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专题 08 锐角三角函数（考点清单，8 个考点清单+12 种题型解读）【清单01】锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【清单02】特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【清单03】解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【清单04】仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【清单05】坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【清单06】方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【清单07】解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
【清单08】解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【考点题型一】求三角函数的值
1.（22-23九年级下·河北张家口·期末）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，若 的半径为
2， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级下·江苏常州·期末）如图，在 中， 是 上一点，连接 ，若
，则 的值是 ．
3.（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，在 中， 是边 的中点， ，
垂足为点E．已知 ．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．【考点题型二】锐角三角函数在几何图形中的应用
4．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，过矩形 的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为
，依次连接四个垂足，可得到矩形 ．设对角线 与 的夹角为 ，那
么矩形 与矩形 面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
5.（23-24九年级下·湖北·期末）如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 顺时针旋转得
到矩形 ，若点 在 上，连接 ， ，则 值为 ．
6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， 于点 ， ， ，
．
(1)求 的大小；
(2)若点 ， 分别为 ， 的中点，求 的长．【考点题型三】三角函数在实际中应用
7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 处测得灯塔
最高点 的仰角 ，再沿 方向前进至 处测得最高点 的仰角 ，则
灯塔的高度 大约是（结果精确到 ，参考数据： ）（ ）
A． B． C． D．
8．（20-21九年级上·陕西铜川·期末）如图，在河流的右岸边有一高楼 ，左岸边有一坡度 的山坡
，点C与点B在同一水平面上， 与 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼 的高度，在
坡底C处测得楼顶A的仰角为 ，然后沿坡面 上行了 米（即 米）到达点D处，此时
在D处测得楼顶A的仰角为 ．（参考数据： ， ， ）(1)求点C到点D的水平距离 的长；
(2)求楼 的高度．
【考点题型四】三角函数在生活中的应用
9．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一个钟摆的摆长 的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆
角 为 ，点C是 的中点， 与 交于点D，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级下·江苏常州·期末）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所
示，遮阳棚展开长度 ，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点 距离地面高
度 ，遮阳棚与墙面的夹角 ，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角
，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长为 （结果保留根号）．
11．（23-24九年级上·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是
向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻
碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为 ，从室内看门框露在外面部分的宽为 ，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到
， ）
【考点题型五】在一般四边形中应用
12．（20-21九年级上·湖南邵阳·期末）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，CD=2米，BC=5米，
，则AB=（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
13．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，
，求 的长．
14．（22-23九年级上·云南楚雄·期末）如图，在四边形 中， 平分 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【考点题型六】在平行四边形中应用
15.（21-22九年级上·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，以 为直
径作 ，点 恰好在 上，则图中阴影部分的面积为 ．
16.（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点
E，AF⊥CD于点F．
（1）求证：∠BAE=∠DAF；
（2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE= ，求CF的长．【考点题型七】在菱形中应用
17．（21-22九年级上·陕西西安·期末）在菱形ABCD中，连接AC、BD，若 ，且AC＝4，则
菱形ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23九年级上·安徽六安·期末）如图，在菱形 中， ， 于点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，则 ．（ 表示面积）
19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，菱形 中， ，点E、F分别是边
上的动点，点E与点A，B不重合，且 ，作 ，交边 于点G，连接 ，将四
边形 沿直线 翻折得到四边形 ．
(1)当E是AB的中点时，求四边形 面积；
(2)设 ，四边形 面积为S，求S关于x的函数关系式．
【考点题型八】在矩形中应用
20．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在矩形 中，点E在 上，使点D落在 边上的点
F处，若 ， ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
21．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形 中， ， ，P为边 上一个动点，
连接 ，将 沿 所在直线折叠后，点A的对应点落在点 处，连接 ，则当 取最小值时，
的值为 ．
22．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，已知 是矩形 的对角线， ， 交 延
长线于 ， 交 于 ， 交 于 .
(1)求证：点 是 的重心；
(2)如果 ，求 的正弦值.
【考点题型九】在正方形中应用
23．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形
与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小
的锐角为 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
24．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点， ，
垂足为D，则 的值为 ．
25．（22-23九年级上·海南儋州·期末）如图，在正方形 中，P是 边上的一点，且 ，Q
是 的中点．
(1)求证： ；
(2)求 的值．
【考点题型十】在圆中求三角函数值
26．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期中）如图， 的半径为8， 内接于 ， 于点D，F
为弦 的中点，连接 ，若 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
27．（20-21九年级上·河南信阳·期末）如图， ， 两点在以 为直径的 上，若 ， 的半
径为2，则 的值为 ．
28．（20-21九年级下·浙江·期末）如图，四边形 中， ，以 为直径画
恰好经过点C，与 交于点E．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ，求 ．
【考点题型十一】在圆中求三角函数求角29．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图， 中， ， ，G是 的重心，AB
的中点为D，以G为圆心， 长为半径画⊙G，过C点作⊙G的两切线段 ，其中E、F为切点，
则 与 的度数和为（ ）
A．30° B． C． D．
30．（2022九年级下·全国·专题练习）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是 和 ，则∠BAC的度
数是 ．
31．（22-23九年级下·黑龙江绥化·期末）如图， 是 的直径， 切 于点B， 的延长线交直
线 于点A，点F在 上， ．
(1)求 的度数；
(2)求 的长．【考点题型十二】在圆中利用三角函数求线段长
32．（22-23九年级上·重庆·期末）如图， 为 的弦，直径 ，交 于点 ，连接 、 、
、 ，若 ， 的半径为2，则 的长度为（ ）
A．1 B． C． D．
33．（22-23九年级上·湖北随州·期末）如图， 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， 切⊙ 于点B，
E为 上一点，且 ，延长 交 于点D．
(1)求证： ；
(2)若⊙ 的半径为5， ，求 的长．34．（23-24九年级上·山东德州·期末）如图， 是 的直径， 是 的弦，且 ，垂足
为E，连接 ，过点B作 的切线，交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)若点 是 的中点，且 ，求线段 的长；
