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专题 04 最值问题（考题猜想，4 种热考题型）
题型一：将军饮马与造桥选址模型求最值（共11题）
1．（2023秋•绥阳县期末）如图， 中， ，垂足为 ， ，点 为直线 上方的
一个动点， 的面积等于 的面积的 ，则当 最小时， 的度数为
A． B． C． D．
【分析】由三角形面积关系得出 在与 平行，且到 的距离为 的直线 上， ，作点 关
于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，则 ， ，此时点 到 、 两点距离之和最小，
作 于 ，则 ，证明△ 是等腰直角三角形，得出 ，求出
，即可得出答案．
【解答】解： 的面积等于 的面积的 ，在与 平行，且到 的距离为 的直线 上，
，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，如图所示：
则 ， ，此时点 到 、 两点距离之和最小，
作 于 ，则 ，
， ，
， ，
△ 是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选： ．
【点评】本题考查了轴对称 最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形
面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．（2023秋•汉阳区期末）如图， 的面积为6， ， 平分 ．若 ， 分别是 ，
上的动点，则 的最小值A． B． C． D．3
【分析】依据垂线段最短，可得 的最小值，即 到 的最短距离，已知 的面积为6，
，可得 到 的最短距离，即 的最小值．
【解答】解：过 作 ，交 于点 ，交 于点 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，
，
是 关于 的对称点，
，
平分 ，
，
，
，
，
的最小值 的最小值，即 中 边上的高 ，
的面积为6， ，
，
，即 的最小值为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了垂线段最短，关键是掌握将军饮马模型．
3．（2023秋•增城区期末）如图， ， ， 分别是 ， 上的定点， ， 分别是边 ，
上的动点，如果记 ， ，当 最小时，则 与 的数量关系是．
【分析】如图，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，
则 最小，根据外角的性质得到 ， ，由轴对称
的 性 质 得 到 ， ， 于 是 得 到 ， 由 于
， ， ，即可得到结论．
【解答】解：如图，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交
于 ，则 最小，
，
，
， ，
， ， ，
，
，
即 ．
故答案为： ．【点评】本题考查了轴对称 最短路线问题，三角形的外角的性质，正确的作出图形是解题的关键．
4．（2023秋•竹山县期末）如图， 为 内一定点， ， 分别是射线 ， 上的点，当
的周长最小时， ，则 ．
【分析】作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，
连接 、 、 、 ，此时 的周长有最小值，由对称性可知 ，
，可求 ，再由 即可求解．
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于
点 ，连接 、 、 、 ，
， ，
的周长 ，此时 的周长有最小值，
由对称性可知 ， ， ，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题
的关键．
5．（2023秋•奉化区期末）如图， ，点 ， 分别是边 ， 上的定点，点 ， 分别
是边 、 上的动点，记 ， ，当 最小时，则 的值为 ．
【分析】作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，则
最小易知 ， ，根据三角形的外角的性质
和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作 关于 的对称点 ， 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，交
于 ，则 最小，
， ，
，
，，
故答案为 ．
【点评】本题考查轴对称 最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题．
6．（2023秋•青山区期末）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，当 的周长最小时， ．
【分析】作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，根据轴对称确定最短路线问题，连接
与 、 的交点即为所求的点 、 ，利用三角形的内角和定理列式求出 ，再根据轴对称
的性质计算即可．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，关于 的对称点 ，
连接 与 、 的交点即为所求的点 、 ，
则当 的周长最小时， ， 分别位于 ， 处，
， ，
，
，
由轴对称的性质得： ， ，．
，
即当 的周长最小时， 故答案为：70．
【点评】本题考查轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等
于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点 、 的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
7．（2022春•莲池区期末）如图，在 中， ， ， ， 平分 ，
是线段 上的动点， 是线段 上的动点，则 面积为 ， 的最小值为 ．
【分析】根据等腰三角形三线合一得 ，可以求出 面积；作 关于 的对称点 ，连接
，过 作 于 ，根据对称性求出 ，根据垂线段最短得出 ，
即可得出答案．
【解答】解：如图，作出点 关于 的对称点 ，
， ， ， 平分 ，
，点 在边 上，
面积为 ，
当点 ， ， 三点共线且 时， 最小，
过 作 于 ，
的最小值是 ．
利用等面积法得： ，
．故答案为： ．
【点评】此题是轴对称 最短路线问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，
用等面积法求出 是解本题的关键．
8．（2021秋•硚口区期末）在 中， ，点 、 分别为 和 上的动点， 与
相交于 点，且 的值最小．
①如图1，若 ， ，则 ；
②如图2， ．（用含 的式子表示）
【分析】①将 沿着 翻折，再沿着 翻折，连接 交 于点 ，交 于点 ，
在 边上截取 ，连接 ，根据垂线段最短即可解决问题；
②结合①的思想，即可解决问题．
【解答】解：①如图，将 沿着 翻折，再沿着 翻折，连接 交 于点 ，交 于点 ，
在 边上截取 ，连接 ，
，
最小，
， ，
由翻折可知： ， ，
在 中， ，
，
故答案为：30；
②如图2，将 沿着 翻折，再沿着 翻折，连接 交 于点 ，交 于点 ，
在 边上截取 ，连接 ， 和 交于点 ，此时 ， △ ，
， ，
最小，
由翻折可知： ，
，
设 ， ，
由翻折可知： ，
在 中， ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是将 的值最小的隐藏条件找出．
9．（2023秋•武昌区期中）如图，在 中， ， ， ， 分别平分 和
， 是 上一点， ，已知 ， ， ．当 取最小值时，
．（用含 ， 的式子表示）
【分析】作 ， 交 的延长线于点 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ‘，连
接 ，过点 作 于点 ，证明出 和 是等边三角形，得到 ，得到
取最小值时， ，再求出 的长即可．
【解答】解：作 ， 交 的延长线于点 ，在 上取一点 ，使 ，连接‘，连接 ，过点 作 于点 ，
， ，
，
， 分别平分 和 ，
， ，
，
， ，
又 ， ，
△ ， △ ，
， ， ，
，
即 的最小值为 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
，
是等边三角形，
，
，
在 △ 中，
，
，，
．
【点评】本题考查轴对称 最短路线问题，解答中涉及轴对称，等边三角形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，探究出 取最小值时， 的位置是解题的关键．
10．（2023秋•重庆期末）在 中，点 是边 上一点，连接 ．
（1）如图1，若 平分 ， ， ， 的面积为3，求 的面积；
（2）如图2，若 ，点 在 上，满足 ，过点 作 于点 ，交 的延
长线于点 ，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，
当 的最小值是 时，直接写出线段 的长．（用含 ， 的代数式表示）
【分析】（1）过点 作 于 ，作 于 ，利用角平分线性质可得 ，再利用三
角形面积可得 ，可求得 ，利用 ，即可求得答案；
（2）延长 交 于 ，过点 作 交 于 ，利用 可证得 ，即可证得结
论；
（3）过点 作 ，过点 作 于 ，交 于 ，作点 关于 的对称点 ，连接
，则点 在射线 上，当 、 、 在同一条直线上，且 时，即点 与点 重合时，
为最小值，过点 作 于 ，则 是等腰直角三角形，再证得四边形是矩形， 是等腰直角三角形，即可求得答案．
【解答】（1）解：如图1，过点 作 于 ，作 于 ，
平分 ，
，
， ，
，即 ，
，
，
，
，
；
（2）证明：延长 交 于 ，过点 作 交 于 ，
又 于点 ，
，
，
， ， ，
，
，
，， ， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点 作 ，过点 作 于 ，交 于 ，作点 关于 的对称点
，连接 ，则点 在射线 上，
，当 、 、 在同一条直线上，且 时，即点 与点 重合时， 为最小值，
过点 作 于 ，则 是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
即线段 的长为 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，
全等三角形的判定和性质，三角形面积等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．（2023春•兴宁市校级期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 、 提供牛奶，奶站应建在什么地
方，才能使从 、 到 的距离之和最短？请画出点 的位置；
（2）问题理解：如图2，在 中， ， 平分 ，点 是 边的中点，点 是线段
上的动点，画出 取得最小值时点 的位置；
（3）问题运用：如图3，在 中， ， ， ， 是 的平分线，当点
、 分别是 和 上的动点时，求 的最小值．
【分析】（1）如图 1中，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，此时
的值最小．（2）如图2中，连接 交 于点 ，连接 ，点 即为所求．
（3）如图3中，过点 作 于 ．证明 ， 关于 的长，作点 关于 的对称点 ，连
接 ，则 ，推出 ，推出当 ， 在 上时， 的值最小，最
小值为线段 的长．
【解答】解：（1）如图1中，点 即为所求．
（2）如图2中，点 即为所求．
（3）如图3中，过点 作 于 ．
， 平分 ，
垂直平分线段 ，
， 关于 的长，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，
，当 ， 在 上时， 的值最小，最小值为线段 的长，
，
．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，轴对称最短问题，两点之间线段最短，垂线
段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
题型二：垂线段最短求最值（共7题）
1．（2022秋•江岸区期末）如图，在 中， ， ， ， ，点 、 分别是
边 、 上的动点，则 的最小值等于
A．4 B． C．5 D．
【分析】作 点关于 的对称点 ，过 作 ，此时 的值最小为 ，求出 即可．
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，过 作 于点 ，交 于点 ，
，
，此时 的值最小，
，
， ，
，
．方法二： ， ，
，
，
，
，
的最小值是 ，
故选： ．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，直角三角
形的性质是解题的关键．
2．（2022秋•槐荫区校级期末）如图，△ 中， ， ， 是 的角平分线，
，则 的最大值为
A．40 B．28 C．20 D．10
【分析】延长 ， 交于点 ，可证△ △ ，得出 ， ，则，当 时， 最大为20，即 最大为10．
【解答】解：如图：延长 ， 交于点 ，
平分 ，
，
，
，
在△ 和△ 中， ，
△ △ ，
， ；
，
，即 ；
，
，
当 时， 最大，
即 最大 ．
故选： ．
【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中
线的性质得到 是解题的关键．3．（2023秋•江岸区期末）如图， 中， ， ， 的角平分线 于 ，
为 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
【分析】首先证明两个阴影部分面积之差 ，当 时， 的面积最大．
【解答】解：延长 交 于点 ．设 交 于点 ．
，
，
平分 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，， ，
，
，
，
， ，
，
，
当 时， 的面积最大，最大面积为
故答案为：2．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想
思考问题．
4．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的
动点，则 的最小值为 ．
【分析】过点 作射线，使 ，再过动点 作 ，垂足为点 ，连接 ，在
中， ， ， 当 ， ， 在同一直线上，
即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长．
【解答】解：过点 作射线 ，使 ，再过动点 作 ，垂足为点 ，连接 ，如
图所示：在 中， ，
，
，
当 ， ， 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， ，
是等边三角形，
，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
的最小值为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学
会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
5．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，过点 作 ．
若 ， 轴上的一点 ，连接 ，当点 在 轴上移动时， 的最小值为 ．
【分析】过点 作 轴于点 ，根据“ ”证明 ，从而得到 ，进而得
出点 在平行于 轴与 轴距离为6的直线上运动，则当 垂直于这条直线时， 最短，求解即可．【解答】解：过点 作 轴于点 ，
，
，
， ，
，
，
，
，
点 在平行于 轴与 轴距离为6的直线上运动，如图：当 垂直于这条直线时， 最短，此时
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点 的运动轨迹是
解本题的关键．
6．（2022 秋•江夏区校级期末）如图在 中． ． ．点 为直线 上一点．当
有最小值时， 的度数为 ．【 分 析 】 以 为 边 ， 作 ， 过 点 作 于 ， 则
，故当 、 、 三点共线时， 最小，从而解决问题．
【解答】解；如图，以 为边，作 ，过点 作 于 ，
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
过点 作 于 ，交 于 ，
在 中， ，
，
当 有最小值时， 的度数为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了含 角的直角三角形的性质，胡不归问题，垂线段最短等知识，根据题意，作
辅助线，将 的最下值转化为 的长是解题的关键．
7．（2023秋•来凤县期末）如图， 中， ， ， ， 为 上一动点，
垂直平分 分别交 于 、交 于 ，则 的最大值为 ．
【分析】要使 最大，则 需要最小，而 ，从而通过圆与 相切来解决问题．
【解答】解：方法一、 中， ， ， ，
，
垂直平分 ，，
若要使 最大，则 需要最小，
以 为圆心， 为半径的圆与 相切即可，
，
，
，
的最大值为 ，
方法二：过点 作 于 ，连接 ，
设 ，则 ，
，
，
，
解得 ，
最小值为 ， 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、 角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将 的最大值转化为 最小是解决本题的关键，属于压轴题．
题型三：构造手拉手、一线三等角等模型求最值（共4题）
1．（2021秋•江岸区期末）如图， 是等边三角形 的 边上的高，点 是 上的一个动点（点
不与点 重合），连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，若 ，
则线段 长度的最小值是
A．3 B． C．1.5 D．1
【分析】由旋转的性质可得 ， ，可证 是等边三角形，可得 ，
，由“ ”可证 ，可得 ，即点 在射线 上
运动，当 时， 有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，连接 ，
是等边三角形 的 边上的高， ，
， ，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
在 和 中，，
，
，
点 在射线 上运动，
当 时， 有最小值，
此时， ， ，
，
线段 长度的最小值是1.5，
故选： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，确定点 的运动路径是
解题的关键．
2．（2023秋•青山区期末）如图，等边 的边长为2， 于点 ， 为射线 上一点，以
为边在 左侧作等边 ，则 的最小值为
A．1 B． C． D．
【分析】连接 ，利用“手拉手”模型得出全等，得出点 的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：连接 ，
和 是等边三角形，
， ， ，
，
即 ，，
．
又 ，
，
，
则点 在过点 且与 夹角为 的射线上．
过点 作射线 的垂线，垂足为 ，
，且 ，
，
即 的最小值为 ．
故选： ．
【点评】本题考查旋转的性质及垂线段最短，通过“手拉手”模型构造出全等是解题的关键．
3．（2023秋•莆田期末）如图， 中， ， ， 为射线 上一动点，以 为
底边，在 的左侧作等腰直角三角形 ． 为 上一点， ，连接 ．当 取最
小值时，则 的度数为 ．
【分析】作 ，交 的延长线于点 ，作 于 ，可证得 ，从而，进而证得 ，从而 ，从而得出点 在 的平分线上 运动，
作 点 关 于 的 对 称 点 ， 连 接 ， 交 于 点 ， 根 据 对 称 性 得 出
．
【解答】解：如图，
作 ，交 的延长线于点 ，作 于 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
点 在 的平分线上 运动，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于点 ，
点 在 的延长线上，
当点 在 处时， 最小，
，
，
，
，，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的
性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，已知 中， ， 是边 上一点，以 为边作
， 在 同侧），使 ， ，连 ．
（1）如图1，若 在 上方且 ，求 度数；
（2）如图2．若 在 上方且 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，若 ， ， ，则 的最小值为 （直接写出结
果）．
【分析】（1）如图1中，作 交 于 ．想办法证明 即可解决问题．
（2）如图 2 中，结论： ．作 于 ，在 上截取 ，使得 ．证明
可得结论．（3）如图3中，过点 作 交 于 ，延长 到 ，使得 ．利用全等三角形的性质解
决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，作 交 于 ．
， ， ，
， 都是等边三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
解法二：证明 ，可得结论．
（2）如图2中，结论： ．
理由：作 于 ，在 上截取 ，使得 ．， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，过点 作 交 于 ，延长 到 ，使得 ．
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，，
，
点 的运动轨迹是直线 （与 的夹角为 ，如图所示），
，
，
根据垂线段最短可知， 的最小值为 ．
故答案为 ．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问
题，属于中考压轴题．
题型四：线段的拼接等求最值（共6题）
1．（2024秋•柳南区校级期中）如图，等腰三角形 中， ， 平分 ，交 于点
， 为 上一点， 为 上一点，且 ，连接 ， ．当 的最小值为8时，
的长
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】作 ，使得 ，连接 ，依据△ △ ，即可得到
，进而得出当 ， ， 三点共线时， 的最小值等于 的长，再根据△ 是等
边三角形，即可得到 的长．
【解答】解：如图所示，作 ，使得 ，连接 ，
在△ 和△ 中，，
△ △ ，
，
，
当 ， ， 三点共线时， 的最小值等于 的长，
又 的最小值为8，
的长为8，
， ，
，
， ，
△ 是等边三角形，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造
全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
2．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，点
为 内一动点且 ，点 为 的中点，当 最小时，则 的度数为
A． B． C． D．【分析】取 的中点 ，连接 ，易证 ，故可得出 最小时，即求
的最小值，即为 ，即 、 、 三点共线时最小，据此可得出结论．
【解答】解：取 的中点 ，连接 ，
在 与 中
，
，
，
最小时，即求 的最小值，即为 ，即 、 、 三点共线时最小，此时
．
故选： ．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，涉及到三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．（2023春•涪城区期末）如图， 中， ， ， ， 、 、 分别是 、
、 边上的动点，则 的最小值是
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
【分析】如图，作 关于直线 的对称点 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
， ， ， ． ， 推 出 ， 可 得 、 、 共 线 ， 由
， ，可知 、 、 、 共线时，且 时，的值最小，最小值 ，求出 的值即可解决问题．
【解答】解：如图作 关于直线 的对称点 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 ， ， ，
， ， ， ．
， ， ，
，
、 、 共线，
，
，
当 、 、 、 共线时，且 时， 的值最小，最小值 ，
，
，
的最小值为4.8．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点 关于 、 的对称点，将 的周长转
化为 的长是解题的关键．
4．（2020秋•椒江区期末）小华的作业中有一道题：“如图， ， 在 的同侧， ， ，
，点 为 的中点．若 ，求 的最大值．”哥哥看见了，提示他将 和
分别沿 、 翻折得到△ 和△ ，连接 ．最后小华求解正确，得到 的最大值是 ．
【分析】由折叠的性质可得 ， ， ， ， ，
，可证△ 是等边三角形，可得 ，则当点 ，点 ，点 ，点 四点
共线时， 有最大值 ．
【解答】解： ，点 为 的中点，
，
，
，
将 和 分别沿 、 翻折得到△ 和△ ，
， ， ， ， ， ，
， ，
△ 是等边三角形，
，
当点 ，点 ，点 ，点 四点共线时， 有最大值 ，
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换，考查折叠的性质，等边三角形的判定和性质，证明△ 是等边三角形
是解题的关键．
5．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图， 为等腰 的高，其中 ， ， ， 分别
为线段 ， 上的动点，且 ，当 取最小值时， 的度数为 ．
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明 ，得 ，将 转化为 ，与
在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点 的位置，即 为 与 的交点时，的值最小，求出此时 ．
【解答】解： ， ，
，
如图1，作 ，且 ，连接 交 于 ，连接 ，
，
，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
当 为 与 的交点时，如图2， 的值最小，
此时 ， ，
，
故答案为： ．【点评】此题考查全等三角形的性质和判定，最短路径问题，关键是作出辅助线，当 取得最小值
时确定点 的位置．
6．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，等腰直角 中， ， ， 为 中点，
， 为 上一个动点，当 点运动时， 的最小值为 ．
【分析】作点 关于 对称点 ，则 ，连接 ，交 于 ，连接 ，此时
的值最小．由对称性可知 ，于是得到 ，然后
根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设 ，
， ， 为 中点，
，
，
作点 关于 对称点 ，则 ，连接 ，交 于 ，连接 ，
此时 的值最小，
对称性可知 ，
，
，
，
， ，
， ，所以 △ ，
．
故答案为：6．
【点评】此题考查了轴对称 线路最短的问题，确定动点 何位置时，使 的值最小是解题的关键．
