文档内容
专题 04 整式的乘法与因式分解
（考点清单，5 个考点清单+16 种题型解读）【清单01】幂的运算
1.同底数幂的乘法性质
(其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即 （ 都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的
指数之和等于原来的幂的指数。即 （ 都是正整数）.
2.幂的乘方法则
(其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( ， 均为正整数)
（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解
决问题.
3.积的乘方法则
(其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广： ( 为正整数).
（2）逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算
更简便.如：
注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【清单02】整式的乘法
1.单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它
们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的
乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相
加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
2.单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
m(abc)mambmc
即 .
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单
项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
3.多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 .即
abmnamanbmbn
.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数
之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并 .特殊的二项式相乘：
xaxb x2 abxab
.
【清单03】整式的除法1．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：
一般地，我们有 （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【拓展】
（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，
例如： （a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．
（2）同底数幂的除法法则的逆用： （a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．
2．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，
连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
3．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前
面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【清单04】乘法公式
1.平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.a,b
要点诠释：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，
又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
2.完全平方公式
(ab)2 a2 2abb2
完全平方公式：
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加
（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
3.补充公式
； ；
； .
【清单05】因式分解
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因
式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运
算.
2.公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各
项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
3.提公因式法
把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是
，即 ，而 正好是 除以m所得的商，
这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即 .
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时
多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项
变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
4.公式法——平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a2 b2 abab
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这
两个数（整式）的差的积.
（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
5.公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．a2 2abb2 ab2 a2 2abb2 ab2
即 ， .
形如a2 2abb2 ，a2 2abb2
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是
两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
【考点题型一】幂的运算
【例1】（2023秋•永春县期末）已知 ， ， 为正整数，且满足 ，则 的取值不
可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】将原方程化为 ，得到 ， ，再根据 ， ， 为正整数，求出 ，
的值，进而求出答案．
【解答】解：根据题意得： ，
， ，
， ， 为正整数，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
不可能为8．
故选： ．
【点评】本题考查了幂的运算，难度较大，根据 ， ， 为自然数求出 ， 的值是解题的关键．
【变式1-1】（2024春•港南区期末）若 ，则
A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是正确解答的关键．
【变式1-2】（2023秋•仓山区校级期末）下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，可得答
案．
【解答】解： 、 与 不是同类项，不能合并，故 不符合题意；
、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 不符合题意；
、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 不符合题意；
、幂的乘方底数不变指数相乘，故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
【变式1-3】（2023秋•郾城区期末）计算： ．
【分析】根据积的乘方得出原式 ，再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．
【解答】解：
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确根据积的乘方进行变形是解此题的关键．
【考点题型二】幂的运算的逆运算
【例2】（2023秋•南阳期末）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若， ，求 的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即
，所以 ，所以 ．
（1）若 ， ，请你也利用逆向思考的方法求出 的值；
（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题：
小豫的作业
计算： ；
解： ．
①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号（字母）语言直接写出这条性质：
．
②计算： ．
【分析】（1）逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案；
（2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可；
②逆向运算积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1） ，
．
，
，
；
（2）①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即 ，
故答案为： ；
②．
【点评】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算
法则是解题的关键．
【变式2-1】（2024春•唐山期末）若 ， ，则 的值是
A．24 B．10 C．3 D．2
【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【变式2-2】（2023秋•东莞市校级期末）已知 ， ，则 值为
A．9 B．20 C． D．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋•舒兰市期末）当 ，则 的值为
A．4 B． C．6 D．8【分析】运用同底数幂相乘和整体思想进行求解．
【解答】解： ，
，
，
故选： ．
【点评】此题考查了同底数幂相乘和整体思想的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和能力．
【变式2-4】（2023秋•金昌期末）已知 ， ， 、 为正整数，求 ．
【分析】首先求出 ， ，进而利用积的乘方以及同底数幂的乘方运算法则求出即可．
【解答】解： ， ，
， ，
．
【点评】此题主要考查了积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题
关键．
【考点题型三】幂的运算的应用——比较大小
【例3】（2023秋•郸城县期末）比较 、 、 的大小
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答】解： ，
，，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．
【变式3-1】（2023秋•舞阳县期末）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【分析】根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．
【解答】解： ， ， ，
， ， ．
又 ，
．
故选： ．
【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、
有理数的大小关系是解决本题的关键．
【变式3-2】（2023秋•藁城区期末）比较大小： ．
【分析】根据幂的乘方把两个数写成指数相同的数，再比较．
【解答】解： ， ，而
．
【点评】此题主要考查学生对幂的乘方与积的乘方的理解及计算能力．
【考点题型四】整式的乘除法
【例4-1】（2023秋•南陵县期末）计算： ．
【分析】根据幂的相关运算法则即可求解．
【解答】解：原式．
【点评】本题考查幂的相关运算．掌握运算法则是解题关键．
【例4-2】（2023秋•广阳区校级期末）计算 的结果是 ．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行运算即可．
【解答】解：原式 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查单项式乘多项式，正确记忆运算法则是解题关键．
【例4-3】（2023秋•和县期末） ．
【分析】直接利用整式的除法运算法则求出即可．
【解答】解：
．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题关键．
【例4-4】（2023秋•雷州市期末） ．
【分析】先算乘方、负数的指数幂和零指数幂，再算加减即可得到结果即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了有理数的乘方、负数的指数幂和零指数幂，先算乘方、负数的指数幂和零指数幂，再
算加减即可得到结果，熟练掌握相关运算是解题的关键．
【例4-5】（2023秋•汉阳区校级期末）计算： ．
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【解答】解：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的
掌握．
【例4-6】（2023秋•廉江市期末）（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ， ，求 的值．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相
应的值运算即可．
【解答】解：（1）当 ， 时，
；
（2）当 ， ， 时，
．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的
掌握．
【例4-7】（2023秋•于都县期末）已知多项式 ．
化简多项式 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项
中出现错误的是 ，并写出正确的解答过程．
小明的作业：① ② ③ ④ ．
【分析】根据完全平方公式进行判断即可；根据整式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：①，
故答案为：①；
正确解答过程为：
．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键．
【变式4-1】（2023秋•黔南州期末）式子 化简后的结果是
A． B． C． D．
【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式乘单项式法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选： ．
【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则、幂的乘方法则和积
的乘方法则．
【变式4-2】（2023秋•漳州期末）如果 ，那么 、 的值分别是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】先将 展开，然后与 找准对应的系数，即可得到 、 的值．
【解答】解： ， ，
， ，
故选： ．【点评】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确多项式乘以多项式的方法，找准对应的系数．
【变式4-3】（2023秋•大连期末）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方进行计算即可．
【解答】解： 、 ，故选项 错误，不符合题意；
、 ，故选项 正确，符合题意；
、 ，故选项 错误，不符合题意；
、 ，故选项 错误，不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式4-4】（2023秋•西宁期末）计算： ．
【分析】先利用乘法的结合律，再把结果用科学记数法表示．
【解答】解：
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了有理数的计算，掌握乘法的运算法则及科学记数法是解决本题的关键．
【变式4-5】（2023秋•松北区期末）若 ， ，则 ．
【分析】根据幂的乘方运算法则可得 ，再根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：因为 ， ，所以 ．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-6】（2023秋•雨花区期末）若 ，则 ．
【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案．
【解答】解： ，
原式
，
故答案为：4．
【点评】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练运用同底数幂的运算法则，本题属于基础题型．
【考点题型五】乘法公式
【例5-1】（2023秋•久治县期末）已知 ， ，求 与 的值．
【分析】根据完全平方公式间的关系，可得答案．
【解答】解： ， ，
；
．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
【例5-2】（2023秋•江阳区期末）计算： ．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的
关键．【例5-3】（2023秋•鞍山期末）运用乘法公式计算：
【分析】原式先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果．
【解答】解：原式 ．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【变式5-1】（2024春•平南县期末）已知 ， ，则代数式 的值为
A．8 B．18 C．19 D．25
【分析】先根据完全平方公式得出 ，再求出答案即可．
【解答】解： ， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键，注意：完全平方公式为：
， ．
【变式5-2】（2023秋•安康期末）计算： ．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式分别计算，再合并同类项即可得出结果．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．【考点题型六】因式分解
【例6-1】（2023秋•自贡期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解： 是整式乘法运算，则 不符合题意；
是单项式的变形，则 不符合题意；
的右边不是积的形式，则 不符合题意；
符合因式分解的定义，则 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
【例6-2】（2024春•港南区期末）单项式 与 的公因式是
A． B． C． D．
【分析】根据公因式的概念分别求得系数的最大公因数，相同字母的次数的最低次数即可．
【解答】解：单项式 与 的公因式是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．
【例6-3】（2023秋•乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是
A． B． C． D．
【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分别将各式分解，即可作出判断．
【解答】解： ． ，故此选项不合题意；
． 无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；． ，故此选项符合题意；
． 无法运用完全平方公式分解因式，故此选项不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键．
【例6-4】（2023秋•高青县期末）分解因式：
（1） ； （2） ．
【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【变式6-1】（2023秋•滨海新区期末）把多项式 分解因式时，应提取的公因式是
A． B． C． D．
【分析】将原式因式分解后即可求得答案．
【解答】解： ，
则把多项式 分解因式时，应提取的公因式是 ，
故选： ．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法
公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“ ”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，
然 后 再 提 取 公 因 式 就 可 以 完 成 整 个 式 子 的 因 式 分 解 了 ， 过 程 为
．此种因式分解的方法叫做
“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ．
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先分别将 与 组合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．
【 变 式 6-3 】 （ 2023 秋 • 东 城 区 期 末 ） 利 用 整 式 的 乘 法 运 算 法 则 推 导 得 出 ：
．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系
可得 ．通过观察可把 看作以 为未知数， 、
、 、 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数 与常数项 分别进行适当
的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图 1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式 的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分
解，如图2，则 ．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式： ；
（2）用十字相乘法分解因式： ；
（3）结合本题知识，分解因式： ．
【分析】（1）（2）（3）仿照题例，找到满足条件的 、 、 、 ，分解即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】本题考查了整式的因式分解，看懂题例掌握“十字相乘法”是解决本题的关键．
【考点题型七】解决不含某项问题
【例7】（23-24八年级·山东聊城·期末）已知多项式M=x2−3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式
A中不含x的2次项时，a的值为（ ）1
A．−1 B．− C．0 D．1
3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题
意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【详解】解：∵MN=(x2−3ax+6)(x+3)
=x3−3ax2+6x+3x2−9ax+18
=x3+(3−3a)x2+(6−9a)x+18
∴A=MN=x3+(3−3a)x2+(6−9a)x+18
∵多项式A中不含x的2次项时，
∴3−3a=0
∴a=1
故选D．
【变式7-1】（2023秋•楚雄州期末）如果计算 的结果不含 项，那么 的值为
A．0 B．1 C． D．
【分析】先计算单项式乘以多项式，再结合 项的系数为零即可得出答案．
【解答】解：
，
又 计算的结果不含 项，
．
．
故选： ．
【点评】本题主要考查了整式的乘法运算，熟练掌握单项式乘以多项式的法则是解题的关键．
【变式7-2】（2024春•广陵区期末）若 的结果中不含 项，则 的值为A．0 B．2 C． D．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，由题可得含 的平方的项的系数为0，求出 即
可．
【解答】解：
，
的结果中不含 项，
，
解得： ．
故选： ．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键．
【变式7-3】（2023秋•同心县校级期末）如果 展开式中不含 项，则 ．
【分析】先用多项式乘多项式法则展开，再根据不含 项得方程，求解即可．
【解答】解： ．
展开式中不含 项，
．
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
【考点题型八】解决与某个字母取值无关的问题
【例8】（23-24八年级·湖南常德·期中）知识回顾：八年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数
式ax−y+6+3x−5 y−1 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a
看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x−6 y+5
，所以a+3=0，则a=−3．
理解应用：(1)若关于x的多项式2m2−3x−m(3−5x)的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知A=(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)，B=2x2−3xy+4，且2A−6B的值与x的取值无关，求y的值．
3
【答案】(1)m=
5
2
(2)y=
3
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案；
（2）先把A进行化简，然后计算2A−6B，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案．
【详解】（1）解：2m2−3x−m(3−5x)
=2m2−3x−3m+5mx
=(5m−3)x+2m2−3m，
∵其值与x的取值无关，
∴5m−3=0，
3
解得：m= ，
5
3
即：当m= 时，多项式2m2−3x−m(3−5x)的值与x的取值无关；
5
（2）解：∵A=(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)，B=2x2−3xy+4，
∴2A−6B=2[(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)]−6(2x2−3xy+4)
=2(6x2−2x+3x−1−5x−3xy)−12x2+18xy−24
=12x2−8x−2−6xy−12x2+18xy−24
=12xy−8x−26
=4x(3 y−2)−26；
∵2A−6B的值与x无关，
2
∴3 y−2=0，即y= ．
3
【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式8】（23-24八年级·浙江金华·期末）若代数式x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)的值与y无关，
则常数k的值为（ ）
A．2 B．−2 C．−4 D．4【答案】A
【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无
关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值．
【详解】解：x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)
=5kx2−3x2y−3kx2y+4kx2+9x2y−12x2
=−3kx2y+9kx2+6x2y−12x2
=(−3k+6)x2y+9kx2−12x2
∵关于y的代数式：x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)的值与y无关，
∴−3k+6=0，
解得k=2，
即当k=2时，代数式的值与y的取值无关．
故选：A.
【考点题型九】解决污染问题
【例9】（2023秋•重庆期末）小明计算一道题： ， 的地方被钢笔水弄
污了，你认为 内应填写
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相
加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】解： ．
内应填写1，
故选： ．
【点评】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加是解答此题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：
(24x4 y3−■+6x2y2)÷(−6x2y)=−4x2y2+3xy−y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（）
1
A．−18x3y2 B．18x3y2 C．−2x3y2 D． x3y2
2
【答案】B
【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解： ( −4x2y2+3xy−y) • (−6x2y)=24x4y3−18x3y2+6x2y2，
∴■=18x3y2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键．
【变式9-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数
式被墨水污染看不清了.
（1）求被墨水污染的代数式；
（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x的取值范围.
【答案】（1）−2x−4；（2）x≤−4．
【分析】（1）根据题意，被墨水污染的代数式=(2x+5)(x－2)－(2x2+3x－6)，再结合整式的乘法法
则及加减法则解题，注意运算顺序；
（2）由（1）中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．
【详解】解：（1）由已知可得，
(2x+5)(x－2)－(2x2+3x－6)
=2x2−4x+5x−10−2x2−3x+6
=−2x−4 ；
（2）由已知可得，−2x−4≥4
−2x≥8
解得x≤−4．
【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
【变式9-3】（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若 ， ，求所捂多项式的值．
【分析】（1）设多项式为 ，则 计算即可．
（2）把 ， 代入多项式求值即可．
【解答】解：（1）设多项式为 ，
则 ．
（2） ， ，
原式 ．
【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运
算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．
【考点题型十】解决误看问题
【例10】（2023秋•浏阳市期末）小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题： ，由于小马
抄错了 的符号，得到的结果为 ；由于小虎漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为
．
（1）求出 ， 的值；
（2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果．
【分析】（1）先根据小马和小虎的计算结果，列出关于 ， 的方程，求出 ， 即可；
（2）把（1）中求出的 ， 值代入这道乘法题，利用多项式乘多项式法则进行计算即可．
【解答】解：（1） 小马抄错了 的符号，得到的结果为 ，，
，
①；
小虎漏抄了第二个多项式中 的系数，得到的结果为 ，
，
，
，
②；
② ①得： ，
把 代入②得 ，
；
（2）由（1）可知 ，
这道整式乘法题为：
．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．
【变式10】（2023秋•西平县期末）某同学在计算 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答
案是 ，由此可以推断出正确的计算结果是
A． B． C． D．
【分析】先根据题意算出这个多项式，再与 相加即可．
【解答】解：由题意知，这个多项式为 ，
正确的计算结果为 ．
故选： ．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
【考点题型十一】新定义问题
【例11】（2023秋•衡阳期末）对于整数 、 定义运算： ※ （其中 、 为常数），如
3※ ．
（1）填空：当 ， 时，2※ ；
（2）若1※ ，2※ ，求 的值．
【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可；
（2）判断出 ， ，可得结论．
【解答】解：（1）2※
，
故答案为：3；
（2） ※ ，2※ ，
， （2） ，
整理得： ， ，解得： ，
．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式11-1】（2023秋•江汉区期末）定义一种新的运算“ ”，若 ，则 ．①依定义， ；
②若 ， ， ， ，则 ．
【分析】①②根据定义的新运算列式计算即可．
【解答】解：① ，
．
故答案为：4；
②设 ， ， ，则 ， ， ，
， ， ， ，
，
，
，即 ．
【点评】本题考查的是同底数幂的乘法，理解新定义的计算方法是解题的关键．
【变式11-2】（2023秋•攸县期末）一般地，若 且 ， ，则 叫做以 为底 的对数，
记为 ，即 ．譬如： ，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即 ．根据对数
的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
； ； ．
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出 ； ；
满足的等量关系式．
（3）由（2）猜想一般性结论： 且 ， ， ，并根据幂的运算法则：
以及对数的含义证明你的猜想．
【分析】（1）根据题中给出的运算法则计算即可；（2）由（1）中的结果即可得出 ； ； 满足的等量关系式；
（3）设 ， ，则 ， ，分别表示出 ， 的值，即可得出猜想．
【解答】解：（1） ，
；
，
；
，
，
故答案为：2，4，6；
（2） ，
；
（3） ，
证明：设 ， ，
则 ， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解题思路以材料的形式给出，需要学生仔细阅读，理解并灵活运用
所给的信息．【变式11-3】（2023秋•望城区期末）规定 ，求：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．
【分析】（1）根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于 的一元一次方程，再解方
程即可．
【解答】解：（1）由题意得： ；
（2） ，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式11-4】（2023秋•鲤城区期末）规定两数 、 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
．
例如：因为 ，所以 ．根据上述规定，填空：
（1） ；
（2）若 ， ，则 的值为 ．
【分析】（1）把相应的值代入，结合幂的乘方的法则进行运算即可；
（2）结合所给的运算，结合同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1） ，
；故答案为：3；
（2） ， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：50．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【考点题型十二】规律问题
【例12】（23-24八年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进
行研究．
小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．
例如：
24×26=100×(2×3)+4×6，结果为624；
42×48=100×(4×5)+2×8，结果为2016；
小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．
例如：
45×65=100×(4×6+5)+25，结果为2925；
35×75=100×(3×7+5)+25，结果为2625；
(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63×67的速算过程；
(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；
(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字
母的等式表示该规律．
友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．【答案】(1)4221
(2)(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc，验证见解析
(3)(10x+ y)(10z+ y)=100(xz+ y)+ y2
【分析】（1）根据小明发现的速算规律对63×67进行计算即可得出答案；
（2）设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中
b+c=10，那么这两个两位数分别为10a+b，10a+c，然后将常规计算得到的结果与小明速算方法得到
的结果进行比较即可得出结论；
（3）仔细阅读小红发现的速算规律，再进行推广，并用字母表示出来即可．
【详解】（1）63×67=100×(6×7)+3×7=4200+21=4221；
（2）小明所发现的速算规律是：(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc，其中b+c=10．
验证小明的速算规律：
设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，
则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中b+c=10，
∴这两个两位数分别为：10a+b，10a+c，
常规的计算方法是：
(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc，
∵b+c=10，
∴(10a+b)(10a+c)=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc，
小明的速算方法是：
(100a+b)(10a+c)=100×a(a+1)+bc=100a(a+1)+bc，
∴小明的速算方法是正确的．
（3）小颖发现的速算规律是：(10x+ y)(10z+ y)=100(xz+ y)+ y2，其中x+z=10．
证明如下：
设其中一个两位数的十位数为x，个位数为y，
则另一个两位数的十位数为z，个位数为y，其中x+z=10，
∴这两个两位数分别为：10x+ y，10z+ y，
常规的计算方法是：
(10x+ y)(10z+ y)=100xz+10 y(x+z)+ y2
∵x+z=10，∴(10x+ y)(10z+ y)=100xz+10 y×10+ y2=100(xz+ y)+ y2．
【点睛】此题主要考查了数字变化的规律，读懂题目中的信息，理解“十位相同，个位互补”和“十位互
补，个位相同”数字的变换规律的探索过程是解答此题的关键．
【变式12-1】（23-24八年级·福建宁德·期中）下图揭示了(a+b) n（n为非负整数）的展开式的项数及各项
系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期
．
……(a+b) 1=a+b
……(a+b) 2=a2+2ab+b2
……(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
……(a+b) 4=
【答案】天（日）
【分析】本题考查了多项式乘法的展开式，能发现(a+b) n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是
从左到右(a+b) n−1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
根据514=(49+2) 4=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+14+2可知514除以7的余数为2，从而
可得答案．
【详解】解：∵(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
∴(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
∴514=(49+2) 4=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+24
=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+14+2
∴514除以7的余数为2，
∴假如今天是星期五，那么再过514天是星期天．
故答案为：天．
【变式12-2】（23-24八年级·四川成都·期中）观察：下列等式(x−1)(x+1)=x2−1，
(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…据此规律，当
(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0时，代数式x2024−2的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据
(x−1)(xn+xn−1+…+1)=xn+1−1，结合(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0，得到x7−1=0，求出
x=1，代入到代数式求值即可．
【详解】解：∵(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…
∴(x−1)(xn+xn−1+…+1)=xn+1−1，
∵(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0，
∴x7−1=0，
∴x7=1，
∴x=1，
当x=1时，x2024−2=1−2=−1，
故答案为：−1．
【变式12-3】（23-24八年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．
(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果
没有，请说明理由．
【答案】(1)7
(2)有同样的规律，证明见解析
【分析】（1）按照题目要求列式计算即可；
（2）设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，按照题中方法计算后即可得到结论．
【详解】（1）解：10×4−3×11=40−33=7，
故答案为：7；
（2）有同样的规律，
证明：设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，
则(a+1)(a+7)−a(a+8)
=a2+8a+7−a2−8a
=7．
【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键．
【考点题型十三】几何图形问题
【例13】（2023秋•乾安县期末）如图，一个小长方形的长为 ，宽为 ，把6个大小相同的小长方形
放入到大长方形内．
（1）大长方形的宽 ，长 （长和宽都用含 ， 的式子来表示）．
（2）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含 ， 的式子来表示）
（3）若 ，大长方形面积为 ，大长方形内阴影部分的面积为 ，则 ．【分析】（1）利用整式的加减即可求解；
（2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解；
（3）当 时，分别用 表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解．
【解答】解：（1）大长方形的宽 ，
长 ，
故答案为： ， ；
（2）大长方形面积为 ，
故阴影部分的面积 ；
（3）当 时， ； ；
，
故答案为： ．
【点评】此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合
并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键．
【变式13-1】（2023秋•安康期末）如图所示的是人民公园的一块长为 米．宽为 米的空地．
预计在空地上建造一个网红打卡观景台（阴影部分）．
（1）请用 、 表示观景台的面积．（结果化为最简）
（2）如果修建观景台的费用为200元 平方米．且已知 （米 ， （米 ．那么修建观景台需要费
用多少元？【分析】（1）根据面积之间的和差关系用代数式表示即可；
（2）代入进行计算即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积为：
；
所以观景台的面积为 平方米；
（2）当 ， 时，
原式
（平方米），
（元 ．
所以修建观景台需要费用为29400元．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的前提．
【变式13-2】（2023秋•宜州区期末）如图，某小区有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，
角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有 、 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化 平方米，每小时收费200元，
则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含 、 的代数式表示）
【分析】（1）直接利用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得出答案；
（2）先求出该队需要多少小时绿化完，再乘以每小时的费用即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：平方米，
答：绿化的面积是 平方米；
（2）根据题意得：
元，
答：该物业应该支付绿化队需要 元费用．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【考点题型十四】分类讨论思想
【例14】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）若 是完全平方式，则 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了完全平方公式的运用，根据完全平方公式 即可求解，掌握完全
平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：
∴
∴ ，
解得， 或 ，
故答案为： 或
x
【变式】[2024杭州滨江区模拟]若 x2－4 xy － y2＝0( y ＞0)，则 ＝
y【答案】2＋ ❑√5 或2－ ❑√5
【考点题 型 十五】 数 形结合思想
【例15-1】（2023秋•临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为 的大正方形有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所
示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
．
．
．
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知 ， ，则 ．
②计算： ．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将 ，再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为 即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 ，
图2中的阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
所以有 ，
故答案为： ；（2）① ，
，
又 ，
，
即 ，
故答案为：4；
② ，
，
，
原式 ．
【点评】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的
前提．
【例15-2】（2023秋•晋江市期末）【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：
（1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：
；【问题解决】
（2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为 的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？
试通过计算说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，在一个棱长为 的正方体中挖出一个棱长为 的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接
写出 因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知 与 分别是两个大小不同正方体的棱长，且
，当 为整数时，求 的值．
【分析】（1）图2从整体上看是长为 ，宽为 ，高为 的长方体，体积为 ，即
也可以看作是一个长 ，宽为 ，高为 的长方体与棱长为 的正方体组成的，因此总体积为 ，
即 ，可得代数恒等式；
（2）计算出棱长为 的正方体的体积，根据②号长方体和③号长方体的体积，即可得到需要几个②号
长方体和③号长方体；
（3）在一个棱长为 的正方体中挖出一个棱长为 的正方体，剩下部分的体积为两个正方体的体积的差，
即 ，从组成看，把几何体分割成三块，分别求出体积，整理后即可求得 因式分解的结果，然
后根据相应公式展开 ，经过推理，求值即可．
【解答】解：（1）从整体看大长方体的体积为： ，
从组成看大长方体的体积为： ，
，
故答案为： ；
（2） ，②号长方体的体积是 ，③号长方体的体积是 ，
②号长方体需要6个，③号长方体需要12个；
（3）从整体看几何体的体积为： ，
将图3几何体分割成三个部分的体积和，即 ，
，
．
，
，
，
．
为整数， 与 分别是两个大小不同正方体的棱长，
为正整数，
为正整数，并且为某个整数的平方．
．
．
．
【点评】本题考查了因式分解的应用．根据几何图形整体与组成得到相应的等式是常用的数形结合解题思
想．
【变式15-1】 [2023北京石景山区期末]著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到
“数缺形时少直观，形少数时难入微”.如图是由四个长为 a ，宽为 b 的长方形拼成的正方形，其中 a ＞
b ＞0.根据图形写出一个正确的等式，可以表示为.
【答案】( a ＋ b )2－4 ab ＝( a －b )2(答案不唯一)
【变式15-2】（2023秋•潮安区期末）请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的 ， 满足 ， ．
求：① 的值；
② 的值．
【分析】（1）两个阴影图形的面积和可表示为： ， ；
（2） ；
（3）① 由已知可得： ，再结合 、 的范围即可求解；②
，再结合 、 的范围即可．
【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为： ， ，
（2） ，
（3）① ， ，，
，
又 ， ，
．
②
又 ，
．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，由面积的关系结合平方差公式解题是关键．
【变式15-3】（2023秋•昌吉州期末）如图（1），大正方形的面积可以表示为 ，同时大正方形的
面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 ．同一图形（大正方形）
的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： ．
把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”
的方法称为“面积法”．
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个等式： ．
（2）如图（3）， 中， ， ， ， ， 是斜边 边上的高．用上述“面积法”求 的长；
（3）如图（4），等腰 中， ，点 为底边 上任意一点， ， ，
，垂足分别为点 ， ， ，连接 ，用上述“面积法”求证： ．
【分析】（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即 ，同时大长方
形的面积也可以为 ，列出等量关系即可；
（2）根据 ，代入数值解之即可；
（3）由 和三角形面积公式即可得证．
【解答】解：（1）如图（2），大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即 ，
同时大长方形的面积也可以为 ，
所以 ；
故答案为： ；
（2）如图（3）， 中， ， ， ， ，
，
；
答： 的长为 ；
（3）证明：如图（4），
， ， ，垂足分别为点 ， ， ，
，
，
，
．
即 ．【点评】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已
知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
【变式15-4】（2023秋•梁山县期末）数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，
可以帮助解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图 ；图 ；图 ．
其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题．在图 4中，
已知 ， ，求 的值．
解： ， ，
又 ， ，
．即 ．
类比迁移：
（2）若 ，则 ；
（3）如图5，点 是线段 上的一点，以 ， 为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积
和 ，阴影部分面积为 ．
【分析】（1）根据各个图形中各个部分面积之间的关系进行解答即可；
（ 2 ） 设 ， ， 得 到 ， ， 利 用代入计算即可；
（ 3 ） 设 ， ， 根 据 题 意 可 知 ， ， 由
，求出 的值即可．
【解答】解：（1）图1大正方形的边长为 ，因此面积为 ，图1也可以看作4个部分的面积和，
即 ，因此有 ；
图2中阴影部分是边长为 的正方形，因此面积为 ，阴影部分也可以看作边长为 的正方形减去
“空白部分”的面积，即 ，因此有 ；
图3左图中阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，图3右图阴影部分可以
看作两个正方形的面积差，即 ，因此有 ；
故答案为： ， ， ；
（2）设 ， ，则 ， ，
所以
，
故答案为：28；
（3）设 ， ，则 ， ，
所以 ，
即 ，阴影部分的面积为 ，
故答案为：12．
【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是
正确解答的关键．
【考点题型十六】整体思想
【例16】（2024春•桃源县期末）阅读下列材料
若 满足 ，求 的值．
设 ， ，则 ， ，
．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 满足 ，求 的值；
（2）已知正方形 的边长为 ， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，长方形
的面积是48，分别以 、 为边作正方形．
① ， ；（用含 的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【分析】（1）设 ， ，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形 边长为 ，即可表示出 与 ；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【解答】解：（1）设 ， ，则 ， ，
；
（2）① ， ，故答案为： ； ；
② ，
阴影部分的面积 ．
设 ， ，则 ， ，
，
，
又 ，
，
．
即阴影部分的面积是28．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；
主要围绕图形面积展开分析．
【变式16-1】 [2024北京海淀区一模]已知2 x2＋x－1＝0，求代数式(2 x＋1)2－2( x －3)的值.
【解】(2 x ＋1)2－2( x －3)＝4 x2＋4 x ＋1－2 x ＋6＝4 x2＋2 x ＋7.
∵2 x2＋ x －1＝0，∴2 x2＋ x ＝1.
∴4 x2＋2 x ＝2(2 x2＋ x )＝2.
∴原式＝2＋7＝9.
【变式16-2】（2023秋•谢家集区期末）将边长为 的小正方形 和边长为 的大正方形 按如
图所示放置，其中点 在边 上．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）连接 ， ，若 ， ，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据平方差公式代入计算即可；
（2）用代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式的结构特征进行计算即可．
【解答】解：（1） ，即 ，而 ，
，
答： 的值为2；
（2）由题意得，
当 ， 时，
原式
，
答：阴影部分的面积是11．
【点评】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的
前提．
