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2022-2023 学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
14.3.1 提公因式法
题型导航
题型1
判断是否是因式分解
提 题型2
已知因式分解的结果求参数
公
因
题型3
公因式
式
法
题型4
提公因式法分解因式
题型变式
【题型1】判定是否是因式分解
1．（2022·贵州·贵阳市乌当区新天学校九年级阶段练习）下列由左边到右边的变形，（ ）是分解因式．
A．a(x+1)=ax-a B．
C．2x-2=2(x-1) D．
【答案】C
【分析】根据分解因式就是把一个多项式转化为几个整式的积的形式逐项判断即可．
【详解】 ，是整式乘法，且原运算错误，故A不符合题意；，是整式乘法，故B不符合题意；
2x-2=2(x-1)，属于把一个多项式转化为几个整式的积的形式，是分解因式，故C符合题意；
，故因式分解不彻底，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查判断分解因式．掌握分解因式的定义是解题关键．
【变式1-1】
2．（2021·浙江·七年级期末）下列各式从左到右是因式分解的是_______．
① ； ② ；
③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ．
【答案】③④⑥
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，判断求解．
【详解】解：① 是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；
② 右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
③ 是因式分解，故符合题意；
④ 是因式分解，故符合题意；
⑤ 等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；
⑥ 是因式分解，故符合题意；
故答案为：③④⑥．
【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【题型2】已知因式分解的结果求参数
1．（2021·黑龙江·肇源县第五中学八年级期中）若 ，则m+n等于（ ）
A．21 B．-28 C．1 D．2
【答案】B
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值．
【详解】解：已知等式整理得： ，
∴n+3=-4，m=3n，
解得：m=-21，n=-7，
则m+n=-21-7=-28，
故选：B
【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
【变式2-1】
2．（2021·河北·石家庄市藁城区尚西中学八年级阶段练习）把多项式 因式分解得(x+3)(x+2)，则
m＝_____．
【答案】5
【分析】把（x+3）（x+2）展开，利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【详解】解：∵ ＝（x+3）（x+2）＝ ，
∴m＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【题型3】公因式
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校七年级期中）多项式-6ab²+24a²b²-12a³b²c的公因式是（ ）
A．-6ab²c B．-ab² C．-6ab² D．-6a³b²c【答案】C
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【详解】解：系数的最大公约数是-6，相同字母的最低指数次幂是ab2，
∴公因式为-6ab2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·江苏·南师附中新城初中黄山路分校七年级期中）多项式 的公因式是______．
【答案】
【分析】根据“公因式的系数为各项系数的最大公约数，各项相同字母的最低次幂是公因式的因式”求出
公因式的即可．
【详解】解：∵各项系数6、3的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y,x的最低指数是2，y的最低
指数是2，
∴该多项式的公因式为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查公因式，掌握公因式的确定方法是解决问题的关键．
【题型4】提公因式法分解因式
1．（2022·湖南邵阳·七年级期末）把多项式 分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接找出公因式m，提公因式即可分解．
【详解】解：m2﹣9m＝m（m﹣9）．
故选：A．
【点睛】本题考查提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．【变式4-1】
2．（2022·河南·郑州枫杨外国语学校八年级阶段练习）因式分解： _____．
【答案】
【分析】将（a-b）看作一个整体，用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，将（a-b）看作一个整体，进行提公因式，是解题的关键．
专项训练
一．选择题
1．（2021·福建省泉州市培元中学八年级期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式
分解，判断求解即可．
【详解】解：A、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
B、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本项错误，不符合题意；
D、是因式分解，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积
的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2．（2019·全国·八年级专题练习）若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式
是( )
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1 C．3y－4x＋1 D．3y－4x
【答案】B
【详解】因为多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2,则另一个因式等于
(－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2) ÷(－4x2y2)=3y－4x－1,故选B.
3．（2021·全国·八年级课时练习）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式．
【详解】解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．4．（2022·海南鑫源高级中学八年级期末）已知a-b=2，a=3，则 等于（ ）
A．1 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】将原式因式分解可得： ，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵ ，a-b=2，a=3，
∴原式 ，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解以及代数式求值，掌握提公因式法因式分解和整体代入思想的应用是解题的关
键．
5．（2022·广东·佛山市南海区听音湖实验学校八年级期中）对于① ，②
，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即
可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】解：① ，从左到右的变形是整式的乘法；② ，从左到右
的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
6．（2022·河北·卢龙县教育和体育局教研室七年级期末）已知a、b、c是 的三条边，且满足
，则 是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C【分析】已知等式左边分解因式后，利用两因式相乘积为0则两因式中至少有一个为0，得到a=b，即可确
定出三角形形状．
【详解】已知等式变形得：（a+b）（a－b）－c（a－b）=0，
即（a－b）（a+b－c）=0，
∵a+b－c≠0，
∴a－b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选C．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二、填空题
7．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）因式分解： ______．
【答案】
【分析】提取公因式 即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用提公因式分解因式，掌握“公因式的确定”是解本题的关键．
8．（2021·全国·八年级专题练习）计算： ________．
【答案】-31.4
【分析】运用提公因式法计算即可
【详解】解：
故答案为：-31.4
【点睛】本题考查了提公因式法进行简便运算，熟练掌握法则是解决此题的关键
9．（2018·山东潍坊·中考真题）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．
【答案】（x+2）（x﹣1）
【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．
【详解】解：（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)
=（x+2）（x﹣1），
故答案为（x+2）（x﹣1）．
【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从
而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
10．（2022·全国·九年级专题练习）已知 ，则 的值是_____________．
【答案】1
【分析】代数式 可化成2m(2m-5n)+5n，将 代入即可得解．
【详解】解：∵2m-5n=-1，
∴
=2m(2m-5n)+5n
=-2m+5n
=1．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了代数式的求值，解题的关键是整体代入．
11．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）5(m－n)4-(n-m)5可以写成________与________的乘积．
【答案】 (m-n)4， （5+m-n）
【详解】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）.
故答案为(m-n)4，（5+m-n）.
三、解答题
12．（2021·全国·八年级课时练习）分解因式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】直接提取公因式法逐一分解即可．
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键．
13．（2022·山东枣庄·八年级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，则 ，
即 ，
∴ ，解得 ．
故另一个因式为 ，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．【答案】另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【分析】设另一个因式为（x＋p），则 ，可得p−5＝3，−5p＝
−k，求出p和k的值即可．
【详解】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得： ，
即 ，
则有 ，
解得 ，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整
式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
14．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）先化简再求值： ，其中
．
【答案】 ，1
【分析】先提出公因式，原式变形为 然后把 代入，即可求解．
【详解】解：
当 时，
原式= ．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用多项式的因式分解进行计算是解题的关键．15．（2022·江苏宿迁·七年级期中）已知 ， ，求下列各式的值
(1)
(2)
【答案】(1)60
(2)13
【分析】（1）先提公因式 ，然后将式子的值代入即可求解；
（2）根据完全平方公式变形求值， ，然后将式子的值代入即可求解；
（1）
解：
当 ， 时，原式
（2）
解：∵
又∵ ，
∴
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，整体代入是解题的关键．
16．（2022·河北唐山·七年级期末）阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．
反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成
两项或多项（拆项）．
例：分解因式： ＋4x＋3
解：原式＝ ＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，＝（ ＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式： ＋5x＋6
【答案】（x＋2）（x＋3）
【分析】根据题意中的分解因式的方法求解即可．
【详解】解：原式= ＋2x＋3x＋6
．
【点睛】题目主要考查多项式乘法及因式分解，理解题中分解因式的方法是解题关键．
17．（2019·全国·八年级专题练习）利用因式分解进行计算：
(1)2003×99－27×11；
(2)13.7× ＋19.8× －2.5× .
【答案】(1)198000；(2)17.
【分析】（1）根据提公因式法可以解答本题；
（2）根据提公因式法可以解答本题．
【详解】（1）原式=2003×99－3×99=99×(2003－3)=99×2000=198000；
（2）原式= ×(13.7＋19.8－2.5)= ×31=17．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．
18．（2022·湖南永州·七年级期末）问题：已知多项式 含有因式 和 ，求 、
的值．
解答：设 （其中 为整式），
∴取 ，得 ，①
∴取 ，得 ，②由①、②解得 ， ．
根据以上阅读材料解决下列问题：
(1)若多项式 含有因式 ，求实数 的值；
(2)若多项式 含有因式 ，求实数 、 的值；
(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余
数．请求出多项式 除以一次因式 的余数．
【答案】(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）设 ，其中 为整式，取 可得一个关于 的方程，解方程即可得；
（2）设 ，其中 为整式，分别取 和 可得一个
关于 的方程组，解方程组即可得；
（3）设 ，其中 是一个非负的常数， 为整式，取 可得一个关于 的方
程，解方程即可得．
（1）
解：设 ，其中 为整式，
取 ，得 ，
解得 ．
（2）
解：设 ，其中 为整式，
取 ，得 ①，
取 ，得 ②，
由①、②解得 ．（3）
解：由题意，设 ，其中 是一个非负的常数， 为整式，
取 ，得 ，即 ，
解得 ，
故多项式 除以一次因式 的余数为4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是
解题关键．
