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专题 01 二次根式（考题猜想，易错重难点 5 大题型 38 题）
题型一：利用二次根式的性质化简（易错）
1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若 ，化简 ，小杰的解答过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)二，
(2)【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：小杰的解答从第二步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
；
（2）
．
2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题：
① ，② ，③ ，……
(1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(2)利用（1）的结论计算 ．
【答案】(1) （n为正整数）；证明见解析
(2)1
【知识点】异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算，
（1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明；
（2）利用（2）中的规律得到原式 ，然后根据二次根式的乘法
法则运算．
【详解】（1） （n为正整数）证明：左边 ，
∵n为正整数，
∴左边 右边，
∴猜想成立．
（2）原式
．
3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当 时，求 的值，如图是小亮和小芳的解答过
程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ；
(3)当 时，求 的值．
【答案】(1)小亮
(2)当 时，
(3)2
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把 代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，∴ ， ，
∴
，
当 时，
原式 ，
∴小亮的解法是错误的．
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当 时， ．
故答案为：当 时， ；
（3） ，
．
原式 ．
4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的
方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，
特例4： ，特例5： ______（填写运算结果）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为：______
(3)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)证明过程见详解
【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索
【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键．
（1）根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解；
（2）根据（1）中计算的结果进行推测即可；
（3）运用二次根式的性质进行化简计算即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：根据上述计算可得， ，
故答案为： （ 为正整数）；
（3）证明：
左边 ，∵ 为正整数，
∴左边 右边，
∴ ．
5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当 时，求 的值 甲、乙两人
的解答如下：
甲：原式 ；
乙：原式 ．
(1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ；
(2)若 ，计算 的值．
【答案】(1)乙，去绝对值时，没有判断 的正负情况
(2)
【知识点】利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质 ．
（1）利用二次根式的性质 ，化简求值即可得到答案；
（2）利用二次根式的性质化简求值即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
原式
，乙的解答是错误的，错误的原因是：去绝对值时，没有判断 的正负情况；
故答案为：乙；去绝对值时，没有判断 的正负情况；
（2）解： ，
，
原式
．
6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ，
使 且 ，则将 变成 ，然后开方，从而化简 ．
例如：化简 ．
解： ．
仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
（1）根据完全平方公式把 化为 ，然后利用二次根式的性质计算；
（2）根据完全平方公式把 化为 ，然后利用二次根式的性质计算．【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求 的取值范围
解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 （舍去）；
当 时，原式 ，符合条件；
当 时，原式 ，解得 （舍去）．
∴ 的取值范围是 ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当 时，化简： ______．(2)解方程： ．
【答案】(1)2
(2) 的值为 或7
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是
解题的关键．
（1）根据题意可确定 ， ，从而化简二次根式的性质即可；
（2）由阅读材料可知 ，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可．
【详解】（1）解：当 时， ， ，
∴ ．
（2）解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 ，符合条件；
当 时，原式 ，舍去；
当 时，原式 ，解得 ，符合条件．
∴ 的值为 或7．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ．
解：隐含条件 ，
解得 ，
∴ ，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 （结果保留 ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（3）已知a，b，c为 的三边长．化简：
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、实数与数轴
【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题
关键．
（1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得 ，从而可得 ，再利用二次根式的性质进行化
简即可得；
（2）先根据数轴的性质可得 ，从而可得 ，再利用二次根式的性质进行化简
即可得；
（3）先根据三角形的三边关系可得 ， ， ， ，从而可得 ，
， ， ，再利用二次根式的性质进行化简即可得．
【详解】解：（1）隐含条件 ，
解得 ，
∴ ，
∴
；
（2）由数轴可知， ，
∴ ，
∴；
（3）∵ 为 的三边长，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴
．
题型二：二次根式的计算与最值（易错）
9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料：
我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如： ．类似的把
分子中的根号化去就是分子有理化，例如： ．分子有理化可以用
来比较某些二次根式的大小，例如：比较 和 的大小，可以先将它们分子有理化如下：
， ，因为 ，所以 ．
请根据上述材料，解决下列问题：
(1)把下列各式分子有理化：
① ；② ；
(2)比较 和 的大小，并说明理由；(3)将式子 分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
【答案】(1)① ； ②
(2) ，理由见解析
(3) ，
【知识点】分母有理化、二次根式有意义的条件
【分析】（ ）根据阅读材料中的分母有理化即可；
（ ）根据阅读材料中的分母有理化即可；
（ ）根据阅读材料中的分母有理化即可；
本题考查了二次根式的运算二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ；
（2）解：由 ， ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
（3）解：，
∵ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值 ，即 有最大值 ，
故答案为： ， ．
10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1：
在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有 ，当且
仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在 的条件下， ，当且仅当 时，即 时等号成立，从而 有最小值
2．
阅读材料2：
我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如 ，当分式的分母次数小于分子
的次数时，也有类似的变换，如：
（1） ，
（2） ．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)若 为正数，则 的最小值为______，此时， ______；
(2)若 为正数，则 的最小值为______，此时， ______；
(3)求下列分式在给定的 的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的 的值．①
②
【答案】(1)6，3
(2) ，
(3)① 时，原式有最小值4，② 时，原式有最小值5
【知识点】二次根式的应用、分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题
的关键．
（1）由题意可得 的最小值为 ，此时 ，计算即可得解；
（2）由题意可得 的最小值为 ，此时 ，计算即可得解；
（3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 为正数，则 的最小值为 ，此时 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）；
（2）解：∵对于任意的正数a、b，都有 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 为正数，则 的最小值为 ，此时，
解得： 或 （不符合题意，舍去）；
（3）解：①当且仅当 时取等号，得
或 ，即 或 ，
又 ，
时取等号，即 时，原式有最小值4．
②
当且仅当 时取等号，得
或 ，即 或 ，
又 ，
∴当 时取等号，即 时，原式有最小值5．
11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若 ， ，由 ，得 ，
当且仅当 时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当 时，当且仅当 ______时，式子 的最小值为______（直接写出答案）；
(2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
【答案】(1) ，
(2)长为10米，宽为5米时，所用的篱笆最短，最短篱笆为20米
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）根据材料提供的信息解答即可．
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为 米，则平行于墙的一边为 米，则 ，
，所以所用篱笆的长为 米，再根据材料提供的信息求出 的最小值即可．
【详解】（1）解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为 米，
则 ，
∴ ，
∴所用篱笆的长为 米，
∵ ，当且仅当 时， 的值最小，最小值为20，
∴ 或 （舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当 时， 与 的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当 时，特例1：若 ，则 ；
特例2：若 ，则 ；
特例3：若 ，则 ．
②观察、归纳，得出猜想：当 时， ．
③证明猜想：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当且仅当 时， ．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为
(2)当 时， 的最小值为 ；
(3)当 时，求 的最大值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】（1）直接由题中规律即可完成；
（2）当 时， ，则可由题中规律完成；（3）原式 变形为 ，由 ，计算出 的最小值，即可求得 的最大值，
则最后可求得原式的最大值．
【详解】（1）解：当 时， 均为正数，
由题中规律得： ，
当且仅当 ，即 时， ，
∴当x＞0时， 的最小值为2；
故答案为：2；
（2）解：当 时， ，
由题中规律得： ，
当且仅当 ，即 时， ，
∴当x＜0时， 的最小值为 ；
故答案为： ；
（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时， 的最大值为 ，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了求代数式的最大值或最小值问题，读懂题目中的规律是解题的关键，另外特别注意规
律中两个字母均为正数，在使用时要注意．
题型三：二次根式与规律探究（难点）
13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式：
① ；
② ；
(1)根据你发现的规律填空： ______＝______；
(2)猜想 ______（ ， 为自然数），并通过计算证实你的猜想．
【答案】(1) ；
(2) ，证明见解析
【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据二次根式运算，二次根式的性质化简即可求解．【详解】（1）解： ，
故答案为： ； ．
（2）解： ，证明过程如下，
证明： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及性质，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则是解
题的关键．
14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空： ______；
(2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______；
②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围．
【答案】(1)(2)① ；②证明见解析；（n为大于1的自然数）
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，规律型：数字的变化类，熟练掌握二次根式的化简是解
决本题的关键．
（1）仔细观察从上式中找出规律即可；
（2）①归纳总结得到一般性规律，写出即可；
②利用二次根式的性质及化简公式证明即可．
【详解】（1）解：根据前3个式子，可得 ；
故答案为： ；
（2）解：①由前面式子得出： ；
故答案为： ；
②证明：等式左边 右边， 为大于1的自然数．
15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：
(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．
（1）根据 ， ， ，得出第⑤个等式中分母应为 ，根据规律得到答案；
（2）根据 ， ， ， ，得出规律 ，从而得到答案．
【详解】（1）解：由第①个等式 ，得
由第②个等式 ，得
由第③个等式 ，得
∴第⑤个等式应为： ，得 ．
（2）解：第1个等式中分母为 ，
第2个等式中分母为 ，
第3个等式中分母为 ，
第4个等式中分母为 ，
得第 个等式中分母为应为：
∴第 个等式为： ，∵左边 ，
右边 ，
∴左边 右边．
16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________．
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左
右相等便可．
【详解】（1）解：根据题目中前4个等式，
可以发现式子的变化特点，那么第5个等式为 ；
（2）解：猜想的第 （n为正整数）个等式为 ，证明如下：
等式右边为 ，
因为等式左边为 ，
所以等式左边等于等式右边，
即 ．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，
并证明猜想的正确性．
17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空： ， ______， ______．
（2）观察上述计算，根据式子的规律写出 后面连续的两个等式；
（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．
【答案】（1） ； ；（2） ； ；（3）规律： （n为
正整数）；证明见解析
【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据二次根式的性质即可解答；
（2）根据二次根式的性质可知后续两个式子为 ； ；
（3）根据二次根式的性质化简 即可解答．【详解】解：（1） ， ，
故答案为 ； ；
（2）∵ ，
∴后续两个式子为 ； ；
（3）解：规律 （n为正整数），理由如下：
∵左边 ,
∴ ，
∴左边 右边，
∴ （n为正整数）．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质探索规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．
18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式： ，验证： ；
第2个等式： ，验证： ；
第3个等式： ，验证： ．
(1)请写出第4个等式，并验证；
(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第 个 为正整数，且 等式，并通过计算验证你的猜想．【答案】(1) ，见解析
(2) ，见解析
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、异分母分式加减法、二次根式的混合运算
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解并验证即可解答；
（2）分析所给的等式的形式，再进行总结，把等式左边的式子进行整理即可验证．
【详解】（1）解：第4个等式： ，
验验： ．
（2）解：第 个等式： ，
验证： ．
【点睛】本题主要考查了分式的运算、二次根式的性质、数字的变化规律等知识点，要求学生通过观察数
字，分析、归纳并发现其中的规律是解题的关键．
19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题：
如图，在 中， ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
……(1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系．
(2)已知 ，求满足（1）中条件的 的值．
【答案】(1) ，
(2)4
【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法
【分析】（1）根据题干中的规律即可得；
（2）根据（1）中的数量关系，代入计算即可得．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ．
（2）解：由（1）可知， ， ，
，
．
【点睛】本题考查了数字类规律探索、二次根式的乘法，正确发现规律是解题关键．
20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式：
第1个等式：第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决以下问题：
(1)写出第5个等式；
(2)试用含n(n为自然数，且 )的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析．
【知识点】数字类规律探索、二次根式的乘法
【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键．
（1）根据所给等式可得答案；
（2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
（2）解：根据题意，第n个等式为： ，理由如下：
，
∴ ．
21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ……
(1)第四个等式为： ；
(2)请用正整数 来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】(1)
(2) ；证明见解析
【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索；
（1）根据题目规律直接得出答案即可；
（2）由题意得第n个等式为： ，然后根据二次根式的性质化简证明即可；
准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键．
【详解】（1）解：由题意得第四个等式为：
故答案为：
（2）第n个等式：22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”
的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规
律．
（1）根据前 个的规律即可得出答案；
（2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：等式④： ；
（2）解：若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律为 ，
证明如下：等式左边 右边；
（3）解：∵ （ 均为正整数），
∴ ， ，
∴
．
23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
【答案】(1)
(2) （n为正整数）
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简，（1）总结规律，按规律解答；
（2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论．
【详解】（1）解：∵ ；
；
，
……
∴ ；
（2）解：根据（1）得到 ，
证明：
．
24．（23-24八年级下·山东泰安·期末） ；
；；
(1)写出 _________；
(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索
【分析】（ ）观察已知等式找到规律，即可求解；
（ ）根据规律直接得出结果即可；
（ ）利用（ ）中结论及有理数的混合运算进行计算即可；
本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键．
【详解】（1）∵ ；
；
；
；
；
（2） ；；
；
；
；
（3）由（ ）可得 ，
．
题型四：分母有理化（重点）
25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式：
，
，
，
依据以上呈现的规律，计算：
【答案】9【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化
【分析】先把 里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果
计算出来即可求出最后答案．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便．
26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”
来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ______；
(2)化简： ______；
(3)计算： ．
【答案】(1)2(2)
(3)
【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、二次根式的加减运算
【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行
分母有理化．
（1）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（2）分母有理化即可得答案；
（3）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ．
故答案为：2；
（2）解：原式 ，
故答案为： ；
（3）原式
，
．
27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像 ， …这种两个
含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算
时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： ； ．
解答下列问题：
(1) 的有理化因式是_______， 的有理化因式是______．
(2)观察下面的变形规律，请你猜想： _______．
， ， …
(3)利用上面的方法，请化简：
．
【答案】(1) ， 或
(2)
(3)
【知识点】分母有理化
【分析】（1）根据题意，找到有理化因式即可求解；
（2）观察规律可得有理化因式是分母的两个数的差，据此即可求解；
（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ 的有理化因式是是 ，
∵
∴ 的有理化因式是 ，
故答案为： ； 或 ．（2） ， ， …
猜想： ，
故答案为： ．
（3）利用（2)中的规律，可得：
．
【点睛】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．
28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算：
①由 ，得 ；
②由 ，得 ；
③由 ，得
(1)由上述规律，直接化简： ______；
(2)用含n（ 且为整数）的式子表示 ______；
(3)利用你发现的规律计算
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分母有理化
【分析】根据二次根式分母有理化的化简方法去化简即可求解；【详解】（1） ；
（2） ；
（3）原式 ；
【点睛】该题主要考查了二次根式分母有理化，解答的关键是掌握分母有理化的化简方法．
题型五：二次根式的应用（重难点）
29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地 ，长 为 米，宽
为 米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方
形花坛的长为 米，宽为 米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺
上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】 元
【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算
【分析】先计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖”即可求出购买地砖需
要的花费．
【详解】解：
（平方米），
则 （元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费 元．
【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键．30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头
顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，
高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）．
(1)当 米时，求下落的时间t；（结果保留根号）
(2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质
量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？
请说明理由．
【答案】(1)2
(2)会，理由见解析
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的应用
【分析】（1）把h的值代入计算求解；
（2）先求出h的值，再计算判断．
【详解】（1）解：当 米时：
= =2 ；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当 秒时， ，
解得： 米，
∵ ，
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点睛】本题考查了二次根式的运用，掌握二次根式的运算是解题的关键．31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的
三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，设 ，则三角
形的面积 ．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的
“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，则三角形的面积
．依据上述公式解决下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是 ，3， ，求这个三角形的面积．
【答案】(1)
(2)3
【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简
【分析】（1）把三角形的三边的长代入p，然后代入S，计算即可得解；
（2）把三角形的三边的长代入S，计算即可得解．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为： ；
（2）解：
．
【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平
方根的定义计算．32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙 的长为 ，宽 为 ，
中间要镶一个长为 ，宽为 的矩形大理石图案（图中阴影部分）
(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元 ，大理石造价为200元 ，则整个电
视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)背景墙的周长为
(2)整个电视背景墙需要花费 元
【知识点】二次根式的应用、化为最简二次根式、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查二次根式的应用：
（1）背景墙长方形 的周长 ，根据最简二次根式的定义化简即可；
（2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算．
【详解】（1）背景墙长方形 的周长 ．
答：背景墙的周长为 ．
（2）长方形 的面积： ．
大理石的面积： ．
壁纸的面积： ．
整个电视墙的总费用： (元)．
答：整个电视背景墙需要花费 元．33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出 ， 两
个面积分别为 和 的正方形木板．
(1)截出的 ， 两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示）
(2)求剩余木板（阴影部分）的面积．
【答案】(1) ，
(2)剩余木板的面积为
【知识点】二次根式的应用、算术平方根的实际应用
【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可；
（2）根据图形进行列式计算即可．
本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题可知，
设 正方形的边长为 ， 正方形的边长为 ，
则 ， ，
解得 ， （负数舍去）．
故答案为： ， ；
（2）解：由题可知，阴影部分的面积为：
．
答：剩余木板（阴影部分）的面积为 ．
34．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（ ）．求证：．
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
思路①利用 ， ， ，再配
方，……
思路②利用 ，使用平方差公式，……
思路③利用 ，……
【答案】(1)① ，② ，③
(2)证明见解析
【知识点】二次根式的应用
【分析】（1）根据完全平方公式求出 ，根据二次根式的乘法得出
，再根据三角形三边关系进一步得出 ，即可得出答案；
（2）根据所给的方法推导即可．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
故答案为：① ，② ，③ ．
（2）选择①．推导思路如下：
由 ，且 ，得 ．
配方，得 ．
易得 ．
即 ．
易得 ．
选择②．推导思路如下：
由 ，得 ，即 ．
故 ．
易知 ，
所以 ，即 ．
【点睛】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，正确计算是解题的关键．
35．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为 和
的正方形木板．(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；
（填最简二次根式）
(2)求原矩形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填
“能”或“不能”）
【答案】(1) ，
(2)
(3)不能
【知识点】二次根式的应用
【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为 和 ，再对二次根思进行化简即可；
（2）先计算出原矩形木料的长为 ，再根据矩形的面积公式进行计算即可；
（3）剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，再和2进行大小比较即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
小正方形木板的边长为 ，
大正方形木板的边长为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：原矩形木料的长为 ，宽为 ，
，
原矩形木料的面积为 ；
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得剩余矩形木料的长为 ，宽为 ，
∵ ，
∴剩余矩形木料不能截出边长为 的正方形木板．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键．
36．（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织
学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观
度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1) ，
(2)圆形团扇所用的包边长度更短
【知识点】实数的大小比较、二次根式的应用
【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案；
（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：
圆形团扇的半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米；
（2）解：∵ 圆形团扇半径为 厘米，正方形团扇的边长为 厘米，∴ 圆形团扇的周长为 厘米，正方形团扇的周长为 厘米
∵ ， ，
∴ ，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
37．（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间 （单位： ）和高度 （单位： ）
近似满足公式 （不考虑风速的影响）．
(1)求从 高空抛物到落地时间；
(2)已知高空坠物动能 （单位： ） 物体质量（单位： ） 高度（单位： ），某质量为 的
玩具被抛出后经过 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无
防护人体只需要 的动能）．
【答案】(1)
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本
题的关键．
（1）把 代入公式即可；
（2）求出 ，代入动能计算公式即可求出．
【详解】（1）解：由题意知 ，
∴ ，
故从 高空抛物到落地时间为 ；
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当 时， ，
∴ ，
这个玩具产生的动能 ，∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
38．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正
方形的面积分别为 ， ，求阴影部分的面积．
【答案】
【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用
【分析】本题考查了算术平方根的应用、二次根式的应用．依据两个正方形的面积得出两个正方形的边长，
计算 ，再计算阴影矩形的面积 即可．
【详解】解：如图，
∵两个正方形的面积分别是 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴阴影矩形的面积．
