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专题 04 一次函数（考点清单，5 考点梳理+8 题型解读）
清单 01 变量与函数
1.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。
2、函数的概念：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
3.函数有三种表示形式：（1）列表法 （2）图像法 （3）解析式法
清单 02 一次函数的定义
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
清单 03 一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象与性质（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线 y=
kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第一，三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时,直线y= kx经过二, 四象限，从左向右下降，即随着 x的增大y反而减小。
2.一次函数的图象与性质
一次函数 [ y=kx+b（k、b是常数，k≠0 ]
如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么y叫x的一次函数
概念
.当b=0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数.
图像 一条直线
k＞0时，y随x的增大(或减小)而增大(或减小)；
性质
k＜0时，y随x的增大(或减小)而减小(或增大).
（1）k>0，b＞0图像经过一、二、三象限；
（2）k>0，b＜0图像经过一、三、四象限；
直线y=kx+b（k≠0）的位（3）k>0，b＝0 图像经过一、三象限；
置与k、b符号之间的关
系.
（4）k＜0，b＞0图像经过一、二、四象限；
（5）k＜0，b＜0图像经过二、三、四象限；
（6）k＜0，b＝0图像经过二、四象限。
求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数y=kx（k≠
一次函数表达式的确定 即可.
清单 0 4 一次函数的图象与方程、不等式
1.一次函数与一元一次方程
x为何值时函数y= ax+b的值为0．
从“数”的角度看，求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，
从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
2.一次函数与二元一次方程
1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于
考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确
定两条直线交点的坐标.
2）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象
的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.
3）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.
4）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.
3.一次函数与一元一次不等式
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．
从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射
线）所对应的的横坐标的取值范围．
清单 0 5 一次函数的 实际应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要
符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件
寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
【考点题型一】变量与函数（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）圆的半径为r，面积S与r的关系式为 ，下列判断正确
的是（ ）
A．r是因变量 B．π是常量 C．S是自变量 D．S，π，r都是变量
【答案】B
【分析】本题主要考查函数中常量与变量的概念，掌握其概念是解题的关键．根据常量（不会发生变化的
量）与变量（会发生变化的量）的定义即可求解．
【详解】解：A、 是自变量，故A选项错误，不符合题意；
B、 是常量，故B选项正确，符合题意；
C、 是因变量，故C选项错误，不符合题意；
D、 是常量，故D选项错误，不符合题意；故选：B．
【例1-2】（23-24八年级下·全国·期末）下列说法正确的是（ ）
A．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
B．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
C．变量 ， 满足 ，则 是 的函数
D．在 中， 是常量， ， 是自变量， 是 的函数
【答案】B
【分析】根据函数的定义解答即可．
本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量．
【详解】解： 与 不是唯一的值对应，故选项错误；
B．当 取一值时， 有唯一的值与之对应，故选项正确；
C． 与 不是唯一的值对应，故选项错误；
D．在 中， 、 是常量， 是自变量， 是 的函数，故选项错误．
故选B．
【例1-3】（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，
解一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
【例1-4】（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水
中的速度为 ，水流速度为 ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙
地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为 ，航行的路程为 ，则 与 的函数图象
大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案．
本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象．
【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多；
第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行；
第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少，
故选：C．
【变式1-1】（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图所示是加油站某时刻加油机上的数据显示牌． 在金额、
数量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ）
A．金额、单价是变量，数量是常量
B．数量、单价是变量，金额是常量
C．金额、数量是变量，单价是常量
D．金额、数量、单价都是变量
【答案】C
【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，汽油的单价是不会变的，因此是常量，而金额会随着数量的
变化而变化，因此金额和数量是变量．
【详解】解：∵在一个变化过程中，数值始终不变的量是常量，
∴金额、数量是变量，单价是常量．
故选：C．【变式1-2】（新定义）（22-23八年级下·四川宜宾·期末）对于实数 、 ，定义一种运算“ ”为：
，在函数 的图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据新定义求得 ，分别计算验证即可．
【详解】解：由题意得， ，
A、 时， ，故 不在图象上，故本选项不符合题意；
B、 时， ，故 不在图象上，故本选项不符合题意；
C、 时， ，故 不在图象上，故本选项不符合题意；
D、 时， ，故 在图象上，故本选项符合题意，
故选：D．
【变式1-3】（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）函数 ，对于自变量 取的每一个值 ，因变量 的
对应值称为函数值，记作： ，已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求解析式，求函数值，读懂题意是解题的关键．由
可求得 的值，从而得到 ，进而即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为：
【变式1-4】（23-24八年级下·陕西安康·期末）等腰三角形周长为 ，底边 长为 ，腰 长为
，
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的
关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围．
（1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式 ；
（2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围；
【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知： ，
∴ ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
解得： ．
【考点题型二】函数图象（ ）
【例2-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数的基本概念，函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值
与之对应．
【详解】解：A、图象能表示函数，故不符合题意；
B、图象能表示函数，故不符合题意；
C、图象能表示函数，故不符合题意；
D、一个自变量x对应两个函数值y，这与函数的概念矛盾，故图象不能表示函数，符合题意；
故选：D．
【例2-2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是
最佳的锻炼方式．周末小明从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休
息，之后跑步返回家中，已知小明两次休息时间相同且跑步速度始终不变．小明离开家的路程S与时间t
的关系（部分数据）如图所示．
【问题】小明每次休息的时间为（ ）
A．8分钟 B．10分钟 C．12分钟 D．14分钟
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的时间，根据两次休息时间
相同且跑步速度始终不变，即可求解．
【详解】解：由题意，小明跑步速度为 （米/分钟），
跑步返回家中所用的时间为 （分钟），∴小明每次休息的时间为 （分钟），
故选：B．
【例2-3】（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图，在长方形 中， ， ，对角线 ，
动点P从点C出发，沿 运动．设点P的运动路程为 ， BCP的面积为 ．若y与
x的对应关系如图所示，则图中 （ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查用图象表示变量的关系．根据题意，先求出当点 在 上运动时 的面积即 的值，
再根据点 沿 运动到 时的路程来求 的值即可．
【详解】解：当点 在 上运动时，
由图知，点 沿 运动到 时，路程为 ．
∴
．
故选：C．
【例2-4】（23-24八年级下·河北沧州·期末）某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八
折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：
（1）小明说：y与x之间的函数关系为 ；
（2）小刚说：y与x之间的函数关系为 ；
（3）小聪说：y与x之间的函数关系在 时， ；在 时， ；
（4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系；
购 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …买
量/
本
付
款
2
金 8 16 32 … 72 80 86.4 92.8 …
4
额/
元
（5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系．
其中，表示函数关系正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为
两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解．
【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折，
∴y与x之间的函数关系在 时， ；在 时， ；
∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确；
由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折，
∴表达两个量之间的关系，
（5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系，
综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个，
故选：C．
【例2-5】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）小明根据函数学习的经验，参照研究函数的过程与方法，对
于函数 的图像和性质进行探究．(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m=________，n=________；
x … -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 …
… m -2 n 2 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应
的点，如图所示：
(2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察图形并分析表格，解决下列问题：
①自变量x的取值范围是__________；
②函数图象关于点___________中心对称；
③求证：当 时，y随x的增大而增大．
【答案】(1) ，
(2)见详解
(3)① ② ③见详解
【分析】（1）将 ， 代入函数解析式即可求解；
（2）用光滑的曲线顺次连接起来，即可求解；（3）①由 得，分母不为 ，即可求解；②由表格可得第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相
反数，即可求解；③设 ，可得 ， ，可求 ，
， ， ，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，
，
当 时，
；
故答案： ， ．
（2）解：如图，用光滑的曲线顺次连接起来，
（3）①解：由 得自变量x的取值范围是 ，
故答案： ；
②解：由表格得：
与 ， 与 ， 与 ， ，
第一、三象限的点的横纵坐标分别互为相反数，
函数图像关于点 中心对称，
故答案： ．
③证明：设 ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，，
故当 时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了通过作函数图象，通过图象来研究函数性质：自变量取值范围、对称性、增减性，掌
握函数增减性的证明方法是解题的关键．
【变式2-1】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在等腰三角形 中， ，点D为 中点，
连结 ，若 ， ，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形的性质．根据题意，先得出y与x
的函数关系式，再结合x的取值范围进行判断即可．
【详解】解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
观察四个选项，D选项符合题意．故选：D．
【变式2-2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向
匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离
（米）与甲出发的时间 （分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两人之间的最远距离是 米
B．乙追上甲后，再走 米才到达终点
C．乙用 分钟追上甲
D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了 分钟
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．
根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答．
【详解】解：由图象可知，甲出发 分钟后乙追上甲，则乙用了 （分钟）追上甲，故 原选项
正确，不符合题意；
根据图象，甲步行 分钟走了 米，甲步行的速度为 （米 分钟），乙的速度为
（米 分钟），
则乙走完全程的时间为 （分钟），
乙追上甲剩下的路程为： （米），
∴乙追上甲后，再走 米才到达终点，故 选项正确，不符合题意；
当乙到达终点时，甲步行了 （米），
甲离终点还有 （米），
故甲乙两人之间的最远距离是 米，故 错误，符合题意；
∵甲步行了 米，
∴甲离终点还有 （分），
∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了 分钟，故 正确，不符合题意，
故选： ．
【变式2-3】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在如图1矩形 中，动点P从B点出发，沿 ，， 运动至点A停止，设P点运动的路程为x， 的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形
的面积是 ．
【答案】20
【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了
变化，说明 的长为4； 当点P在 上运动时， 的面积保持不变，就是矩形 面积的一半，
并且动路程由4到9，说明 的长为5； 根据上述求出的矩形的边长，求出矩形的面积. 本题主要考查了
动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出 、 的长度是解决问题的关键．
【详解】解：结合图形可以知道，P点在 上， 的面积为y增大，
当x在4-9之间时 的面积不变，得出 ， ，
∴矩形 的面积为： ．
故答案为：20．
【变式2-4】（22-23八年级下·湖南湘西·期末）阅读下面材料：小明想探究函数 的性质，他借
助计算器求出了y与x的几组对应值，并在平面直角坐标系中画出了函数图象：小聪看了一眼就说：“你
画的图象肯定是错误的．”请回答：小聪判断的理由是 ．写出函数 的一条性质： ．
x … 1 2 3 …
2.8 1.7 1.7 2.8
y … 0 0 …
3 3 3 3
【答案】 因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象 当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】此题考查函数的表示方法：表格法和图象法，还考查了函数的性质：利用表格中x与y的对应值
确定函数图象的位置及函数的性质，正确理解表格中自变量与函数值的对应关系，分析其变化规律是解题
的关键. 根据表格函数值没有负数解答，根据表格的x与y的值得到增减性.
【详解】解：由表格可知：∵函数值不可能为负，
∴在x轴下方不会有图象，
性质：当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
故答案为：因为函数值不可能为负，所以在x轴下方不会有图象；当 时，y随x的增大而减小；当
时，y随x的增大而增大；
【变式2-5】（22-23八年级下·山西大同·期末）阅读与思考
下面是小李同学的一篇日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在物理活动课上，我们“博学”小组的同学，进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究活动．
第一步：实验测量
多次改变砝码的质量x（克），测量弹簧的长度y（厘米），其中 ．
第二步：整理数据
5
砝码的质量x（克） 0 100 150 200 250
0
弹簧的长度y（厘米） 2 3 4 5 5.5 7
第三步：画函数y关于x的图象
在数据分析时，我发现有一个弹簧的长度是错误的，重新测量后，证明了我的猜想正确，并修改了表中这
个数据．
任务：
(1)表格中错误的数据是_________，y与x的函数表达式为_________；
(2)在平面直角坐标系中，画出y与x的函数图象；
(3)当弹簧的长度为4.5厘米时，悬挂砝码的质量是多少克，并在图象上描出这个点．
【答案】(1)5.5；
(2)见解析
(3)125克，描点见解析
【分析】（1）根据表格中砝码的质量与弹簧的长度变化规律解答即可；
（2）用描点法画出图象即可；
（3）令 ，代入解析式求出x，再在图象上描点即可．【详解】（1）由表格可知，砝码每增加50千克，弹簧的长度增加1厘米，
∴砝码为200克时，弹簧的长度为6厘米，
函数解析式为 ．
故答案为：5.5； ；
（2）如图，
（3）当 时，
答：当弹簧的长度为4.5厘米时，悬挂砝码的质量是125克
点P即为所求的点．
【点睛】本题考查了变量之间的函数关系，描点法画函数图象，以及求自变量的值，求出函数解析式是解
答本题的关键．
【考点题型一】正比例函数（ ）
【例3-1】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如 （k是常数， ）的函数叫做正比例函
数．根据正比例函数的定义解答即可．
【详解】解：A、 ，不是正比例函数，不符合题意；
B、 ，不是正比例函数，不符合题意；
C、 ，是正比例函数，符合题意；D、 ，不是正比例函数，不符合题意．
故选：C．
【例3-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数 的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将各选项所给点的横坐标代入 中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，
则该点在函数 的图象上，若不相等，则该点不在函数 的图象上．
本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解
题的关键．
【详解】解：A、∵当 时， ，
∴此点不在正比例函数 图象上，故A本选项错误；
B、∵当 时， ，
∴此点在正比例函数 图象上，故本选项正确；
C、∵当 时， ，
∴此点不在正比例函数 图象上，故本选项错误；
D、∵当 时， ，
∴此点不在正比例函数 图象上，故本选项错误．
故选B．
【例3-3】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知正比例函数 ．
(1)点 在它的图象上，求这个函数的表达式．
(2)在（1）的结论下，若 的取值范围是 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了正比例函数图象的增减性，图象上点的坐标特征，求函数关系式，解题关键是理解正
比例函数的增减性．
（1）把点 代入 中，即可求解 的值；
（2）分别计算出自变量为 和 所对应的函数值，然后根据正比例函数的性质确定 的取值范围．
【详解】（1）解：把点 代入 得： ，
解得： ，
这个函数的表达式为： ；
（2）解：当 时， ，
当 时， ，
，
随 的增大而减小，
的取值范围： ．
【变式3-1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）已知 的图像经过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图像，把点 代入解析式，求解即可．
【详解】解：把点 代入 ，得： ，
∴ ；
故选A．
【变式3-2】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）在探究“重力的大小与质量的关系”实验中，下列选项能
反映物体重力G与质量m的函数关系大致图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数．由题意得到重力G与质量m是正比例函数关系，即可判断．
【详解】解：由题意得重力G与质量m的函数关系是正比例函数关系，且图象过原点，
故选项A符合题意，
故选：A．
【变式3-3】（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）若点 和点 在同一个正比例函数
的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，将点代入解析式，根据
，即可解决问题．
【详解】解：根据题意得， ，
，
，即 ，故选项B，C，D错误，
，
，选项A正确；
故选：A．【变式3-4】（23-24八年级下·广西河池·期末）若y关于x的函数 是正比例函数，则
．
【答案】0
【分析】根据正比例函数的定义即可得解．一般地，对于两个变量x、y，若x、y之间的关系式可以表示成
（其中k、b为常数，且 ）的形式，那么称y是 x的一次函数，特别的，当 时，称y是
x的正比例函数.题中告诉我们是正比例函数，所以 ，即 ．
熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵y关于x的函数 是正比例函数，
∴ ,
故答案为：0．
【变式3-5】（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知点 ， 在正比例函数 的图象上，
若 ，则 ．（填“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当 时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当
时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小．
根据正比例函数 ，y随x的增大而增减小即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ 随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点题型四】一次函数（ ）
【例4-1】（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．①④ D．①③
【答案】D【分析】根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形
如 ， 、 是常数）的函数，叫做一次函数．
【详解】解：① 是一次函数，故本选项正确；
② 不是一次函数，故本选项错误；
③ 是一次函数，故本选项正确；
④ 不是一次函数，故本选项错误；
故选：D．
【例4-2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）两个一次函数 与 ，它们在同一直角坐
标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键；
观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一
致，即为正确选项；
【详解】解：A、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛
盾，故本选项错误，不符合题意；
B、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论一致，故本选项正
确，符合题意；
C、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛盾，故本选
项错误，不符合题意；
D、由 的图象可知， ， 即 ；由 的图象可知， ， ，两结论相矛盾，故本选
项错误，不符合题意；
故选：B．【例4-3】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 ： 交 轴于点 ，交
轴于点 ，点 ， ， 在直线 上，点 ， ， ， 在 轴的正半轴上，若 ， ，
， ，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 轴上，则第 个等腰直角三角形 顶点
的横坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识．先求出 、 、 的坐标，探究
规律后，即可根据规律解决问题．
【详解】解：对于直线 ： ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
∴ ，
∴ ，
， ，
∴ ， ， ，
， ， ，
∴ 的横坐标为 ．
故答案为： ．【例4-4】（24-25八年级上·江苏南京·期末）一次函数 ， 与 的图像如图所
示， ， ， 的大小关系是 ．（用“ ”连接）
【答案】
【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据
直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小．
【详解】解：由直线经过的象限，知： ，
∵根据直线越陡， 越大，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【例4-5】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知直线 与直线 平行，且将该直线向下平
移5个单位后得到直线 ，则 ．
【答案】25
【分析】利用一次函数图象的平移规律“上加下减”和两直线相互平行时的值相同，得出即可．此题主要
考查了一次函数图象与系数的关系，两条直线相交或平行问题以及一次函数图象与几何变换，若两条直线
是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线 与直线 平行，
∴ ，∵将直线 向下平移5个单位后得到直线 ，将直线 向下平移5个单位后得到
直线 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：25．
【例4-6】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）已知一次函数 的图象经过 ， 两点．
求该一次函数的表达式．
【答案】
【分析】本题主要考求一次函数的解析式．利用待定系数法解答，即可求解．
【详解】解： 一次函数 的图象经过 ， 两点，
，解得 ，
该一次函数的表达式为 ．
【例4-7】（新定义）（23-24八年级下·全国·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点
当 时， ，当 时， 则称点 N 为点 M 的变换点．
例如：点 变换点的坐标是 ，点 变换点的坐标是 ．
(1)则点 的变换点的坐标是 ；
(2)已知点 M 在函数 的图象上，点 M 的变换点N的纵坐标为5，求点M的坐标．(3)已知点M在函数 的图象上，其变换点 N 的纵坐标 的取值范围是
，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)k的取值范围为
【分析】本题考查了一次函数的图象，由函数值求自变量，点坐标等知识．理解题意，数形结合是解题的
关键．
（1）由 ，可得 进而可求结果；
（2）设 ，当 时， ，可求 ，进而可得 ，则 ；
当 时， ，可求 ，进而可得 ，则 ；
（3）由题意知， 上的点的变换点的图象如图所示，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，当 时， ，可求 ，当 时， ，可
求 ，由变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，数形结合作答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∴点 的变换点的坐标是 ；
故答案为： ；
（2）解：设 ，
当 时， ，
解得， ，∴ ，
∴ ；
当 时，
解得， ，
∴ ，
∴ ；
综上，点M的坐标为 或 ；
（3）解：由题意知， 上的点的变换点的图象如图所示，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
解得， ，
当 时， ，
解得， ，
∵变换点 N 的纵坐标 的取值范围是 ，
∴由图象可知， ，∴k的取值范围为 ．
【变式4-1】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知直线 ，不论 取什么值，该直线
必定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把一次函数解析式变形为 ，则可得到当
时， ，则直线 过定点 ，据此可得答案．
【详解】解：∵直线解析式为 ，
∴当 ，即 时， ，
∴直线 过定点 ，
∴不论 取什么值，该直线必定经过第四象限，
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级下·广东汕头·期末）下列函数中，是一次函数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的定义．形如 的函数叫做一次函数，根据定义，逐项判断即可．
【详解】解：A.是二次函数，此项不符合题意；
B.是常数函数，此项不符合题意；
C.是一次函数，此项符合题意；
D.是反比例函数，此项不符合题意．
故选：C．
【变式4-3】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）将直线 向下平移3个单位后恰好经过点 ，
则 的值为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟知一次函数图象平移规律是解题的关键．先求出平移后
的直线解析式，再根据平移后的直线经过点 ，进行求解即可．
【详解】解：由题意得平移后的直线解析式为 ，
∵平移后的直线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-4】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）已知 是关于 的一次函数，则
．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出 ，代入代数式求解即可．形如
的函数为一次函数．
【详解】解：函数 是关于x的一次函数
则 ，
解得
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-5】（23-24八年级下·全国·期末）正方形 按如图的方式放置，点
和点 分别在直线 和y轴上，则点 的坐标是 ，点 的坐标
是 ．【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、坐标与图形，设直线 与y轴
的交点为D，求出 ， ，易证 ，得到 ， 的横坐标为
，同理 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，进而得到 ，再由正
方形的性质得出 ，即可得解．
【详解】解：如图，设直线 与y轴的交点为D，
则 ，
，
又∵ ，
，
， ，
∴ ，
，
，
的横坐标为 ，同理 的横坐标为 ，
的横坐标为 ，
，
∵ 都是正方形，
∴ 的横坐标为 ，的纵坐标为 ，
，
∴当 时， ；当 时， ，
故答案为： ， ．
【变式4-6】（23-24八年级下·云南红河·期末）如果点 、点 在直线 上，那么
（填“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数增减性是关键．根据 随 增
大而减小判断即可．
【详解】解：∵直线 中，
故 随 的增大而减小，
∵
∴
故答案为： ．
【变式4-7】（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数 的图像经过点 与点 ，则
当y的值增加1时，x的值将 ．
【答案】增加
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量的变化，先利用待定系数法求出一次函数解析式为，则可得到 ，据此可得答案．
【详解】解：把 、 代入 中得： ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
∴ ，
∴当y的值增加1时，x的值将增加 ，
故答案为：增加 ．
【变式4-8】（新定义）（23-24八年级下·广东江门·期末）已知 分别是 的三条边长， 为
斜边长， ，我们把关于 的形如 的一次函数称为“勾股一次函数”，若点 在
“勾股一次函数”图象上，且 的面积为9，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是
解题的关键．
根据一次函数的性质可得 ，根据勾股定理可得 ， ，根据完全平方公式的变
形运算即可求解．
【详解】解：根据题意，点 在“勾股一次函数” 的图象上，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是直角 的三边， 为斜边，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得， （负值舍去），
故答案为： ．
【变式4-9】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）关于函数 ，给出下列结论：①当 时，
此函数是一次函数；②无论 取什么值，函数图象必经过点 ；③若图象经过第二、三、四象限，则
的取值范围是 ；④若函数图象与 轴的交点始终在正半轴，则 的取值范围是 ．其中正确的说
法是 ．（只填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，先求出交点
坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式（组）进而解决问题．①当 时，函数是一次
函数；② ，当 时， ，过函数过点 ，即可求解；③函数
经过二，三，四象限，可得 ，从而可以求得k的取值范围；④当 时， ，
与x轴无交点；当 时，函数图象与x轴的交点始终在正半轴，即 ，即可求解．
【详解】解：①当 时，函数是一次函数；故①符合题意；
② ，
当 时， ，过函数过点 ，故②符合题意；
③函数 经过二，三，四象限，则 ，
解得： ，故③符合题意；④当 ，即 时， ，与x轴无交点；
当 ，即 时，
令 ，则 ，
∴函数与 轴的交点坐标为 ，
∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴，
即 ，
由除法的意义可得： 或 ，
解得： ，故④不符合题；
故答案为：①②③．
【变式4-10】（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，
顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ， 两点坐标分别为 ， ，线段 在边 上移动，保持
，当四边形 的周长最小时，点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】在矩形 边 上截取 ，可证四边形 是平行四边形，可得 ，由对称性
可得 ，则四边形 的周长 ，由 和 是定值，则当 有最
小值时，四边形 的周长有最小值，即当点 ，点 ，点 共线时， 有最小值，利用待定
系数法可求 解析式，即可求解．
【详解】解：在矩形 边 上截取 ，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 于点 ，
如图所示：， ，
四边形 是平行四边形，
，
点 与点 关于 轴对称，
，点 坐标为 ，
四边形 的周长 ，
四边形 的周长 ，
和 是定值，
当 有最小值时，四边形 的周长有最小值，
当点 、 、 三点共线时， 有最小值，
点 ， ，
，即点 ，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等
知识，确定点 的位置是解题的关键．【变式4-11】（新定义）（24-25八年级上·浙江杭州·期末）定义：若 ， 满足 ，
（ 为常数），则称点 为“好点”．
（1）若 是“好点”，则 ；
（2）在 的范围内，若直线 上存在“好点”，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性
强，有一定难度．
（1）根据题意得出 ，消去t即可得到 ；
（2）根据题意得出 ，消去t得 ，由-在 ，得出 ．
【详解】（1）∵ 是“好点”，
∴ ，
消去t得到 ，
故答案为： ；
（2）∵在 的范围内，若直线 上存在“好点”，
∴ ，
消去t得： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式4-12】（22-23八年级下·重庆北碚·期末）如图1，正方形 的边长为4，点E从点A出发，沿
A→B→C运动到点C后停止．连接 ．设点E的运动路程为x， 的面积为y．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)在图2中画出（1）中函数的图象；
(3)观察函数图象，写出该函数的一条性质．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）分点E在 边上和点E在 边上两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；
（2）先确定图象上的两点，再结合自变量的范围即可画出一次函数的图象；
（3）根据一次函数的增减性或对称性或最值解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ．
当 时，如图， ，
∴ ．综上所述， ．
（2）解：函数图象如图所示．
（3）解：①当 时，y随x的增大而增大；
当 时，y随x的增大而减小．
②该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线 ．
③该函数在自变量的取值范围内有最大值，当 时，函数取得最大值8．
【点睛】本题考查了一次函数和几何的结合，正确分类、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
【考点题型五】 一次函数与方程、不等式（ ）
【例5-1】（23-24八年级下·广东广州·期末）若 是方程 的解， 则直线 的图象与x轴
交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程 的解就是一次函数
与 轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转
化为 （ ， 为常数， ）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线 确定它与 轴交点的横坐标即可得
答案．
【详解】解： 一元一次方程 的解是 ，
当 时， ，故直线 的图像与x轴的交点坐标是 ．
故选：A．
【例5-2】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图所示，一次函数 （k，b是常数， ）与正比
例函数 （m是常数， ）的图象相交于点 ，下列判断错误的是（ ）
A．关于x的方程 的解是
B．关于x的不等式 的解集是
C．当 时，函数 的值比函数 的值大
D．关于x，y的方程组 的解是
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程
组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的
一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【详解】解：∵一次函数 是常数 与正比例函数 是常数， 的图象相交于
点 ，
A． 关于 的方程， 的解是 ，选项A判断正确，不符合题意；
B．关于 的不等式 的解集是 ，选项B判断错误，符合题意；
C．当 时，函数 的值比函数 的值大，选项C判断正确，不符合题意；
D．关于 的方程组 的解是 ，选项D判断正确，不符合题意．故选：B．
【例5-3】（23-24八年级下·全国·期末）已知一次函数 （ 为正整数）的函数 随 的
增大而减小，当 时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，先根据一次函数的增减性和 为正
整数求出 的值，然后求出与 轴的交点即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数 （ 为正整数）的函数 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ 随 的增大而减小，
∴当 时， 的取值范围为 ，
故选： ．
【例5-4】（24-25八年级下·全国·期末）已知直线 与直线 相交于点 ，则关于
x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，根据两条直线的交点的坐标即为由两条直线的解析式组成
的二元一次方程组的解，进行求解即可．【详解】解：把 ，代入 ，得： ，
解得： ，
∴ ，
∵直线 与直线 相交于点 ，
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ；
故答案为： ．
【例5-5】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，则关于x的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与 轴的交点问题，根据直线 与x轴交于点 并结合图象即可得
解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵直线 与x轴交于点 ，
∴由图象可得，关于x的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【例5-6】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系 中，直线 交x，
y轴于点B，C，直线 （k为任意实数）与直线 交于点A．现有如下结论：
①对于直线 在 时， ；②直线 与x轴所夹锐角总等于 ；
③ ，若直线 与y轴交点为 为等腰直角三角形， 的长为2或4；
④关于x，y的二元一次方程组 一定有一组解的 ．
其中正确的结论序号为 ．
【答案】②③④
【分析】利用一次函数的增减性即可判断①；由 即可判断②；分两组情况讨论求得 的值即可
判断③；根据A的横坐标即可判断④．
【详解】解：①∵直线 中 ，
∴ 随x的增大而增大，
当 时， ；当 时， ，
∴ ，故①错误；
②∵当 时， ；当 时， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴直线 与x轴所夹锐角总等于 ，故②正确；
③∵ 时， ，
∴ ，
当 时，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ；
当 时，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ；∴ 的长为2或4，故③正确；
④由③可知，直线 与直线 的交点A横坐标为2，
∴关于x，y的二元一次方程组 一定有一组解的 ，故④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等
腰直角三角形的判定与性质等，求得A点的坐标是解题的关键．
【例5-7】（23-24八年级下·河南南阳·期末）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数
的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：
①当 时， _____；
②当 时， _____；
③当 时， _____；
(2)在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
(3)观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
(4)进一步探究函数图象发现：若关于 的方程 无解，则 的取值范围是_____．
【答案】(1) ； ， ；(2)见解析
(3)①函数图象关于 轴对称；②当 时， 有最小值 ．（答案不唯一）；
(4)
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键．
（1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函数图象；
（3）根据图象即可求得；
（4）直接利用函数图象得出答案．
【详解】（1）解：①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ；
故答案为： ； ， ；
（2）函数 的图象，如图所示：
（3）由图象可知：
①函数图象关于 轴对称；
②当 时， 有最小值 ．（答案不唯一）；
（4）若关于 的方程 无解，则函数图象与直线 没有交点，则 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【变式5-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，若一次函数 的图象经过 、 两点．则方程
的解为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．直接利用图象得出答
案即可．
【详解】解：如图所示：
不等式 的解为： ．
故选：A．
【变式5-2】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知一次函数 与 的图象如图所示，有下
列结论：① ； ② ； ③关于x的方程 的解为 ； ④当 时 ，其中正
确的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两
直线的位置关系对④进行判断．
本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性
质及数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵直线 经过第一、二、四象限，
∴ ， ，所以①正确；
∵直线 与y轴的交点在x轴下方，
∴ ，
所以②错误；
∵当 时， ，
∴关于x的方程 的解为 ，
所以③正确；
∵当 ，直线 在直线 的下方，
∴ 时， ．
所以④错误．
故答案为：C．
【变式5-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，
则关于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点 代
入一次函数 可得 ，从而可得点 的坐标为 ，再将点 代入一次函数 可得
，由此即可得．
【详解】解：由题意，将点 代入一次函数 得： ，解得 ，∴点 的坐标为 ，
∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴关于 的方程 的解是 ，
故选：A．
【变式5-4】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线 与直线 相交于点
，则方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解
题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题．
【详解】解∶将 代入 得， ．
解得 ．
点P的坐标为 ．
方程组 的解可看成函数 与函数 图象的交点坐标，
此方程组的解为
【变式5-5】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）直线 （k、b是常数， ）经过两点，其中 ，下列四个结论：
①方程 的解在 和0之间；
②关于x的不等式 的解集为 ；
③ ；
④关于x的不等式 的解集为 时， ．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
【答案】①②④
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，画出
图象，利用数形结合思想解答是解题的关键．
根据图象可对①②③进行判断；把 ， 代入 ，得 ，解得：
，则不等式 化为 ，即可得 ，再根据不等式 的解集
为 ，可得 ，求解，即可对④进行判断．
【详解】解：如图，
直线 、 是常数， 经过 、 两点，其
中 ，
直线与 轴的交点横坐标在 和0之间，故①正确；
由图象可得关于x的不等式 的解集为 ，故②正确；
由图象可知： 的图象比 的图象平缓，
∴ ，故③错误；
把 ， 代入 ，得，解得： ，
不等式 化为 ，
∵ 的解集为
∴
∴ ，故④正确．
故答案为：①②④．
【变式5-6】（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，已知直线 分别与 ， 轴交于点 ， ，
与直线 相交于点 ．
(1)求 和 的值；
(2)求不等式 的解集．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式．
（1）将 代入 ，可求 ，即 ，将 代入 ，可求 ，然后作
答即可；
（2）根据函数图象及交点坐标即可解答．
【详解】（1）解：将点 代入 ，得 ，解得： ，
，
将点 的坐标代入 ，得 ，
解得： ；
（2）解：由图象可知，当 时， ，
不等式 的解集为 ．
【变式5-7】（23-24八年级下·广西河池·期末）综合与实践
同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数 的图象．
(1)列表：
x … 0 1 2 …
y … 3 m n 3 …
表格中 _____________， _____________；
(2)在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)观察（2）中所画函数的图象，写出关于该函数的两条结论．
结论1：_____________；
结论2：_____________；
(4)写出关于 的方程 的解，并简单说明此方程的解是如何得到的．
【答案】(1)1；1
(2)见解析(3)函数 有最小值，最小值为 ；函数 的图象关于直线 对称
(4) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的
意义是解题的关键．
（1）分别把 和 代入函数解析式，即可求解；
（2）根据表格选取点 ，点 作射线，选取点 ，点 作射线，即可解答；
（3）观察（2）中的函数图象，从最小值，对称性，增减性等方面总结即可；
（4）画出函数 和 的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解．
【详解】（1）解： ；
故答案为：1；1
（2）解：如图，
（3）解：根据题意得：
结论1：函数 有最小值，最小值为 ；
结论21：函数 的图象关于直线 对称；
（4）解：方程 的解为： ，理由如下：
画出函数 和 的图象，如图所示：函数 和 的图象交点坐标分别为 ，
∴关于 的方程 的解为： ．
【考点题型六】一次函数的应用（ ）
【例6-1】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）某乐队举行专场音乐会，为学校师生提供了两种优惠方案，
教师票每张100元，学生票每张50元．方案一：购买一张教师票赠送1张学生票；方案二：按总价的
付款．新星学校有4名教师与 名学生购票听音乐会，若付款总金额为 （元）．
(1)分别写出两种方案中 与 的函数关系式；
(2)至少有多少名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜？
【答案】(1)方案一中 与 的函数关系式为 ，方案二中 与 的函数关系式为
(2)至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，正确理解两种优惠方案是解题关键．
（1）方案一：根据付款总金额 4名教师的费用 名学生的费用即可得；方案二：根据付款总金额
（4名教师的费用 名学生的费用）即可得；
（2）结合（1）的答案，根据选择方案二的购票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出
的最小正整数解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：方案一： ，
方案二： ，答：方案一中 与 的函数关系式为 ，方案二中 与 的函数关系式为
．
（2）解：由题意得： ，
解得 ，
∵ 为正整数，
∴ 的最小值为13，
答：至少有13名学生参加时，选择方案二的购票方案比方案一便宜．
【例6-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）某商场筹集资金 万元，一次性购进空调、彩电共 台．
根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于 万元，其中空调、彩电的进价和
售价见表格．
空调 彩电
进价(元/台)
售价(元/台)
设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元．
(1)试写出y与x的函数关系式；
(2)商场有哪几种进货方案可供选择？
(3)最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)商场有三种方案可供选择：方案 ：购空调 台，购彩电 台；方案 ：购空调 台，购彩电 台；方
案 ：购空调 台，购彩电 台
(3)最大利润是 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据利润等于售价减去进价再乘以数量，列出函数关系式，即可求解；
（2）根据题意列出不等式组，求得整数解，进而即可求解；
（3）根据一次函数的性质求最值，即可求解．
【详解】（1）解：设商场计划购进空调 台，则计划购进彩电 台，
由题意，得 ；（2）依题意，有
解得
为整数，
， ，
即商场有三种方案可供选择：
方案 ：购空调 台，购彩电 台； 方案 ：购空调 台，购彩电 台；
方案 ：购空调 台，购彩电 台
（3） ， ，
随 的增大而增大，
即当 时， 有最大值，
最大 元．
故选择方案 ：购空调 台，购彩电 台时，商场获利最大，最大利润是 元
【例6-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升．王师傅
驾驶一辆纯电动汽车从一高速公路入口 驶入时，该车的剩余电量是 千瓦时，行驶了 千米后，从另
一高速公路出口 驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 （千瓦时）与行驶路程 （千
米）之间的关系如图所示．
(1)求 与 之间的函数表达式；
(2)若这辆车从高速路入口 驶入时，剩余电量为 千瓦时，请问王师傅能在不充电的情况下行驶 千米
路程到达高速公路出口 吗？并说明理由．
【答案】(1)
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
（2）求出每千米消耗的电量，计算出行驶 千米消耗的电量并与 比较大小即可得出结论．【详解】（1）解：设 与 之间的函数表达式为 ，
将点 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
又∵ ，
与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：王师傅能在不充电的情况下行驶 千米路程到达高速公路出口 ．理由如下：
∵该电动汽车每千米消耗的电量为 （千瓦），
∴该电动汽车从高速路入口 行驶360千米消耗的电量为 （千瓦），
∵ ，
王师傅能在不充电的情况下行驶 千米路程到达高速公路出口 ．
【例6-4】（24-25八年级下·全国·期中）为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户
每月用水不超过10立方米时，水价为每立方米2.2元；超过10立方米时，超过部分按每立方米2.5元收费．
(1)若某户某月用水8立方米，应交水费多少元？若用水14立方米呢？
(2)写出每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(3)自来水公司到琪琪家收水费，爸爸、妈妈不在家，琪琪自己手里有30元的零花钱，他最多能交多少立
方米的水费？（水量x为整数）
【答案】(1)17.6元；32元
(2)
(3)最多能交13立方米
【分析】本题考查了有理数的混合运算、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得解；（2）根据题意，分两种情况：当 时， ，当 时， ，
分别求解即可；
（3）令 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵某户某月用水8立方米，小于 立方米，
∴用水8立方米，应交水费 （元）；
∵用水14立方米，大于 立方米，
∴用水14立方米，应交水费 （元）；
（2）解：由题意可得：当 时， ，
当 时， ，
故 ；
（3）解：∵ ，
∴令 ，
解得： ，
∵水量x为整数，
∴最多能交13立方米．
【变式6-1】（22-23八年级下·全国·期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学
校计划购买一批足球，已知购买4个A品牌足球和3个B品牌足球共需440元；购买2个A品牌足球和1
个B品牌足球共需180元．
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若学校准备购买A，B两种品牌的足球共60个，且B品牌足球数不少于A品牌足球数的2倍，设购买两
种品牌足球所需总费用为y元，A品牌足球x个，求y与x之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所
需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】(1)A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元
(2) ，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的
关键．
（1）根据题意，列二元一次方程组即可；（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即
可．
【详解】（1）解：设A，B两种品牌足球的单价分别为a元，b元，
根据题意，得 ，
解得： ，
∴A品牌足球单价为50元，B品牌足球单价为80元．
（2）解：根据题意可知，B品牌足球 个，
∵B品牌足球不少于a品牌数的2倍，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，y最小，此时 ．
综上， ，y取得最小值4200元，此时A品牌足球购买了20个，B品牌足球购买了40个．
【变式6-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群
众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买 、 两种绘画工具用于打造文化
手绘墙．已知每件 种工具的单价比每件 种工具便宜 元，用 元购买 种工具的数量和用 元购买
种工具的数量相同．
(1)求 、 两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买 、 两种工具共 件，且 种工具的数量不大于 种工具数量的 倍，请你帮忙设计出
最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
【答案】(1) 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元
(2)最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元．
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列
方程和不等式是解决问题的关键．（1）设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：设 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元，根据题意得，
解得：
经检验， 是原方程的解且符合题意，
则 种工具的单价是： 元，
答： 种工具的单价是 元，则 种工具的单价是 元
（2）解：设够买 种工具 件，则购买 种工具 件，根据题意得，
解得： ，
设购买费用为 元，根据题意得，
∵
∴ 随 的增大而减小,
∴ 时， 取的最小值，此时 元，
购进 种工具 件，
答：最省钱的购买方案是购进 种工具 件，购进 种工具 件，最低购买费用为 元．
【变式6-3】（24-25八年级上·浙江·期末）一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，
图中折线 和线段 分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程 与时间 的关系，其中
小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；(2)点 为 与 的交点，试求点 的坐标，并说明点 所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距 ？
【答案】(1)小轿车的速度为 ，大客车的速度为
(2)点 的坐标为 ， 点实际意义是：两车出发 小时后相遇，此时距离甲地
(3) 小时或 小时或 小时
【分析】本题考查一次函数的应用，
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
（2）先确定 与 所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车
相遇时，距离甲地的路程；
（3）分三种情况求解即可；
解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【详解】（1）解：由图象可知：
小轿车的速度为： ，
大客车的速度为： ，
∴小轿车的速度为 ，大客车的速度为 ；
（2）由图像可知： ， ， ，
∵小轿车往返的速度相同，
∴ ，
设 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
设 的解析式为 ，过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ 的解析式为 ，
联立方程组，得： ，
解得： ，
∴点 的坐标为 ，
点实际意义是：两车出发 小时后相遇，此时距离甲地 ；
（3）设 的解析式为 ，过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
当 时，
得： ，解得： ；
当 时，则 ，
得： ，
此时，两车相距超过 ；
当 时，
得： ，
解得： 或 ；
综上所述，出发后经过 小时或 小时或 小时两车相距 ．
【变式6-4】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月
应交水费为y（元），用水量为x（立方米）．
用水量（立方
收费（元）
米）
不超过10立方米 每立方米2元
超过10立方米 超过的部分每立方米3元(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；
(2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？
(3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)应交水费14元
(3)该户居民用水12立方米
【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可；
（2）将 代入对应的函数解析式进行求解即可；
（3）令 ，求出对应的自变量的值即可．
【详解】（1）解：由题意，当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
（2）当 时， （元）；
答：应交水费14元；
（3）∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得： ；
答：该户居民用水12立方米．
【考点题型七】一次函数与面积问题（ ）
【例7】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
直线 交 轴于点 ，与直线 相交于点 ．(1)求 的值与求直线 的解析式；
(2)根据图像，直接写出关于 的不等式 的解集；
(3)求四边形 的面积．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合， 一次函数与不等式之间的关系，正确
根据待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点 坐标代入 中求得 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）根据函数图象找到当一次函数 图象在直线 图象上方时，自变量的取值范围即可得到答
案；
（3）得出点 、 的坐标，进而根据四边形 的面积 解答即可．
【详解】（1）解：∵直线 与直线 相交于点 ．
∴ ，
解得 ；
∴ ，
把点 ， 代入 可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ；（2）解：由图象可知，当一次函数 图象在直线 图象上方时，自变量的取值范围为
，
∴不等式 的解集是 ；
（3）解：把 代入 得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴四边形 的面积 ．
【变式7-1】（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，直线
与y轴相交于C点，与线段 交于P点
(1)求 的面积；
(2)若点A和点B在直线 的两侧，求k的取值范围；
(3)若P点将线段 分成 两部分，直接写出k的值．【答案】(1)6
(2)
(3) 或
【分析】（1）延长线段 交y轴于点D，则 轴，求出 ，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先求出直线 的斜率，即可求出 的取值范围；
（3）分两种情况： 或 求解.
【详解】（1）解： ，
∴ 轴，延长线段 交y轴于点D， 轴，
∵ ， ，
∴
（2）解：设直线 的解析式为 ，
，解得，
∴直线 的解析式为
设直线 的解析式为 ，，解得，
∴直线 的解析式为
∵点 和点 在直线 的两侧，
∴ ；
（3）解：当 ，
，
点 的坐标为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得， ，
当 ，
，
点 的坐标为 ，
将点 代入 ，得 ，
解得， ，
综上所述， 或
【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理
解一次函数的性质是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象交x轴
于点A、交y轴于点B，函数 （m为常数）的图象为直线，交x轴于点C、交y轴于点D，直线
与直线 相交于点P．(1)点A的坐标为__________，点B的坐标为_________．
(2)当 时，求点P的坐标．
(3)当点P位于第四象限时，求m的取值范围．
(4)连结 ， ，当 的面积是 面积的2倍时，直接写出m的值．
【答案】(1) ，
(2)点P的坐标为
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据 ，得到当 时， ；当 时， ，即可得到与坐标轴的交点坐
标；
（2） 时，得到方程 ，解到 ，再求出对应y值即得；
（3）求出点P在点 和 时的m值，即得 ；
（4）求出 ，根据 ， ， ，即可求得m值．
【详解】（1）在 中，
当 时， ；当 时， ， ；
∴ ， ；
故答案为： ， ，
（2）当 时，
有， ，解得， ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ；
（3）当P点在 时，代入 ，得 ；
当P点在 时，代入 ，得 ；
∴当P点在第四象限时 ；
（4） 或 ． 理由：
当 时， ，解得 ，∴ ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ， 得 ；
或 ， 得 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，
一次函数与一元一次方程的关系，一次函数与不等式的关系，三角形的面积公式，分类讨论，是解题的关
键．
【变式7-3】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 经过点
， ，与 轴交于点 ，直线 ．(1)求直线 的函数表达式；
(2)若 ，将直线 沿 轴向上平移 个单位长度，当平移后的直线经过点 时，求 的值；
(3) 无论 的值怎样变化，直线 都过定点________；
若当 从 开始逐渐增大时，函数 的值比直线 对应函数的值先到达 ，求 的取值范围；
(4)已知直线 （直线上所有点的横坐标都为 ），若直线 （ 且 ）直线
与直线 围成的三角形的面积是 ，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先求出点 的坐标，再根据平移过程写出平移后的直线解析式，最后把点 坐标代入即可求解；
（3） 根据函数表达式的特征即可求解；
根据“函数 的值比直线 对应函数的值先到达 ”列出一元一次不等式，解出 的范围即可求
解；
（4）如图所示，根据题意表示出三条直线的交点坐标，再表示出三条直线围成的三角形的面积，令其等于 ，解绝对值方程即可．
【详解】（1）解：设直线 的函数表达式为 ，
直线 经过点 ， ，
，
解得： ，
直线 的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ，
点 的坐标为 ，
，
直线 的函数表达式为 ，
将直线 沿 轴向上平移 个单位长度，
平移后的直线的函数表达式为 ，
平移后的直线经过点 ，
将 代入 中，得
，
解得： ；
（3）解： 无论 的值怎样变化，直线 都过定点 ，
故答案为： ；
当 时， ，
解得： ，将 代入 中，
得 ，
函数 的值比直线 对应函数的值先到达 ，
，
解得： ；
（4）解：由 ，解得： ，
即直线 与直线 交于点 ，如图所示，
把 分别代入 、 得 、 ，
即直线 分别与 、 交于点 、 ，如图所示，
则 ，
作 于 ，则 ，
则 ，
又 ，
，
解得： 或 ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的平移规律、一次函数图象上点的坐标特
征、一次函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌
握以上知识是解答本题的关键．
【考点题型八】一次函数的动态问题（ ）
【例8-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点，且
．
(1)求 的值；
(2)点 是直线上 的一个动点，当 的面积是 时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点 在第一象限， 轴上是否存在一点 ，使 是等腰三角形？若存在，请直
接写出满足条件的所有 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为 或
(3) ， ， ， ．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质．
（1）确定出点 的坐标，代入函数解析式中即可求出 ；（2）利用三角形的面积求出求出点 坐标；
（3）设出点 ，表示出 ， ，计算出 ，分三种情况讨论计算即可得出点 坐标．
【详解】（1）解： ，
，
点 在直线 上，
，
；
（2）由（1）知， ，
直线 解析式为 ，
点 是第一象限内的直线 上的一个动点，
，
，
解得 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
（3） 轴上存在一点 ，使 等腰三角形；理由如下：
在①的条件下，且点 在第一象限，
点 的坐标为 ，
设点 ，
∴ ， ，
①当 时，∴ ，
∴ ，
∴ ，
②当 时，
∴ ，
∴ 舍去)或 ，
∴ ，
③当 时，
∴ ，
∴ ，
∴
综上所述，满足条件的所有 点的坐标为 ， ， ， ．
【例8-2】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点
是 上的一点，若将 沿 折叠，点 恰好落在 轴上的点 处．求：
(1)求 、 两点坐标；
(2)求 坐标；
(3)在 轴上找一点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)(3) 或 或 或
【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是
解题的关键．
（1）令 可求得A点坐标；令 ，得B点坐标；
（2）由勾股定理可得线段 ，由折叠的性质可知 ， ，进而得到 ，设
，则 ，在 中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标；
（3）由勾股定理可得 ，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即
可．
【详解】（1）解： ，
令 ，则 ； ，则 ；
， ；
（2）解： ， ，
， ，
，
由折叠的性质可知 ， ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
解得 ，
；
（3）解：由（2）知 ， ，
；
以点M为圆心， 长为半径画圆交x轴于一点P，此时 ，；
；
以点 为圆心， 长为半径画圆交x轴于一点P，此时 ，
或 ，
或 ；
如图：作线段 的垂直平分线交x轴于一点P，此时， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
解得 ，
；
综合上述，点P的坐标为 或 或 或 ．
【例8-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）【探索发现】
如图1，在等腰直角三角形 中， ， ，直线l经过点C，过点A作 直线l，垂
足为点D．过B作 ，垂足为点E，易证 ，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】
已知：直线 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2．当 时，在第一象限构造等腰直角 ， ，则点E的坐标为______；
（2）如图3，当点A在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作 ，并且 ，连接 ，
试问 的面积是否为定值？若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
【拓展提高】
（3）如图4，在平面直角坐标系内，直线 与y轴交于点N，与x轴交于点Q，将直线 绕N点
沿顺时针方向旋转 后，所得的直线交x轴于点M．求直线 的函数关系式．
【答案】（1） ；（2） 的面积是定值，详见解析；（3）
【分析】本题考查坐标与图形，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握“k型
全等”是解题的关键：
（1）过点 作 轴，证明 ，即可得出结果；
（2）过点Q作 轴，垂足为点H，证明 ，得到 ，求出 点坐标，再利用
三角形的面积公式进行计算即可；
（3）过点Q作 交 于点G，过点G作 轴，垂足为点H，证明 ，求出
点坐标，待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：（1）过点 作 轴，则： ，∵等腰直角 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） 的面积是定值．
理由如下：
过点Q作 轴，垂足为点H，
，，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
当 时， ，
∴ ，
．
，
的面积是定值，定值为 ；
（3）过点Q作 交 于点G，过点G作 轴，垂足为点H．
．， ，
．
在 中， 由题意， ，
．
．
在 和 中，
，
，
．
由题意知，直线 与y轴交于点N，与x轴交于点Q，
当 时， ；当 时， ，
，
．
， ．
，点 ．
设 ，
将点 代入得： ，
，∴直线 的函数关系式为： ．
【变式8-1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象交x轴
于点 ，交y轴于点B，直线 与y轴交于点D，与直线 交于点 ，点M是线段
上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线，交直线 于点N．设点M的横坐标为
m．
(1)求a的值和直线 的函数表达式．
(2)以线段 ， 为邻边作 ，直线 与x轴交于点E．
①当 时，设线段 的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接 ， ，当 的面积为3时，请求出m的值．
【答案】(1) ，
(2)① ；② 或
【分析】（1）根据直线 的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线 的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出 的长，再根据 得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值．
【详解】（1） 点 在直线 上，
，一次函数 的图象过点 和点 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）① 点在直线 上，且 的横坐标为 ，
的纵坐标为： ，
点在直线 上，且 点的横坐标为 ，
点的纵坐标为： ，
，
点 ，线段 的长度为 ，
，
，
，
即 ；
② 的面积为 ，
，
即 ，
解得 ，由①知， ，
，
解得 ，
即 的值为 或 ．
【点睛】本题考查一次函数和几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数
法求解析式是解题的关键．
【变式8-2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点
B，直线 与直线 ，x轴分别交于点 ， ．
(1)求直线 的表达式．
(2)若D，E分别是直线 和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点， 为一边的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形
的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）由待定系数法求直线的解析式即可；（2）设 ， ，再分两种情况讨论：当 为平行四边形对角线时；当 为平行四边
形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可．
【详解】（1）设直线 的表达式为 ，
∵直线 与直线 ，x轴分别交于点 ， ，
∴ 解得
∴直线 的表达式为 ；
（2）解：存在.
∵ 与x轴交于点B，
∴ .
设 ， ，
①当 为平行四边形的对角线时，
∵ ， ，
∴ 解得
∴ ；
②当 为平行四边形的对角线时，
∵ ， ，
∴解得
∴ .
综上所述，点D的坐标为 或 ．
【变式8-3】（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴
交于点A，与直线 交于点 ．
(1)求m的值；
(2)点D是直线 上一动点．
①如图2，当点D恰好在 的角平分线上时，求直线 的函数表达式；
②是否存在点D，使得 ，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)① ；②存在， 或
【分析】（1）把 代入 ，可得答案；
（2）①过点 作 ，垂足为点 ．求解直线 表达式为 ．可得 ．证明
，过 作 ，垂足为点 ．证明 ．可得 ，则 ，
从而可得答案；
②若点 在射线 上时，如图．过 作 轴，交 轴于点 ，过 作 ，交 的延长线于点．证明 ．可得 ，结合点B坐标为 ，可得点 的坐标为 ．若
点 在 的延长线上时，如图．过 作 轴，交 轴于点 ，过 作 ，交 的延长线于点
．同理 ．从而可得答案．
【详解】（1）解：将 代入 ，得 ；
（2）解：①过点 作 ，垂足为点 ．
．
，
．
．
点 在直线 上，
．
直线 表达式为 ．
把 代入 中，
得
．
．
．
在 中， ．，
．
过 作 ，垂足为点 ．
．
．
又 平分 ，
．
，
．
．
在直线 上，令 ，得 ，
，
设直线 的函数表达式为 ．
把 代入，得 ．
直线 的表达式为 ．
②存在．
若点 在射线 上时，如图．
过 作 轴，交 轴于点 ，过 作 ，交 的延长线于点 ．
．
．
又 ，
．
．，
为等腰直角三角形，
．
．
．
点B坐标为
．
．
点 的坐标为 ．
若点 在 的延长线上时，如图．
过 作 轴，交 轴于点 ，过 作 ，交 的延长线于点 ．
同理 ．
．
点 的坐标为 ．
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的
性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键．
【变式8-4】（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，已知平行四边形 ， 轴， ，点A
的坐标为 ，点D的坐标为 ，点B在第四象限，点P是平行四边形 边上的一个动点．(1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________；
(2)点G是 与y轴的交点，求点G的坐标；
(3)若点P在 上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线 上，求点P的坐标；
(4)若点 在折线 上，过点 作 轴的平行线 ，过点 作 轴的平行线 ，它们交于点 ，
将 沿直线 翻折，点 的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
(4) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，
等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可；
（2）利用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点D的坐标即可；
（3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根
据点Q在直线 进行求解即可；
（4）分两种情况讨论：当点P在 上时，由折叠的性质可得 ， ，
证明 是等腰直角三角形，进而证明四边形 是正方形，从而得到 三点共线，则
，即可求出 ．当点P在 上时，证明 ，再利用两点距离公式求出点M
坐标即可解题．
【详解】（1）解：∵ 轴， ，点A的坐标为 ，∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ 轴，
∵D的坐标为 ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 ， 带入 中得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点G的坐标为 ；
（3）解：设 ，且 ，
若点P关于x轴的对称点 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
此时 ．
若点P关于y轴的对称点 在直线 上时，
∴ ，解得 ，
此时
综上所述，点P的坐标为 或 ．（4）解：当点P在AB上时，如解图1
由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，即 轴，
∴ 三点共线，
∴ ，
∴ ．
当点 在 上时，设直线 的解析式为 与x轴交点为 ，则 ，
如解图2，点 落在 轴上，
由折叠的性质可得 ， ，
∵ 轴，∴
∴ ，
∴ ，
设点 且 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴点
综上所述：点 的坐标 或
【变式8-5】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，
直线 交直线 于点 ，点 从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 匀速运动．
(1)求出点 、点 、点 坐标；
(2)当直线 平分 的面积时，求直线 的函数关系式；
(3)若 等腰三角形，求点 运动时间．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3) 秒或 秒或 秒
【分析】（ ）把 ， 分别代入一次函数 可求出点 坐标，联立一次函数解析式，解
方程组可求出点 坐标；（ ）由 可得 ，进而求出点 坐标，再利用待定系数法可求出直线 的函数关系式；
（ ）由一次函数 及点 坐标可得 ， ，再分 、 、 三
种情况解答即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
∴ ，
∴ ，
把 代入 得， ,
∴ ，
由 ，解得 ，
∴ ；
（2）解：∵直线 平分 的面积，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得，
，
解得 ，
∴直线 的函数关系式为 ；（3）解：∵直线 交直线 于点 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ，
①当 时，如图，
则 ，
∵点 从点 出发以每秒 个单位长度的速度向点 匀速运动，
∴点 的运动时间为 秒；
②当 时，过点 作 轴于点 ，如图，
则 ， ，
∴点 的运动时间为 秒；
③当 时，如图，
∵ ，
∴ ，∴ ，
即 轴，
∴ ，
∴点 的运动时间为 秒；
综上，当 为等腰三角形时，点 的运动时间为 秒或 秒或 秒．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，
一次函数的几何应用，等腰三角形的定义及性质，勾股定理，掌握一次函数的性质及运用分类讨论思想解
答是解题的关键．
【变式8-6】（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，
，点 是直线 上与 、 不重合的动点．
(1)求直线 的解析式；
(2)作直线 ，当 的面积被直线 分成 的两部分时，求直线 的解析式；
(3)过点 作直线 与 轴相交于 点，是否存在点 使 与 全等？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2) 或
(3)存在；点 的坐标为 或 或
【分析】（1）由 得 ，根据 ，得 ，利用待定系数法即得直线 的解析式
为 ；
（2）可得 的面积为 ，当 时， ，可得 ，解得 ，即得 ，再求值直线 的解析式；当 时，同理可得 ，待定系数
法求出直线 的解析式即可；
（3）在 中， ， ， ，分两种情况①若 ，②若
时，分别求解即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
，
∴ ，
，
，
，
把 代入 得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2）解： ， ，
的面积为 ，
当 时，如图：
此时 ，
，即 ，
解得： ，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入得：
，
解得： ，
∴此时直线 的解析式为： ；
当 时，如图：
此时 ，
，
即 ，
，
在 中令 ，得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入得：
，解得： ，
∴此时直线 的解析式为： ；
综上所述，当 的面积被直线 分成 的两部分时，直线 的解析式为 或 ；
（3）解：存在点 ，使 与 全等，
在 中， ， ，
，
①若 ，过 作 交 轴于 ，过 作 于 ，如图：
， ，
， ，
设 ，则 ， ， ，
而 ，
，
解得 或 ，
当 时， ，此时 ，符合题意，
当 时， ，此时 ，不符合题意，舍去，
∴ ，同理可知， 时， ，
∴ ，
∴点B为 的中点，
∴ ， ，
∴ ；
②若 时，如图：
， ，
，
在 中，令 得 ，
，
此时 ， ，符合题意，
，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．
【变式8-7】（24-25八年级上·广东佛山·期末）直线 分别交x，y轴于A，B两点，且点C
坐标为 ．点D，点E分别是线段 ， 上的动点， 与 交于点P．(1)如图1，若 交y轴于点G， ， ，求 的大小；
(2)如图2，若 ， 的最小值是 ，求直线l的表达式；
(3)如图3，当 时，点D是 中点， 与 的夹角是 ，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题易得 ，所以 ， ，再根据等腰三
角形可知 ，再根据外角性质可得 ，即可得解；
（2）根据题意可得 ，由逆等线模型构造全等，过 作 轴，且 ，连接 ，证
，得到 ，从而 ，再利用勾股定理求出 值即可；
（3）先求出 解析式，利用平行线将 进行等角转化，过点 作 交 于点 ，所以
，亦可得出直线 的解析式，进而求出 的坐标，再利用 构造等腰直角三角形，
过 作 于点 ，进而构造一线三垂直的全等，求出点 坐标，然后求出直线 的表达式，即可
得解．
【详解】（1）解： 分别交 、 轴于 、 两点，
令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
，
点 坐标为 ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
在 中， ；
（2）解：由（1）可知 ， ，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
如图，过 作 轴，且 ，连接 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
当且仅当 、 、 三点共线时取最小值，最小值为线段 的长，
的最小值为 ，
，
， ，
，
，
，直线 的表达式为 ；
（3）解： ，
，
是 中点，
， ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
过点 作 交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
直线 的解析式为 ，
令 ，
解得 ，
，
，
过 作 于点 ，
与 的夹角是 ，
，，
，
过 作 轴交 轴于点 ，过 作 于点 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
设 ，
， ，
， ， ， ，
，
解得 ，
，
设直线 解析式为 ，将 ， 代入得，
，解得 ，
直线 解析式为 ，
再联立直线 和直线 解析式得，
，解得 ，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点与二元一次方程组、全等三角形的
判定和性质，等腰三角形的判定与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
