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专题4.5 一次函数（知识讲解）
【学习目标】
y kxb y kx
1. 理解一次函数的概念，理解一次函数 的图象与正比例函数 的图象之间
的关系；
2.根据一次函数的条件列出解析式；
【要点梳理】
要点一、一次函数的定义
y kxb k b k
一般地，形如 （ ， 是常数， ≠0）的函数，叫做一次函数.
要点二、一次函数和正比例函数的关系
b y kxb y kx
当 ＝0时， 即 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函
k b
数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数 ， 的要求，一次函
数也被称为线性函数.
要点三、一次函数的表达式
求解一次函数表达式时，应结合生产和生活实际，求解一次函数表达式。
【典型例题】
类型一、一次函数的识别
1．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）是一次函数，（2）是正比例函数
【分析】
首先对各选项中的函数关系式进行化简整理，结合一次函数的定义进行分析并作出判
断；然后再对整理好的解析式根据正比例函数的定义进行分析判断．
解(1) ，∵ ， ，∴ 此函数是一次函数；
(2) ，∵ ， ，∴ 此函数是一次函数，也是正比例函数；
(3) ，∵ ， ，∴ 此函数是一次函数；(4) ，∵ ， ，∴ 此函数是一次函数；
(5) ，∵ ， ，∴ 此函数是
一次函数；
(6)由 得： ，它与一次函数 的形式不符，此函数不是
一次函数．
【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，掌握相关函数的定义是解题
的关键．
举一反三：
【变式1】下列函数中，哪些是一次函数？
（k，b是常数）
【答案】y=-2x是一次函数.
【分析】
根据一次函数的定义分别进行判断即可．
解（1） 自变量x的次数为-1，不是一次函数；
（2）y=-2x是一次函数；
（3）y=x2+2属于二次函数，不是一次函数；
（4）当k=0时，y=kx+b（k、b是常数）是常函数，不是一次函数；
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为
常数，k≠0，自变量次数为1．
【变式2】写出下列各题中 关于 的函数关系式，并判断 是否为 的一次函数，是
否为正比例函数．
（1）长方形的面积为20，长方形的长 与宽 之间的函数关系式；
（2）刚上市时西瓜每千克3.6元，买西瓜的总价 元与所买西瓜 千克之间的函数关
系式；
（3）仓库内有粉笔400盒，如果每个星期领出36盒，仓库内余下的粉笔盒数 与星
期数 之间的函数关系式；（4）爸爸为小林存了一份教育储蓄，首次存入10 000元，以后每个月存入500元，存
入总数 元与月数 之间的函数关系式．
【答案】（1） ，不是一次函数，也不是正比例函数；（2） ，是正比
例函数，也是一次函数；（3） ，是一次函数，不是正比例函数；（4）
，是一次函数，不是正比例函数．
【分析】
根据题意列出表达式，再根据一次函数及正比例函数的定义进行解答．
解（1） ，不是一次函数，也不是正比例函数．
（2） ，是正比例函数，也是一次函数．
（3） ，是一次函数，不是正比例函数．
（4） ，是一次函数，不是正比例函数．
【点拨】本题考查了一次函数、正比例函数的定义．一次函数y＝kx＋b的定义条件是：
k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
类型二、据一次函数的定义求参数
2．已知函数y＝（k﹣1）x|k|+k2﹣4是关于x的一次函数，求（3k+2）2012的值．
【答案】1
【分析】先根据一次函数的定义求出k的值，然后代入(3k+2)2012计算即可
解：由题意得
|k|=1，且k-1≠0，
解得
k=-1，
∴(3k+2)2012=(-3+2)2012=1．
【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如y=kx+b，（k为常数，k≠0）的函
数叫做一次函数．举一反三：
【变式1】已知 ．
（1） 满足什么条件时， 是一次函数？
（2） 满足什么条件时， 是正比例函数？
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）形如 是一次函数，根据一次函数的定义解题；
（2）形如 是正比例函数，根据正比例函数的定义解题.
解（1）：当 时为一次函数，
解得 ．
（2）：当 时为正比例函数，
解得 ．
【点拨】本题考查一次函数、正比例函数的定义，其中涉及绝对值等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
【变式2】已知函数 ．
（1）当 为何值时， 是 的一次函数，并写出关系式；
（2）当 为何值时， 是 的正比例函数，并写出关系式．
【答案】（1）当m=-2，n为任意实数时， 是 的一次函数，关系式为
；（2）当m=-2，n=-4时， 是 的正比例函数，关系式为
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可求出结论；
（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．
解：（1）由题意可得 ，n可以取任意实数解得：m=-2
∴
∴当m=-2，n为任意实数时， 是 的一次函数，关系式为 ；
（2）由题意可得 ，
解得：
∴
∴当m=-2，n=-4时， 是 的正比例函数，关系式为 ．
【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函
数和正比例函数的定义是解题关键．
类型三、求一次函数自变量或函数值
3 已知一次函数 的图象经过点 和点 ．当 时，求函数y
的值．
【答案】-14
【分析】把点（−1，4）和点（1，−2）代入y＝kx＋b得到一个关于k、b的方程组，
从而求解．
解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点（−1，4）和点（1，−2），
根据题意可得： ，
解得： ，
∴次函数的解析式为：y＝−3x+1，
把x＝5代入解析式可得：y＝−3×5+1＝−14．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确解方程组求出k、b的值是解题的关键．
【变式1】已知 ，则函数 是什么函数？当
x 时，函数值y是多少？
【答案】一次函数，
【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，再把a和b的值代入函数解析式即可
判断出函数的种类，再把x的值代入求解即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴函数 是一次函数，
当x 时，
．
【点拨】本题考查的是一次函数的定义，要根据非负数的性质解答，初中非负数有三
种：绝对值，偶次方，二次根式，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自
变量次数为1．
【变式2】已知函数 是一次函数，求k和b的取值范围．
【答案】k＝﹣2，b是任意的常数
【分析】若两个变量x和y间的关系式可以表示成y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的形
式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量），因而函数 是
一次函数的条件是k2﹣3＝1，且k﹣2≠0．
解：根据题意得：
∵ 是一次函数，∵k2﹣3＝1，且k﹣2≠0，
∴k＝﹣2或k＝2（舍去）
∴k＝﹣2．
b是任意的常数．
【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为
常数，k≠0，自变量次数为1．
类型四、一次函数表达式
4．已知 y 2 与 x 1成正比例，且 x 3时 y 4 。
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当 y 1时，求 x 的值。
【答案】（1）y=3x-5；（2）2
【解析】
【分析】
（1）已知y+2与x-1成正比例，即可以设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入即可求得k的
值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y=1即可求得x的值．
【详解】
解：（1）设y+2=k（x-1），把x=3，y=4代入得：4+2=k（3-1）
解得：k=3，
则函数的解析式是：y+2=3（x-1）
即y=3x-5；
（2）当y=1时，3x-5=1．解得x=2．
【点拨】
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程
解决问题．
举一反三：
【变式1】若 与 成正比例，且当 时， .
（1）求 与 的函数关系式（2）如果点 在该函数图象上，求 的值.
【答案】（1）y=x+3；（2）m=2.
【分析】
（1）设y-1=k（x+2），把x=2，y=-5代入求出k的值，进而可得出y与x的函数关系式；
（2）直接把点（m，5）代入（1）中一次函数的解析式即可．
解：（1）设 （ ）
当x＝2时，y＝5
5-1=(2+2)k
∴k=1
当K＝10时
y-1=x+2
y=x+3
（2）当点（m，5）在该函数图象上
∴5=m+3
