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专题 03 平行四边形（考点清单，2 考点梳理+11 题型解读）
清单 01 平行四边形
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.性质：（1）．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
（2）．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
（4）．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
3.判定：（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.平行线的性质
（1）平行线间的距离都相等
（2）等底等高的平行四边形面积相等
5.三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝ BC．
清单 02 特殊的平行四边形
1.矩形、菱形、正方形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形.
2.矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
3.矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形.
2. 对角线相等的平行四边形是矩形.
3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.4.直角三角形性质：由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半．
5.菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.
6.菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
7.菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积 ab．（a、b是两条对角线的长度）
8.正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.
3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称
中心.
9.正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.有一个内角是直角的菱形是正方形.
【考点题型一】利用平行四边形的性质（ ）
【例1-1】（23-24八年级下·广西河池·期末）已知在 中，对角线 、 相交于点O，
，则 等于（ ）
A．3 B．6 C．4 D．12
【例1-2】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，已知 ．
(1)实践与操作：作 的平分线交 于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)猜想并证明：猜想 与 AB是否相等，并给予证明．【变式1-1】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在平行四边形 中， ， ， 平
分 交 于点 ，求 的长．
【变式1-2】（22-23八年级下·云南·期末）如图，在 中，点E，F分别在边 和 上，且
，求证： ．
【考点题型二】利用平行四边形的判定（ ）
【例2-1】（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形 中， ，要使四边形 为平
行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【例2-1】（23-24八年级下·广东茂名·期末）如图，线段 与 相交于点 ，分别过点 ， 作 的
垂线，垂足分别为 ， ，且 ， ，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形 为平
行四边形．【例2-3】（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人
在绘制时会保证四边形停车位 的边 ，边 ，且 ．求这个四边
形停车位的面积．
【例2-4】（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的
边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网
格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以 为边画一个面积为2的平行四边形 ．
(2)在图②中以 为边画一个面积为3的平行四边形 （菱形除外）．
(3)在图③中以 为边画一个面积为5的平行四边形 （正方形除外）．
【变式2-1】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形 中， ，若添加一个条件，
使四边形 为平行四边形，则下列正确的是（ ）A． B．AB＝AD C． D．
【变式2-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知 ， ， ，给出下面四个结
论： 其中正确的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式2-3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连
接 并延长交 于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ，则阴影部分的面
积为 ．
【变式2-4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图， ， ，点 、 在 上，且
．
(1)求证： ；
(2)试证明：以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形．【变式2-5】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图， 中，点E、F在对角线 上，且 ．
求证：四边形 是平行四边形．
【变式2-6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）实践操作：如图，在 正方形网格中，每个小正方
形的边长都为 ，线段 的端点都在格点上，点 不在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．
(1)请将图中线段 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，画出平移后的线段 （点 、 分别对应
点 、 ）；
(2)在（1）的条件下，连接 、 ，过点 作一条直线平分四边形 的面积，并保留作图痕迹．
【考点题型三】三角形中位线（ ）
【例3】（22-23八年级下·浙江·期末）如图，在 中，点 是边 的中点，点 ，G在边 上，
， 交 于E， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ，求 的长．【变式3-1】（24-25八年级下·全国·期末）如图，直线 ，点A，B固定在直线 上，C是直线 上一动
点．若E，F分别为 的中点，下列各值中，不随点C的移动而改变的是（ ）
①线段 的长；② 的周长；③ 的面积；④ 的度数．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【变式3-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，
设 的中点分别为点M，N，测得 米，可求出A，B两点之间的距为（ ）
A．32米 B．24米 C．20米 D．18米
【变式3-3】（22-23八年级下·湖北武汉·期末）如图， 中， ， ，D，E分别为
上的点， ，F，G分别为 ， 的中点，连 ，则 的长度是 ．
【考点题型四】矩形的性质与判定（ ）
【例4-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在矩形 中， 和 相交于点 ， 于点
，若 ，则 的度数为 （用含 的式子表示）．【例4-2】（24-25八年级下·全国·期末）图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在
矩形 的对角线 上，若测量得时钟的长 为 ，则时钟的另一边 的长为 cm．（结
果保留根号）
【例4-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）矩形的两条对角线的夹角为 ，对角线的长为 ，则矩形
的面积为 ．
【例4-4】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图， ， ，点A在 上，四边形
是矩形，连接 ， 交于点E，连接 交 于点F．
(1)求证： ．
(2)若点G是线段 的中点，补全图形并求证： 为等腰直角三角形．
(3)求证： ．
【例4-5】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在 中，点E在边 上，点F在边 上，
，连接 ．(1)求证：
(2)若 ，求证：四边形 是矩形．
【变式4-1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）长为 ，宽为 的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形 为平行四边形，延长 到E，使
，连接 ， ， ，添加一个条件，不能使四边形 成为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在矩形 中， ，点F是边 上的一点，
且 ，连接 ， 的垂直平分线交 的延长线于点E，交 于点P，连接 交 于点H，点
H为边 的中点，则 的长为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【变式4-4】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图， 是矩形 的一条对角线， ，依据
尺规作图的痕迹， 与 的交点为 ，则 的度数是 （用α的代数式表
示）．【变式4-5】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形 是矩形， 三点的坐标分别是
， ， ，对角线交点为 ，则点 的坐标是 ．
【变式4-6】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，四边形 为平行四边形，延长 到 ，使
，连结 ， ， ，要使四边形 成为矩形，可添加一个条件是 ．(只要写出
一个条件即可)
【变式4-7】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平行四边形 中， ， 经过
中点O，分别交 于点M，N，连接 ，且 ．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ，求 的长．
【考点题型五】直角三角形斜边上的中线（ ）
【例5】（22-23八年级下·北京朝阳·期末）如图，四边形 是矩形（ ）， 的平分线交于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2) 是 的中点，连接 ，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【变式5-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ，C为平面内
一点且 ，连接 ，点P为 的中点，则 的最大值为 ．
【变式5-2】（22-23八年级上·江苏宿迁·期末） 中， ， 点D为 的中点，若
，则
【变式5-3】（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，已知 中， ， ， ，
， 是 边上的两个动点，其中点 从点 开始沿 方向运动，且速度为 ，点 从点
开始沿 方向运动，且速度为 ，它们同时出发，设运动的时间为 ．
(1)出发 后，求 的长；
(2)当点 在边 上运动时，出发几秒钟， 是直角三角形？(3)当点 在边 上运动时，直接写出能使 成为等腰三角形的 的值 ______．
【考点题型六】菱形的性质与判定（ ）
【例6-1】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形 中， ．已知 的周长
是12，则菱形 的周长是（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
【例6-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在 的两边上分别截取 ，使 ：
再分别以点A，B为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点C；再连接 ．若 ，
，则四边形 的面积是（ ）
A． B．6 C．4 D．8
【例6-3】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图所示， 中，E、F、D分别是 上的中
点，要使四边形 是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在 基础上
添加）
【例6-4】（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在菱形 中，对角线 相交于点O，过点
B作 ，过点C作 ， 与 相交于点E．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
【例6-5】（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点O，若四边形 是矩形， 交 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【变式6-1】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四
边形 ，若测得 ， 之间的距离为 ， ， 之间的距离为 ，则线段 的长为（ ）A． B． C． D．
【变式6-2】（24-25八年级下·全国·期末）已知一菱形的边长为4，则其周长为 ．
【变式6-3】（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在 中，对角线 与 相交于点O，
平分 ，过点B作 交 于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【变式6-4】（22-23八年级下·广东惠州·期末）如图：在菱形 中，对角线 交于点O，过点
A作 于点E，延长 至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
【考点题型七】正方形形的性质与判定（ ）
【例7-1】（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，点 在 边上，连接 ，于点 ， 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【例7-2】（23-24八年级下·广东广州·期末）2002年在北京举行的第二十四届国际数学家大会会徽的设计
基础是 多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形（ 、 、
、 ）拼成大正方形 ，中空的部分是四边形 ，连接 ， 相交于点 ，
与 相交于点 ，若 ，且大正方形 边长为 ，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ，
．过点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．【变式7-1】（23-24八年级下·云南昭通·期末）在正方形 外侧作等边 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24八年级下·山东济宁·期末）七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三
角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为 的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边
形（图中⑥）的面积是 ．
【变式7-3】（22-23八年级下·重庆·期末）如图，在正方形 中，G为对角线 上一点，连接 、
，E是边 上一点，连接 交 的延长线上于点F，且 ，若 ，则 的度
数是 ．【变式7-4】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P是边长为4的正方形 的边 上任意一点，
过B点作 于点G，过C点作 于点E，连接 ．
(1)如图1，若点P是 的中点，求 的长；
(2)如图2，当点P在 边上运动时（不与B、C重合），求证： ；
(3)当 __________时， 是等腰三角形．
【考点题型八】中点四边形（ ）
【例8】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，四边形 的对角线 于点O，点E，F，G，
H分别为边 和 的中点，顺次连接 和 ，得到四边形 ．若
，则四边形 的面积等于（ ）．
A．30 B．35 C．40 D．60
【变式8-1】（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，依次连接四边形 各边中点得四边形 ，
要使四边形 为菱形，添加的条件正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图，在矩形 中，点 ， ， ， 分别为 ，， ， 的中点．若 ， ，则四边形 的周长为 ．
【变式8-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知四边形 ，
(1)如图（1），若 ，点 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点，判断四边形
的形状，并说明理由．
(2)如图（2），若 于 ， ， ，求 的值．
【考点题型九】四边形中的线段最值问题（ ）
【例9】（22-23八年级下·江苏淮安·期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）
题是这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相
等吗？
（1）直接判断： （填“ ”或“ ” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形 中，点 、 、 分别在边 、 和 上，且 ，垂足为 ．那么 与 相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点 在边 上，且 ，垂足为 ，当 在正方形 的对角线 上时，连接
，将 沿着 翻折，点 落在点 处．
①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，点 在 上， ，直接写出 的最小值为 ．
【变式9-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形 中，点E、F、G分别在 、 、
上， ， ， ， ， 与 交于点P．连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）如图，在菱形 中，点P是对角线 上一动点，
于点E， 于点F，记菱形高线的长为h，则下列结论：①当P为 中点时，则 ；② ；③ ；④若 ，连接 ，则 有最小值为2；⑤
若 ，连接 ，则 的最大值为 ．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式9-3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正方形 中， ，点 ， 分别
是 ， 的中点， ， 相交于点 ， 为 上一动点， 为 的中点，下列结论：①
；② ；③线段MN的最大值是 ；④线段MN的最小值是 ．其中正确的是
．（只填写序号）
【变式9-4】（22-23八年级下·湖北十堰·期末）如图，已知， ， ， ，D是平面内的
一个动点，且 ，连接 ，点E是 的中点，连接 ，则 的最大值与最小值的差为
．
【变式9-5】（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平行四边形 中， ，点E为
边上一点，连结 交对角线 于点F．
(1)如图，若 ， ，求 的长度；(2)如图，若 ，点G，H为 边的两点，连接 ， ， ，且满足
．求证： ．
(3)如图，若 ， ，将 沿射线 方向平移，得到 ，连接 ， ，当
的值最小时，请直接写出 的最小值．
【考点题型十】特殊平行四边形折叠问题（ ）
【例10】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，
出示如图 所示的长方形纸条 ，其中 ， ．然后在纸条上任意画一条线段
，将纸片沿 折叠，直线 与直线 交于点 ，得到 ．如图 所示：【基础回顾】
(1)在图 中，若 ， ；（直接写出答案）
【操作探究】
(2)改变折痕 位置， 始终是______三角形，请说明理由；
(3)爱动脑筋的小明在研究 的面积时，发现 边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快
研究出 的面积最小值为 ，此时 的大小可以为______；
【拓展延伸】
(4)小明继续动手操作进行折纸，发现了 面积存在最大值，请你求出这个最大值．
【变式10-1】（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在矩形 中，点M在边 上，先将矩形
纸片 沿 所在的直线折叠，使点D落在点 处，与 交于点N．之后再将矩形纸片 折叠，
使 恰好落在直线 上，点A落在点 处，点B落在点 处，折痕为 ．若 ， ，则
的长为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
【变式10-2】（22-23八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图所示，把正方形纸片 沿对边中点所在的
直线对折后展开，折痕为 ，再过点 折叠纸片，使点 落在 上的点 处，折痕为 ．若 的长
为2，则 的长为（ ）
A． B． C． D．1
【变式10-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形 中， ，点 在边 上，且
．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点 ，连接 、 ．有以下结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤图中与 相等的角有 个．其中，正
确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上）．
【变式10-4】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得
到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”．【尝试与感悟】
（1）如图 ，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 落在 边上的点 处，此时折痕 与
边形成的夹角 就是“折叠角”，且 ______ ；
（2）如图 ，先将矩形 对折，使得 与 重合，折痕为 ，点 在 边上，再将纸片沿着
折叠，点 落在 上的点 处 求“折叠角” 的度数；
【探索与发现】
（3）在图 中与 垂直的射线 、 上分别取点 、 ，使得四边形 是矩形，将其沿着经过点
的直线折叠后，点 落在边 上并且得到 的“折叠角” 请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点 、
不写作法，保留作图痕迹
【变式10-5】（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图 ， 是正方形 内一点， ，连接
，将 沿 翻折，得到 ，延长 ，与 的平分线相交于 ．(1)当四边形 为菱形时，填空： ______ ；
(2)试求 的度数；
(3)如图 ，连接 ，交 于 ，连接 ，当 三点共线时，求证：四边形 是菱形．
【变式10-6】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在正方形 中，点 为边 的中点，连
接 ，将 沿着 翻折，点 的对称点为点 ，记 与 的交点为 ．
(1)如图1所示，连接 并延长交边 于点 ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2所示，延长 交边 于点 ，求证：点 是 的中点；
(3)如图3所示，若 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，求 的值．
【考点题型十一】特殊平行四边形的动态问题（ ）【例11】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，正方形 的边长为 ，点 是 边上一点，且
，对角线 ， 交于点 ，点 是 中点，连接 ；
(1)如图1，过点 作 交 于点 ，判断四边形 的形状并证明；
(2)如图2，若点 是对角线 上的动点，当 平分 时，判断 ， ， 之间的数量关系，
并计算 的值．
【变式11-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形 中， 分别是边
上的动点，点 从 出发到 停止运动，点 从 出发到 停止运动，若P，Q两点以相同的速
度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形 是矩形；②存在四边形 是菱形；③
存在四边形 是矩形；④存在四边形 是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【变式11-2】（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在四边形 中， ， ，
，动点P从A点开始沿 边以 的速度向点D运动，动点Q从C点
开始沿 边以 的速度向点B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另
一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ．
(1)当t为何值时，四边形 是矩形；
(2)当t为何值时，四边形 是平行四边形；
(3)问：四边形 是否能成菱形？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．
【变式11-3】（23-24八年级下·广东揭阳·期末）已知， 中，一动点P在边 上，以每秒 的
速度从点A向点D运动．
(1)如图①，运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点F，连接 ，若 ，求
的面积；
(3)如图③，另一动点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 间往返运动，两个点同时出发，
当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若 ，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点
组成的四边形是平行四边形．
