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专题 01 一元二次方程（考点清单，4 个考点清单+12 种题型解读）【清单01】一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二
次方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
解题策略：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再
将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为
2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
【清单02】一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
解题策略：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
【清单03】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac ax2 bxc 0(a 0)
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根
的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
解题策略：
ax2 bxc 0(a 0)
1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
【清单04】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
解题策略：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际
问题的解决.
【考点题型一】一元二次方程及其根
1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）若 是方程 的一个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程 ，然后解关于 的方程
，即可得到答案．
【详解】解：把 代入方程 得， ，
解得： ，
选项A符合题意，
故选：A ．
2．（23-24九年级上·陕西西安·期末）将一元二次方程 化成一般形式后，则一次项的系数是
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 （其中a、b、c
是常数， ），其中a叫做二次项系数， 叫做二次项，b叫做一次项系数， 叫做一次项，c叫做常
数项，据此可得答案．
【详解】解：把 化为一般式为 ，
∴一次项系数为 ，
故选：C．3．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若 是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式
方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】 方程 是关于 的一元二次方程，
，
解得 ．
故答案为： ．
4．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知 是方程 的一个根，求代数式 的
值．
【答案】
【分析】本题考查整式化简求值，由 是方程 的一个根，可得 ，把
化简变形再代入即可求得答案．
【详解】 是方程 的一个根，
，
，
，
．
【考点题型二】一元二次方程的解法
5．（24-25九年级上·河南新乡·期末）一元二次方程 用配方法解方程，配方的结果是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的配方．方程整理后，两边都加上9，利用完全平方公式即可将原方程
配方．
【详解】解： ，
整理得 ，
配方得 ，
即 ，
故选：A．
6．（23-24九年级上·贵州贵阳·期末）一元二次方程 的根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查利用直接开方法解一元二次方程，将方程移项利用直接开方法求解即可．
【详解】解：移项得， ，
开方得， ．
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）用适当的方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（ ）利用公式法解答即可求解；
（ ）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解；
【详解】（1）解： ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ， ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
8．（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）先将常数项移到等号右边，再根据完全平方公式进行配方，最后开方，即可解答；
（2）将 当做一个整体，将等号左边进行因式分解，用因式分解法即可解答．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
；
（2）解： ，，
，
．
【考点题型三】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
9．（22-23九年级上·广东东莞·期末）一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则
（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的
关键：如果 （ ）的两个实数根是 ， ，那么 ， ．
根据一元二次方程的根与系数的关系即可直接得出答案．
【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得：
，
故选： ．
10．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式 ：当 ，方程有两个
不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：A. ，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意；
B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意；
C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意；
故选：A
11．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程 根的判别式的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式，根据 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
12．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知关于 的方程 ．
(1) 取什么值时，方程有两个实数根．
(2)如果方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数关系
和根的判别式是解题的关键．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式，即可求解．
【详解】（1）解： 方程有两个实数根，
，
解得： ；
（2）解：∵方程有两个实数根 ， ，且 ，， ， ，
，即 ，
平方得： ，
整理得： ，
解得：
【考点题型四】一元二次方程的应用
13．（23-24九年级上·河南信阳·期末）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 人患了流感，设每轮
传染中平均每人传染的人数为 人，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了
个人，则第一轮传染了 个人，第二轮作为传染源的是 人，则传染 人，依题意列方程：
．本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地
列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：依题意得 ，
故选：C．
14．（24-25九年级上·重庆綦江·期末）某中学连续3年开展植树活动，已知第一年植树600棵，第三年植
树864棵，若设该校这两年植树棵数的年平均增长率为x，根据题意可列出方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该校植树棵数的年平均增长率为 ，根据“第一年植树
600棵，第三年植树864棵”列出方程，即可求解．明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为 ，根据题意得：
．
故答案为：15．（24-25九年级上·全国·期末）某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为
50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭
子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克．
(1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹；
(2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？
【答案】(1)
(2)售价应降低7元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，
（1）利用养殖户每天的销量 每千克降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式，代入
可求出y值即可；
（2）利用养殖户每天的利润 每千克的销售利润 日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可
得出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定x的值，再将其代入 中即可求出定价．
【详解】（1）解：设养殖户每天的销量y千克，降价x元，依题意得函数关系为 ，
当 时， ，
∴当售价降低2元时，养殖户每天可销售480千克梭子蟹；
故答案为：480；
（2）解：依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又∵要尽可能让利顾客，
∴ ，
答：售价应降低7元．
16．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速
银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长 公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧
道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，
两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格
完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米？(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧
道施工成本增加m万元时，则每天可多挖 米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 米，若
最终每天实际总成本比计划多 万元，求 的值．
【答案】(1)甲最多施工900米
(2) 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间
的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工 米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低
于甲总施工成本的 ”列出关于 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多 万元”即可得出关于 的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工 米，
由题意可得： ，
解得： ．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得： ，
整理得 ，
解得 ．
答： 的值为2．
【考点题型五】综合应用
17．（22-23九年级上·山西晋城·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，若a，b，c
是 的三边长，则这个三角形一定是（ ）．
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由关于x的方程 有两个相等的实数根，可得 ，整理得，根据勾股定理逆定理判断 的形状即可．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，整理得 ，
∴ 是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵
活运用．
18．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）三角形两边长分别是3，7，第三边是方程 的根，则
三角形的周长为 ．
【答案】19
【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系的应用，解题的关键是正确求出第三边的长
度，以及掌握三角形的三边关系．
利用因式分解法解方程，得到 ， ，再利用三角形的三边关系进行判断，然后计算三角形的周长
即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去；
∴三角形的周长为： ；
故答案为：19
19．（20-21九年级上·重庆梁平·期末）关于x的一元二次方程x2﹣6x+n＝0的一个根是2，另一个根m．
（1）求m、n的值；
（2）若直线AB经过点A（2，0），B（0，m），求直线AB的解析式；
（3）在平面直角坐标系中画出直线AB的图象，P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角
形，若存在，写出点P坐标，并说明理由．
【答案】（1）m＝4，n＝8；（2）y＝﹣2x+4；（3）存在，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）
【分析】（1）当x=2时，方程为22-12+n=0，解得n=8，则2+m=6，即可求解；（2）用待定系数法即可求解；
（3）分AB是斜边、AB是直角边两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
【详解】解：（1）当x＝2时，方程为22﹣12+n＝0，解得n＝8，
∵2+m＝6，
∴一元二次方程为x2﹣6x+8＝0的另一个根m＝4．
∴m＝4，n＝8；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵直线AB经过点A（2，0），B（0，4），则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式：y＝﹣2x+4；
（3）存在，理由：
直线AB的图象如图：
第一种：AB是斜边，∠APB＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴当点P与原点O重合时，∠APB＝90°，
∴当点P的坐标为（0，0），△ABP是直角三角形；
第二种：设AB是直角边，显然∠BAP≠90°，
则点B为直角顶点，即∠ABP＝90°，
∵线段AB在第一象限，
∴这时点P在x轴负半轴．
设P的坐标为（x，0），
∵A（2，0），B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，OP＝﹣x，
∴BP2＝OP2+OB2＝x2+42，AB2＝OA2+OB2＝22+42，AP2＝（OA+OP）2＝（2﹣x）2．
∵AP2＝BP2+AB2，∴x2+42+22+42＝（2﹣x）2，
解得x＝﹣8，
∴当点P的坐标为（﹣8，0），△ABP是直角三角形，
∴综上，P的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【考点题型六】利用一元二次方程的概念，确定字母的取值或范围
20．（23-24九年级上·四川南充·期末）若 是关于 的一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二
次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：方程 是关于 的一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 ，
故选： ．
21．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一般形式 ，得到 ，求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ；
故答案为： ．
22．（23-24九年级上·新疆和田·期末）方程 是关于 的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（ ）未知数的最高次数是 ；
（ ）二次项系数不为 ；（ ）是整式方程；（ ）含有一个未知数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】解：∵方程 是关于 的一元二次方程，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【考点题型七】根据一元二次方程根的定义，求字母的取值或代数式的值
23．（22-23九年级上·广东东莞·期末）已知m是方程 的一个根．则代数式
的值是（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可．
根据一元二次方程的解的定义可得 ，然后对 变形后，整体代入计算即可．
【详解】解：∵m是方程 的一个根，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：D．
24．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）若关于x的方程 的一个根是 ，则m的值为
．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，把 代入方程，求出 的值即可．
【详解】解：把 代入 ，得： ，
∴ ，
故答案为： ．
25．（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程 的解，求式子 的值．
【答案】【分析】根据m是方程 的解，得到 ，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程 的解，
∴ ，即： ，
∴
．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及
利用整体思想进行求解，是解题的关键．
【考点题型八】根据一元二次方程根的判别式，求字母的取值或范围
26．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为一元二次方程有两不相等的实数根，则根的判别式 ，建立关于m的不等式，
求出m的取值范围．
本题考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与根的判别式 的关系：
（1） 方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程有两个相等的实数根；
（3） 方程没有实数根．
【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，
则 ， ， ，
∴ ，
解得
故选：C．
27．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值为．
【答案】 或9
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵方程 ，即 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 或9，
故答案为： 或9．
28．（23-24九年级上·天津·期末）解方程：
(1) ．
(2)关于x的方程 有两个不相等的实根，求m的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式；
（1）先求出 ，再由求根公式，即可求解；
（2） ，由一元二次方程两个不相等的实根，可得 即可求解；
掌握求根公式“ ”及根的判别式：“ 时，方程有两个不相等的实数根； 时，
方程有两个相等的实数根； 时，方程有无的实数根．”是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
， ， ，
，
，， ；
（2）解： 方程有两个不相等的实根，
，
解得： ．
29．（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若该方程有两个实数根，求 的取值范围．
(2)当 时，求方程的实数根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式，以及解一元二次方程．掌握根的判别式以及解一元二次方程的方法，是解
题的关键．
（1）根据方程有2个实数根，得到判别式大于等于0，进行求解即可；
（2）配方法解方程即可．
【详解】（1）解： 一元二次方程 有两个实数根，
．
．
（2）当 时，方程为 ，
．
．
．
．
．【考点题型九】根据根与系数的关系，求字母的取值范围
30．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）若 与 是一元二次方程 的两个实数根，且
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，得出 ， 的值是解题的关键 根据根与系数
的关系，可得出 ， ，再根据 得出一个关于 的一元一次方程，解方程即
可得出 的值．
【详解】 一元二次方程 的两个实数根，
， ，
∵ ，即 ，
∴ ，
，
故选 ．
31．（24-25九年级上·全国·期末）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实根，
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关
键．
（1）根据根的判别式 进行计算即可求解；（2）根据题意可得 ，将原式变形得
，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值
方法确定值即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两实根，
∴ ，
解得： ；
（2）解：根据题意可得： ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
∵ ，
∴ 舍去，
∴ 的值为 ．
32．（22-23九年级上·福建泉州·期中）已知关于 的方程
(1)当 为何值时，此方程有实数根．
(2)若此方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的
关键．【详解】（1）解：∵一元二次方程 有实数根，且 ，
∴ ，
解得 ．
（2）解： 是方程 的两个根，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【考点题型十】根据题目中的限制条件取舍
33．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）根据某风景区的旅游信息，公司组织一批员工到该风景区旅游，
支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
如果人数超过30人，每增加1人，人均旅游
如果人数不超过30人，
费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500
人均旅游费用为800元
元
【答案】参加旅游的人数40人．
【分析】本题考查了一元二次方程的一；设有x人参加这次旅游，根据题意了得出 ，根据题意列出
一元二次方程，解方程，根据实际问题验证即可求解．
【详解】解：设有x人参加这次旅游，
∵ ，
∴参加人数 ，
依题意得： ，解得： ， ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，不符合题意．
答：参加旅游的人数40人．
34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代
帝王都”之称．新中国成立后，沈阳成为中国重要的以装备制造业为主的重工业基地，被誉为“共和国装
备部”，有“共和国长子”和“东方鲁尔”的美誉．某市阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，
收费标准为：如果人数不超过 人，人均旅游费用为 元；如果人数超过 人，每增加 人，人均旅游
费用降低 元．但人均旅游费用不得低于 元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了
元的费用，求这个旅行团的人数．
【答案】这个旅行团的人数为 人．
【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是设这个旅行团的人数为 人，根据题意，列出方程，
则 ，解出方程，即可．
【详解】设这个旅行团的人数为 人，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， ；
当 时，人均旅行费用为： ，
∴ 舍去，
∴ ，
答：这个旅行团的人数为 人．
35．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某杨梅采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 带出杨梅价格
不超过
超过 人
人
元/人 元/斤
元/人 每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价(1)某公司员工（均为成人）在该杨梅采摘园组织团建活动，共支付票价 元，求这次参加团建的共多少
人？
(2)某社团共 人去该采摘园进行综合实践活动，购买了 张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过
元，求本次活动他们最多共带出杨梅多少斤？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等
式、不等式．
（1）设这次参加团建的共 人，由题意求得 ，依题意得， ，计算求出满足
要求的解即可；
（2）由题意求得，当成人人数大于或等于 人时，成人票都是 元/人， 由 （人）， ，
可得该社团购买的成人票为 元/人，设本次活动他们最多共带出杨梅 斤，依题意得，
，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设这次参加团建的共 人，
由题意知， （元）， （元），
∵ ，
∴ ，
依题意得， ，整理得， ，
，
∴ 或 ，
解得， 或 （舍去）
∴这次参加团建的共 人；
（2）解：∵ （人）， （人），
∴当成人人数大于或等于 人时，成人票都是 元/人，
∵ （人）， ，
∴该社团购买的成人票为 元/人，
设本次活动他们最多共带出杨梅 斤，
依题意得， ，
解得， ，∴本次活动他们最多共带出杨梅 斤
【考点题型十一】根据“让顾客得实惠”取舍
36．（24-25九年级上·河南南阳·期中）商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出
30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．
(1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元；
(2)为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？
(3)在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是
【答案】(1)40，1800
(2)19元
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键．
（1）商品售价降价 元时，则现在的售价是 元，售出 件，每件的利润是
元，由此即可求解；
（2）设每件商品降价 元，则现在售价是 元，利润是 元，售出件数是 件，利润
达到 元，由此即可求解；
（3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意当商品售价降价5元时，现在售出的件数是 ，利润是
元．
（2）解：设每件商品降价 元，则现在售价是 元，利润是 元，售出件数是
件，利润达到 元，
∴ ，
解方程得， ， ，
∵为了让顾客得到更多的实惠，
∴ ，即商品降价 元．
（3）解：售价是 元，
利润是 元，
∴利润率是 ．
37．（24-25九年级上·全国·期末）乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌
馒头的日销售量 （盒）是销售单价 （元 盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，
已知销售单价不低于成本价且不高于 元，每天销售乌馒头的固定损耗为 元，且成本价为 元 盒．
销售单价 （元/盒）
日销售量 （盒）
(1)直接写出乌馒头的日销售量 （盒）与销售单价 （元 盒）的函数表达式；
(2)“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗，端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得
最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为 元；
【答案】(1)
(2)当乌馒头每盒定价 元时，商店日销售纯利润为 元
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确列出关系式是解此题的关键．
（1）设乌馒头的日销售量 （盒）与销售单价 （元/盒）的函数表达式为 ，待定系数法即可求
解；
（2）根据销售量 单价利润 损耗费用 销售总利润，列出方程，求解即可；
【详解】（1）解：设乌馒头的日销售量 （盒）与销售单价 （元/盒）的函数表达式为 ，
由题意得： ，
解得： ，
乌馒头的日销售量 （盒）与销售单价 （元/盒）的函数表达式为 ；
（2）解：由题意得： ，
解得： ， ，
顾客获得最大实惠，
，
当乌馒头每盒定价 元时，商店日销售纯利润为1480元．
38．（23-24九年级上·江西赣州·期末）又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱
（小箱）脐橙的成本是 元 如果销售单价定为每箱40元，那么日销售量将达到 箱．据市场调查，销售单价每提高 元，日销售量将减少 箱．
(1)若销售单价定为每箱 元( )，请用含 的式子表示日销售量；
(2)要使每天销售这种脐橙盈利 元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？
【答案】(1)[ ]或 )
(2)这种脐橙的售价单价应定为每箱50元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）根据销售单价每提高 元，日销售量将减少 箱，列出代数式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
（2）解：设这种脐橙的售价单价定为每箱 元，则每箱的销售利润为 元，
日销售量为 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 要让利给顾客，
．
答：这种脐橙的售价单价应定为每箱50元．
【考点题型十二】挖掘题目中的隐含条件取舍
39．（22-23九年级上·吉林长春·期末）在一块长 、宽 的长方形荒地上，要建造一个花园并使所占
面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示，其中花园四周小路的宽度都相等，请帮小明计算一下
小路的宽是多少米？
【答案】小路的宽是
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确找出等量关系是解题的关键．根据“花园面积 大长方形
面积的一半”列方程即可得解．【详解】解：根据题意得： ，
解得： ， ，
不合题意，舍去，
．
答：小路的宽是 ．
40．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在宽为 ，长为 的矩形耕地上，修筑同样宽的三
条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为 ，求道路的宽度．
【答案】道路的宽为 ．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．耕地的面积 矩形耕地
的面积 三条道路的面积 道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽 ，可根据此关系列出方
程求出 的值，然后将不合题意的舍去即可．
【详解】解：设道路宽为 ，
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
经检验 ， 是原方程的解，但 ，不符合题意，舍去；
答：道路的宽为 ．
41．（21-22九年级上·云南昭通·期末）如图，有一块矩形硬纸板，长20cm，宽10cm．在其四角各剪去一
个同样大小的正方形．然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何
值时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²？【答案】当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为100cm²
【分析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为(20-2x) cm，宽为(10-2x) cm，高
为xcm，根据长方体盒子的侧面积为100cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出
结论．
【详解】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（20－2x）cm，
宽为（10-2x）cm，高为xcm
依题意，得：2×[（20-2x）＋（10-2x）]x＝100，
整理，得：2x2-15x＋25＝0，解得：
当x=5时，10－2x=0，不合题意，舍去；
答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体盒子的侧面积为100cm2
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
