问题】...............................................................................................................................................2
【题型3 利润最大问题】.......................................................................................................................................4
【题型4 费用最低问题】.......................................................................................................................................6
【题型5 调运问题】...............................................................................................................................................7
【题型6 体积问题】...............................................................................................................................................9
【题型7 几何图形问题】.....................................................................................................................................10
【题型8 其他问题】.............................................................................................................................................11
【题型1 行程问题】
【例1】（2022春•大足区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继
续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过 12
小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为 x（小
时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当乙车到达A地时，甲车距A
地 15 0 千米．
【变式1-1】（2022•前进区校级开学）甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出
发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示：
（1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？（2）求乙车出发多长时间追上甲车？
（3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km．
【变式1-2】（2022秋•舞钢市期末）甲、乙两人分别从笔直道路上的 A、B两地出发相向匀速而行，已知
甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定
先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关
系如图所示，有下列说法：①甲的速度是 60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两
人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-3】（2022春•南川区期末）甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 560
米，先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发 1秒，两运动员之间的距离y（米）与乙出发的时间x
（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①a＝7；②b＝63；③c＝80．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
【题型2 工程问题】
【例2】（2022•李沧区一模）李沧区海绵工程建设过程中，需要将某小区内两段长度相等的人行道改造为透水人行道，人行道绿篱改造为下沉式绿篱．现分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映
所铺设人行道的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图象，请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时间段内，y与x的函数关系式；
（2）若甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，
求甲队从开始施工到完成，所铺设的人行道共是多少米．
【变式2-1】（2022春•华容县期末）某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，
由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元．
（1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y 元，选择公路运输时，所需
1
运费为y 元，请分别写出y、y 与x之间的关系式；
2 1 2
（2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则
选用哪种运输方式所需用较少？
【变式2-2】（2022春•庐江县期末）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理
后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲
队清理完的路面长y（米）与时间x（时）的函数图象为线段OA，乙队铺设完的路面长y（米）与时间x
（时）的函数图象为折线BC﹣﹣CD﹣﹣DE，如图所示，从甲队开始工作时计时．
（1）直接写出乙队铺设完的路面长y（米）与时间x（时）的函数关系式；
（2）当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？
【变式2-3】（2022•无锡模拟）甲，乙两人同时各接受了300个零件的加工任务，甲比乙每小时加工的数
量多，两人同时开工，其中一人因机器故障停止加工若干小时后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（小时）之间的函数关系，观察图象解决下列
问题：
（1）其中一人因故障，停止加工 小时，C点表示的实际意义是 ．甲每小时加工的零
件数量为 个；
（2）求线段BC对应的函数关系式和D点坐标；
（3）乙在加工的过程中，多少小时时比甲少加工75个零件？
（4）为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙加工，直到完成．丙每小时能加工80个零件，并把丙
加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第多少小时时开始帮助乙？并在图中用虚线画出丙帮助后y与x
之间的函数关系的图象．
【题型3 利润最大问题】
【例3】（2022春•遵义期末）钓鱼成为越来越多人休闲娱乐的选择，鱼密度大的鱼塘的门票在300﹣600
元不等，这让爱好钓鱼的钓友们喜欢到能回鱼的鱼塘垂钓（回鱼是指钓友钓上的鱼返卖给塘主），如果
鱼情和钓鱼技能好的话还能获得一些利润．欢乐鱼塘的门票为 450元5小时，回鱼标准为56斤以内为
12元/斤，超过56斤的部分7元/斤：云门鱼塘门票为320元5小时，回鱼标准是律按8元/斤．（斤是重
量单位，1斤0.5千克），设钓友获得的利润为y元，鱼的重量为x斤．
（1）求在两家鱼塘钓鱼时y 、y 与x之间的函数关系式；
欢乐 云门（2）如图，在平面直角坐标系中，M，N为图象的交点，m，n分别为点M，N的横坐标，写出图中
m，n的值分别为 、 ；
（3）钓友会根据自己的钓鱼技能和鱼塘的回鱼标准选择不同的鱼塘垂钓，请帮钓友们分析选择在哪家
鱼塘钓鱼更划算？
【变式3-1】（2022春•武汉期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售
人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．
图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系
中，时间每增加1天，日销量减少5件．
（1）第25天的日销量是 件，这天销售利润是 元；
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）日销售利润不低于640元的天数共有多少天？销售期间日销售最大利润是多少元？
【变式3-2】（2022•济宁二模）某商店购进了A，B两种家用电器，相关信息如下表：
家用电器 进价（元/件） 售价（元/件）
A m+200 1800
B m 1700
已知用6000元购进的A种电器件数与用5000元购进的B种电器件数相同．
（1）求表中m的值．
（2）由于A，B两种家用电器热销，该商店计划用不超过23000元的资金再购进A，B两种电器总件数
共20件，且获利不少于13300元．请问：有几种进货方案？哪一种方案才能获得最大利润？最大利润
是多少？
【变式3-3】（2022•长垣市模拟）某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，
销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数
量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a
部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
【题型4 费用最低问题】
【例4】（2022春•前郭县期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向 3～10km的出行市场
现有A、B品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中 A品牌收费方式对应
y，B品牌的收费方式对应y．
1 2
（1）请求出两个函数关系式．
（2）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车
的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱
呢？
（3）直接写出第几分钟，两种收费相差1.5元．
【变式4-1】（2022春•碑林区校级期末）某校张老师寒假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙
两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一
张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：
（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y （元），乙旅行社收费为y （元），两家旅行社的收费
甲 乙
各是多少？
（2）哪家旅行社收费较为优惠？
【变式4-2】（2022春•滦南县期末）某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙
复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信
息解答下列问题：
（1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 元；甲复印社每张收费是 元；
（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义；（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；
（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？
【变式4-3】（2022春•石河子期末）某种黄金饰品在甲、乙两个商店销售，甲店标价280元/克，按标价出
售，不优惠，乙店标价300元/克，但若买的黄金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．
（1）分别写出到甲、乙商店购买该种黄金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系，并写
出定义域；
（2）李阿姨要买一条重量不超过10克的此种黄金饰品，到哪个商店购买最合算？请说明理由．
【题型5 调运问题】
【例5】（2022•贺兰县模拟）云南某县境内发生地震，某市积极筹集救灾物资 260吨从该市区运往该县甲、
乙两地，若用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为
16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车 型 甲 地（元/辆） 乙 地（元/辆）
运往地
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地
的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于132吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，
并求出最少总运费．
【变式5-1】（2022春•扎鲁特旗期末）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台，乙型30台，现
将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与
该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元B地区 1600元 1200元
（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关
于x的函数关系式；
（2）试问有无可能一天获得总租金是80050元？若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说
明理由．
【变式5-2】（2022春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急
需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬
菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和
25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C D 总计/t
A 200
B x 300
总计/t 240 260 500
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方
案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 m元（m＞
0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【变式5-3】（2022春•巴南区月考）某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县
10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：
县名
费用 A B
仓库
甲 40 80
乙 30 50
（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．
（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【题型6 体积问题】
【例6】（2022秋•邗江区月考）某水池的容积为90m3，水池中已有水10m3，现按8m3/h的流量向水池注
水．（1）写出水池中水的体积y（m3）与进水时间t（h）之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（2）当t＝1时，求y的值；当y＝50时，求t的值．
【变式6-1】（2022春•北京期末）如图，有一个装水的容器，容器内的水面高度是 10cm，水面面积是
100cm2．现向容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加．
容器注满水之前，容器内水面的高度h，注水量V随对应的注水时间t的变化而变化，则h与t，V与t
满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，正比例函数关系
B．正比例函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，正比例函数关系
【变式6-2】（2022春•梁子湖区期末）水龙头关闭不严会造成漏水浪费，已知漏水量与漏水时间之间满足
一次函数关系，八年级同学进行了以下实验：在漏水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 10分
钟记录一次容器中的水量．下表是一位同学的记录结果，老师发现有一组数据记录有较大偏差，它是（
）
组别 1 2 3 4 5
时间t 0 10 20 30 40
（min）
水量w 1 2.4 3.8 5.2 6.8
（ml）
A．第2组 B．第3组 C．第4组 D．第5组
【变式6-3】（2022•宣城模拟）某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不
出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管进水的速
度与出水管出水的速度是两个常数，容器内水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．则每
分钟的出水量为（ ）15 15 13
A．4升 B． 升 C． 升 D． 升
2 4 4
【题型7 几何图形问题】
【例7】（2022春•交城县期末）菜农张大叔要用63米的篱笆围一个矩形的菜地，已知在菜地的一边AB边
上留有1米宽的入口．设AB边的长为x，BC边的长为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
63−2x 63−2x+1 63 1
A．y= B．y= C．y＝63﹣2x D．y= − x
2 2 2 2
【变式7-1】（2022春•阿荣旗期末）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【变式7-2】（2022秋•富民县校级期末）如图，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从A点出发，在正方
形的边上由A⇒B⇒C⇒D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如
图所示，请回答下列问题：
（1）点P在AB上运动的速度为 ，在CD上运动的速度为 ；
（2）求出点P在CD上时S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，△APD的面积为10cm2？【变式7-3】（2022春•泰和县期末）如图1是一个大型的圆形花坛建筑物（其中AB与CD是一对互相垂
直的直径），小川从圆心O出发，按图中箭头所示的方向匀速散步，并保持同一个速度走完下列三条线
路：①线段OA、②圆弧A→D→B→C、③线段CO后，回到出发点．记小川所在的位置距离出发点的距
离为y（即所在位置与点O之间线段的长度）与时间t之间的图象如图2所示，（注：圆周率π取近似
值3）
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）当t≤2时，试求出y关于t的关系式；
（3）在沿途某处小川遇见了他的好朋友小翔并聊了两分钟的时间，然后继续保持原速回到终点 O，请
回答下列两小问：
①小川渝小翔的聊天地点位于哪两点之间？并求出此时他距离终点O还有多远；
②求他此行总共花了多少分钟的时间．
【题型8 其他问题】
【例8】（2022春•昌平区期末）某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行
李，托运费y （元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快
1
递费y（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，
2
行李的质量x（公斤） 快递费
不超过1公斤 10元
超过1公斤但不超过5公斤的 3元/公斤
部分超过5公斤但不超过15公斤 5元/公斤
的部分
（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
2
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选
择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？
【变式8-1】（2022春•正定县期中）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm），与所挂
物体质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg 0 1 2 3 4 …
y/cm 8 8.5 9 9.5 10 …
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，x是自变量，y是x的函数
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式为y＝8+0.5x
D．挂30kg物体时，弹簧长度一定比原长增加15cm
【变式8-2】（2022秋•和平县期末）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度 y（单位：厘米）与观察
时间x（单位：天）之间的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，射线CD平行于x轴）．有下列
1
说法：①从开始观察起，60天后该植物停止长高；②直线AC的函数表达式为y= x+6；③观察第40天
5
时，该植物的高度为14厘米；④该植物最高为15厘米．其中说法正确的是（ ）A．①②③ B．②④ C．②③ D．①②③④
【变式8-3】（2022•阿城区模拟）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的
电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当用电量超过
240度时，其中240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费，设每个家庭月用
电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，下列叙述错误的是（ ）
A．“基础电价”是0.5元/度
B．“提高电价”是0.6元/度
C．小红家5月份用电260度的电费是132元
D．小红家4月份198元电费的用电量是129度
