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专题 04 最值问题（考题猜想，4 种热考题型）
题型一：将军饮马与造桥选址模型求最值（共11题）
1．（2023秋•绥阳县期末）如图， 中， ，垂足为 ， ，点 为直线 上方的
一个动点， 的面积等于 的面积的 ，则当 最小时， 的度数为
A． B． C． D．
2．（2023秋•汉阳区期末）如图， 的面积为6， ， 平分 ．若 ， 分别是 ，
上的动点，则 的最小值A． B． C． D．3
3．（2023秋•增城区期末）如图， ， ， 分别是 ， 上的定点， ， 分别是边 ，
上的动点，如果记 ， ，当 最小时，则 与 的数量关系是
．
4．（2023秋•竹山县期末）如图， 为 内一定点， ， 分别是射线 ， 上的点，当
的周长最小时， ，则 ．
5．（2023秋•奉化区期末）如图， ，点 ， 分别是边 ， 上的定点，点 ， 分别
是边 、 上的动点，记 ， ，当 最小时，则 的值为 ．6．（2023秋•青山区期末）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是边 ，
上的动点，当 的周长最小时， ．
7．（2022春•莲池区期末）如图，在 中， ， ， ， 平分 ，
是线段 上的动点， 是线段 上的动点，则 面积为 ， 的最小值为 ．
8．（2021秋•硚口区期末）在 中， ，点 、 分别为 和 上的动点， 与
相交于 点，且 的值最小．
①如图1，若 ， ，则 ；
②如图2， ．（用含 的式子表示）
9．（2023秋•武昌区期中）如图，在 中， ， ， ， 分别平分 和
， 是 上一点， ，已知 ， ， ．当 取最小值时，
．（用含 ， 的式子表示）10．（2023秋•重庆期末）在 中，点 是边 上一点，连接 ．
（1）如图1，若 平分 ， ， ， 的面积为3，求 的面积；
（2）如图2，若 ，点 在 上，满足 ，过点 作 于点 ，交 的延
长线于点 ，若 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，已知 ，点 ， 分别是线段 ， 上的动点，连接 ， ，
当 的最小值是 时，直接写出线段 的长．（用含 ， 的代数式表示）11．（2023春•兴宁市校级期末）问题解决：
（1）问题情境：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 、 提供牛奶，奶站应建在什么地
方，才能使从 、 到 的距离之和最短？请画出点 的位置；
（2）问题理解：如图2，在 中， ， 平分 ，点 是 边的中点，点 是线段
上的动点，画出 取得最小值时点 的位置；
（3）问题运用：如图3，在 中， ， ， ， 是 的平分线，当点
、 分别是 和 上的动点时，求 的最小值．
题型二：垂线段最短求最值（共7题）
1．（2022秋•江岸区期末）如图，在 中， ， ， ， ，点 、 分别是
边 、 上的动点，则 的最小值等于A．4 B． C．5 D．
2．（2022秋•槐荫区校级期末）如图，△ 中， ， ， 是 的角平分线，
，则 的最大值为
A．40 B．28 C．20 D．10
3．（2023秋•江岸区期末）如图， 中， ， ， 的角平分线 于 ，
为 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
4．（2023秋•工业园区校级期中）如图，在 中， ， ， ，若 是 边上的
动点，则 的最小值为 ．5．（2023秋•咸宁期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，连接 ，过点 作 ．
若 ， 轴上的一点 ，连接 ，当点 在 轴上移动时， 的最小值为 ．
6．（2022 秋•江夏区校级期末）如图在 中． ． ．点 为直线 上一点．当
有最小值时， 的度数为 ．
7．（2023秋•来凤县期末）如图， 中， ， ， ， 为 上一动点，
垂直平分 分别交 于 、交 于 ，则 的最大值为 ．
题型三：构造手拉手、一线三等角等模型求最值（共4题）
1．（2021秋•江岸区期末）如图， 是等边三角形 的 边上的高，点 是 上的一个动点（点
不与点 重合），连接 ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 、 ，若 ，
则线段 长度的最小值是A．3 B． C．1.5 D．1
2．（2023秋•青山区期末）如图，等边 的边长为2， 于点 ， 为射线 上一点，以
为边在 左侧作等边 ，则 的最小值为
A．1 B． C． D．
3．（2023秋•莆田期末）如图， 中， ， ， 为射线 上一动点，以 为
底边，在 的左侧作等腰直角三角形 ． 为 上一点， ，连接 ．当 取最
小值时，则 的度数为 ．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，已知 中， ， 是边 上一点，以 为边作
， 在 同侧），使 ， ，连 ．（1）如图1，若 在 上方且 ，求 度数；
（2）如图2．若 在 上方且 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，若 ， ， ，则 的最小值为 （直接写出结
果）．
题型四：线段的拼接等求最值（共6题）
1．（2024秋•柳南区校级期中）如图，等腰三角形 中， ， 平分 ，交 于点
， 为 上一点， 为 上一点，且 ，连接 ， ．当 的最小值为8时，
的长
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，在 中， ， ， ，点 为 的中点，点为 内一动点且 ，点 为 的中点，当 最小时，则 的度数为
A． B． C． D．
3．（2023春•涪城区期末）如图， 中， ， ， ， 、 、 分别是 、
、 边上的动点，则 的最小值是
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
4．（2020秋•椒江区期末）小华的作业中有一道题：“如图， ， 在 的同侧， ， ，
，点 为 的中点．若 ，求 的最大值．”哥哥看见了，提示他将 和
分别沿 、 翻折得到△ 和△ ，连接 ．最后小华求解正确，得到 的最大值
是 ．
5．（2023秋•鲅鱼圈区期末）如图， 为等腰 的高，其中 ， ， ， 分别
为线段 ， 上的动点，且 ，当 取最小值时， 的度数为 ．6．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，等腰直角 中， ， ， 为 中点，
， 为 上一个动点，当 点运动时， 的最小值为 ．
