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专题 02 二次函数（考点清单，11 个考点清单+11 种题型解读）【清单01】二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
【清单02】二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【清单03】二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，
y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【清单04】待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
【清单05】抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【清单06】图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【清单07】二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值
范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也
可把两个函数解析式列成不等式求解．
【清单08】根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【清单09】二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的
讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【清单10】二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【清单11】二次函数在给定区间上的最值
二次函数在给定区间上的最值．
对y＝ax2+bx+c，（p≤x≤q），
a＞0时，
当﹣ ≥q，则x＝q时，y取得最小值；x＝p时，y取得最大值
当﹣ ≤p，则x＝q时，y取得最大值；x＝p时，y取得最小值
当q≥﹣ ≥ 时，x＝﹣ 时，y取得最小值，x＝p时，y取最大值
当 ≥﹣ ≥p时，x＝﹣ ，y取得最小值，x＝q时，y取得最大值
a＜0时，
同样进行分类讨论．
【考点题型一】二次函数的定义
1．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）下列函数中， 一定是 的二次函数的是（ ）A． B．
C． D．
2．（22-23九年级上·广东东莞·期末）二次函数 的一次项系数是（ ）
A．3 B．2 C． D．0
3．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数 （m是常数）是二次函数，则m的值是
．
4．（21-22九年级上·安徽安庆·期末）已知函数 （ 为常数）是关于 的二次
函数，求 的值．
【考点题型二】二次函数的图象和性质
5．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，这是二次函数 图象的一部分，对称
轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③ ；④点 在二次函数图象
上，若 ，则 ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若二次函数 的图像经过 ，直线 经过 ，
两点．
（1） ；
（2）当 时，直线 与 的图像只有一个交点，则 的取值范围 ．
7．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线 ，点 在抛物线上．
(1)求n与m之间的关系式；
(2)若当 时，抛物线 有最小值 ，求n与m的值．
【考点题型三】二次函数与一元二次方程、不等式
8．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数 和一次函数 的图象，观察
图象，当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
9．（22-23九年级上·北京·期中）如图，直线 与抛物线 交于 ， 两点，其中点
，点 ，当 时， 的取值范围是 ．10．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数 的图象经过点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若关于x的方程 有实数根，求m的取值范围．
【考点题型四】二次函数的实际应用
11．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一
边 靠墙， 的长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①
的长可以为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最大值为
．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，则水面下
降 时，水面宽度增加 ．13．（23-24九年级上·云南昭通·期末）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，当售价为
每件60元时，每天销售量是40件，而销售单价每下降2元，每天的销售量就增加4件，且规定商品售价
不低于成本价．设每件商品的售价为x元时，每天的销售量为y件．
(1)请求出y与x之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，能使销售该商品每天获得的利润 （元）最大？最大利润是多少元？
【考点题型五】根据二次函数的图象判断字母的系数
14．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）已知抛物线 的对称轴为 ，与x轴正半轴的交
点为 ，其部分图象如图所示，结论错误的是（ ）
A．
B．
C．D．若 、 、 是抛物线上的三点，则
15．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，
与y轴交于点B，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④
；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．（22-23九年级上·河南周口·期末）二次函数 的图象如图所示，现有以下结论：
； ； 方程 有两个不相等的实数根； ．其中
正确结论的序号为 ．（填写出所有正确结论的序号）
【考点题型六】由已知函数的图象判断其他函数的图象
17．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）函数 的图象如图所示，那么函数 的图像
是（ ）A． B．
C． D．
18．（20-21九年级上·安徽阜阳·期末）二次函数 的图象如图所示，那么一次函数
的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
19．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知一次函数 的图象经过第一、二、四象限，则二
次函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型七】一次函数与二次函数图象的综合
20．（24-25九年级上·甘肃金昌·期中）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的大
致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．21．（22-23九年级上·山东济南·期末）一次函数 和二次函数 在同一个
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
22．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）已知方程 的根是 ， ，且 ．
若 ，则下列式子中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型八】抛物线的平移问题
23．（22-23九年级上·安徽六安·期末）将抛物线 向上平移1个单位长度，平移后抛物线的表达式为
（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长
度，得到的抛物线的解析式是 ．
25．（23-24九年级上·河北保定·期末）已知抛物线 的顶点为 ，且经过点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)该抛物线是否经过点 ？若不经过，怎样沿 轴方向平移该抛物线，使它经过点 ？并写出平移后的新抛物线的解析式．
【考点题型九】抛物线的对称问题
26．（23-24九年级上·北京丰台·期末）平面直角坐标系 中，将抛物线 在x轴和x轴下方的部
分记作 ，将 沿x轴翻折记作 ， 和 构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论
中，正确的序号是 ．
①图形G关于原点对称；
②图形G关于直线 对称；
③图形G的面积为S，满足 ．
27．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，“爱心”图案是由抛物线 的一部分及其关
于直线 的对称图形组成，点 ， 是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点 ， ， ， 是
“爱心”图案与坐标轴的交点，且点 ， 的坐标分别为 ， ．(1)求 ， 的值；
(2)求抛物线 关于直线 对称后的图象的表达式．
28．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）佳佳准备用图1所示的三拱铁艺做花坛围栏，并在如图2所示的平
面直角坐标系中，研究三拱铁艺的数学性质．已知三拱分别为抛物线 ， ， ，其中 ， 关于 的
对称轴对称， 经过原点和 ， ， 上的点 与点K关于 的对称轴对称，抛
物线 经过点H，K．点O，A，B，C，D，E分别是抛物线 ， ， 与x轴的交点．
(1)求 的函数解析式及点K的坐标；
(2)求 的对称轴和 的长度；
(3)为控制 的高度，需限定 ，直接写出 的最高点的纵坐标n的取值范围．【考点题型十】和一次函数的综合
29.（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线 （ 为常量）， 部分不变，
部分关于直线 轴对称变换．两部分组成图形 ．若图形 与直线 有两个交点，则
满足的条件是 ．
30．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）直线 与抛物线 相交于点 ．
(1)求a，b的值；
(2)求另一个交点B的坐标；
(3)求 的面积．
31．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)已知点 ， 在该抛物线上，若 ，直接写出 的取值范围；
(3)直线l交抛物线于点 ， （点B在点A的左侧），若点P在抛物线上且在直线l下方（不与
点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．【考点题型十一】和实际问题的综合
32．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部 下压如
图位置时，洗手液从喷口 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口 为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面
图下面部分是矩形 ．同学测得：洗手液瓶子的底面直径 ，喷嘴位置点 距台面的距离为
，且 、 、 三点共线．在距离台面 处接洗手液时，手心 到直线 的水平距离为 ，
不去接则洗手液落在台面的位置距 的水平面是（ ）
A． B． C． D．
33．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相
交于 两点，拱桥最高点 到 的距离为 米， 米， 为拱桥底部的两点，且 ，
若点 到直线 的距离为 米，则 的长为 米．
34．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出
手，篮球在距离篮筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的铅
直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
(2)求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
