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专题 14.4 因式分解【十大题型】
【人教版】
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】..................................................................................................................2
【题型2 利用因式分解求值】..................................................................................................................................3
【题型3 利用因式分解进行简便运算】..................................................................................................................3
【题型4 利用因式分解解决整除问题】..................................................................................................................4
【题型6 因式分解的实际应用】..............................................................................................................................5
【题型7 利用整体思想进行因式分解】..................................................................................................................6
【题型8 因式分解中的新定义问题】......................................................................................................................8
【题型9 利用添项进行因式分解】..........................................................................................................................9
【题型10 利用拆项进行因式分解】..........................................................................................................................9
知识点1：因式分解
1．因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把
这个多项式分解因式．
（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；
（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；
（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；
（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式
乘法是一种运算．
2．用提公因式法分解因式
（1）公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．
（2）怎样确定公因式（五看）：
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；
二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；
三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；
四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；
五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．（3）提公因式法的定义：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因
式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（4）提公因式法分解因式的一般步骤：
①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；
②提公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．
（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．
（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．
3．用平方差公式分解因式
（1）平方差公式的等号两边互换位置，得
语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
（2）特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．
4．用完全平方公式分解因式
（1）完全平方公式的等号两边互换位置，得
，
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
（2）特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号
相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．
②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和
的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．
（3）公式法的定义：
如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项
式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
【题型1 整式乘法与因式分解的关系】
【例1】（23-24八年级·全国·单元测试）已知x+3是kx2+x+12的一个因式，则k= ．
【变式1-1】（23-24·安徽马鞍山·八年级期末）若多项式x2−2x+2k因式分解后结果是(x+2)(x+k)，则k
的值是 ．【变式1-2】（23-24八年级·上海长宁·期中）已知多项式x2+ax−2可分解为两个整系数的一次因式的积，
则a= ..
【变式1-3】（23-24八年级·广西贵港·期中）在将x2+mx+n因式分解时，小刚看错了m的值，分解得
(x−1)(x+6)；小芳看错了n的值，分解得(x−2)(x+1)，那么原式x2+mx+n正确分解为 .
【题型2 利用因式分解求值】
【例2】（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）已知x2−2x−5=0，d=x4−2x3+x2−12x−6，则d的值
为（ ）
A．9 B．14 C．19 D．24
【变式2-1】（23-24八年级·广西贵港·期中）已知a−b=5，b−c=−6，则代数式a2−ac−b(a−c)的值
为（ ）
A．−30 B．30 C．−5 D．−6
【变式2-2】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）若关于x，y的二元二次式x2+7xy−18 y2−5x+my−24可
以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ．
652×11−352×11
【变式2-3】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）若 的结果为整数，则整数n的值不可
n
能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【题型3 利用因式分解进行简便运算】
1 1 1 1
【例3】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）(1− )(1− )......(1− )(1− )= ．
22 32 19992 20002
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解计算：
(1)76×20.22+43×20.22−19×20.22；
(2)3.14×8.752−3.14×7.752；
(3)50×9.52−100×9.5×7.5+50×7.52．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）计算：102−92+82−72+…+22−12= ．
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）利用因式分解简便计算：
1
(1)23.7×0.125+76.3× ；
8
(2)49×19.99+52×19.99−19.99．
【题型4 利用因式分解解决整除问题】
【例4】（23-24八年级·浙江宁波·期末）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式x3−2x2−7x+2进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式x+2，小轩认为必有因式是x−2，两人
找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则
B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
x2−4x+1
¿
−4x2−7x+2
x+2 −4x2−8x
x+2
x+2
0
¿
x2−7
x−2
¿
¿
(1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的；
(2)已知多项式x3−6x2+7x+6的其中一个因式为x−3，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项
式x3−6x2+7x+6进行因式分解；
(3)若多项式x3−3x2+mx+n能因式分解成x+1与另一个完全平方式，求m与n的值．
【变式4-1】（23-24八年级·全国·课后作业）若n为任意整数，如果 的值总能被4整除，则整
(n+2) 2−kn2
数k不能取（ ）
A．−3 B．1 C．2 D．5
【变式4-2】（23-24八年级·全国·竞赛）已知：4a−b是11的倍数，其中a，b是整数，求证：
40a2+2ab−3b2能被121整除．
【变式4-3】（23-24八年级·上海·假期作业）试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，
则得到的新数与原数之差能被11整除．
【题型5 利用因式分解确定三角形的形状】
【例5】（23-24八年级·全国·课后作业）已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足
a+bc+b+ca=24，则这样的三角形共有 个．
【变式5-1】（23-24八年级·全国·单元测试）a,b,c为三角形三边长，a2+ac−b2−bc=0，则该三角形形
状为 .
【变式5-2】（23-24八年级·贵州黔西·期中）若三角形的三边长分别为a、b、c，满足
a2b−a2c+b2c−b3=0，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）若△ABC的三边a、b、c满足−c2+a2+2ab−2bc=0，则这
个三角形是 ．
【题型6 因式分解的实际应用】
【例6】（23-24八年级·浙江宁波·期末）学校举行运动会，由若干名同学组成一个长方形队列．如果原队
列中增加54人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少74人，也能组成一个正方形队列．问原长
方形队列有多少名同学？
【变式6-1】（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边
长为4cm，边框每条边的宽度为acm，则制作边框的面积是（ ）（不计接缝）
A． B．
(4a2+16a)cm2 16acm2
C． D．
4a2cm2 (a2+8a)cm2
【变式6-2】（23-24·浙江湖州·八年级期末）龙龙设计了一个翻牌游戏：现有对应着编号为1−150的150
张数字牌，牌分为“正面”和“反面”两种状态，每翻一次改变相对应数字牌的状态，所有牌的初始状态
为“反面”．第1次把所有编号是1的整数倍的数字牌翻一次，第2次把所有编号是2的整数倍的数字牌
翻一次，第3次把所有编号是3的整数倍的数字牌翻一次，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第150次把所有编号是150的整数
倍的数字牌翻一次．问最终状态为“正面”的数字牌共有（ ）
A．9张 B．10张 C．11张 D．12张
【变式6-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）根据素材，完成任务．
利用现有木板制作长方体木箱问题
素
材 如图长方体木箱的长、宽、高分别是3a厘米、2a厘米、b厘米．
1
素 现有甲、乙、丙三块木板，甲块木板锯成两块刚好能做箱底和一个长侧面，乙木板
材 锯成两块刚好能做一个长侧面和一个短侧面，丙块木板锯成两块刚好能做成箱盖和
2 剩下的一个短侧面（厚度忽略不计）．
问题解决任
务 请用含a，b的代数式表示这三块木板的面积．
1
任
若长方体长侧面周长和短侧面周长差为3厘米，长侧面周长和短侧面周长之和为23厘米，则甲、
务
乙、丙三块木板的面积和是多少？
2
任
务 若甲木板面积是乙木板面积的3倍，求箱子侧面积与表面积的比值．
3
【题型7 利用整体思想进行因式分解】
【例7】（23-24八年级·江西九江·期末）先阅读材料，再回答问题：
分解因式： ．
(a−b) 2−2(a−b)+1
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式 ，再将 还原，得到：
a−b a−b=M =M2−2M+1=(M−1) 2 a−b=M
原式 ．
=(a−b−1) 2
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：
(1)因式分解： _______．
9+6(x+ y)+(x+ y) 2=
(2)因式分解：x2−2xy+ y2−z2=_______．
(3)若 为正整数，则 的值为某一个正整数的平方．请说明理由．
n (n+1)(n+4)(n2+5n)+4
【变式7-1】（23-24八年级·山东菏泽·期末）阅读材料A：利用完全平方公式 ，可以
(a±b) 2=a2±2ab+b2
解决很多的数学问题．
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴ ，
(a+b) 2=a2+b2+2ab=9
即：a2+b2+2=9．∴a2+b2=7．
阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不
仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把
这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式 进
(x2−2x−1)(x2−2x+3)+4行因式分解的过程．
解：令x2−2x= y，
原式=(y−1)(y+3)+4（第一步）
= y2+2y+1（第二步）
（第三步）
=(y+1) 2
（第四步）
=(x2−2x+1) 2
(1)请根据材料A，解答问题：若x−y=4，x2+ y2=40，求xy的值；
(2)请根据材料B，解答问题：
①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______；
②因式分解： ．
(x+ y) 2+2(x+ y)+1
(3)综合运用：
若实数x满足 ，求 的值．
(2023−x) 2+(x−2024) 2=50 (2023−x)(x−2024)
【变式7-2】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）小福同学在课后探究学习中遇到题目：分解因式：
x(x+1)(x+2)(x+3)+1．小福同学经过几次尝试后发现如下做法：
因式分解：x(x+1)(x+2)(x+3)+1
解：原式
=[x(x+3))[(x+1)(x+2))+1
=(x2+3x)(x2+3x+2)+1
设x2+3x=M
∴原式=M(M+2)+1
=M2+2M+1
=(M+1) 2
=(x2+3x+1) 2
小福和组内同学分享学习心得时总结：
当有四个一次式连续相乘时，我选择了每两个一次式分别乘积；经过我多次尝试，我发现选择哪两个一次
式相乘也很重要，我最后选择了“常数之和相等”的分组相乘方式，之后在乘积中有整体出现，选择了换
元完成分解．另外，我发现在划横线那个步骤时，有时也会选择“常数乘积相等”的分组相乘方式．
小福同学分享了解题方法和学习心得之后很多同学有了自己的思考和理解，纷纷跃跃欲试
请你结合自己的思考和理解完成下列变式训练：
(1)分解因式：(x−1)(x+1)(x+2)(x+4)+9；
(2)分解因式：(x−6)(x−2)(x+1)(x+3)+9x2．
【变式7-3】（23-24八年级·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项
式 进行因式分解的解题思路：将“ ”看成一个整体，令 ，则原
(a2+2a)(a2+2a+2)+1 a2+2a a2+2a=x
式 ．再将“x”还原为“ ”即可．解题过程如下：
=x(x+2)+1=x2+2x+1=(x+1) 2 a2+2a
解：设a2+2a=x，则原式=x(x+2)+1（第一步）
=x2+2x+1（第二步）
（第三步）
=(x+1) 2
（第四步）．
=(a2+2a+1) 2
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解；
(a2−4a)(a2−4a+8)+16
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
(1−2−3−⋯−2023)×(2+3+⋯+2024)−(1−2−3−⋯−2024)×(2+3+⋯+2023)．
【题型8 因式分解中的新定义问题】
【例8】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）对于正整数m，若m=pq（p≥q>0，且p,q为整数），当
q
p−q最小时，则称pq为m的“最佳分解”，并规定f (m)= 如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中
p
3
4×3，为12的最佳分解，则f (12)= ．若关于正整数n的代数式f (n2+3n)也有同样的最佳分解，则下列
4
结果不可能的是（ ）
1 1 2
A．1 B． C． D．
2 4 3
【变式8-1】（23-24八年级·四川成都·期末）定义：任意两个数a，b，按规则c=a+b−ab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”，若a＝2，b=x2−2x+2，比较b，c的大小：b c．
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期末）设m、n是实数，定义一种新运算： ．下面
m⊗n=(m−n) 2
四个推断正确的是（ ）
A． B．
m⊗n=n⊗m (m⊗n) 2=m2 ⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p) D．m⊗(n−p)=(m⊗n)−(m⊗p)
【变式8-3】（23-24·河北石家庄·八年级期末）每个人都拥有一个快乐数字，我们把自己出生的年份减去
组成这个年份的数字之和，所得的差就是我们自己的快乐数字．比如我国著名的数学家华罗庚出生于1910
年，他的快乐数字是1910−(1+9+1+0)=1899．
(1)某人出生于1949年，他的快乐数字是______；
(2)你再举几个例子并观察，这些快乐数字都能被______整除，请你用所学知识说明你的猜想．
(3)请你重新对快乐数字定义，并写出一个你找到的规律（直接写出结果，不用证明）．
【题型9 利用添项进行因式分解】
【例9】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：a4+a2b2+b4．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）(1)4x4+1；
(2)x4+x2+1．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南怀化·期中）运用添项法分解因式：x2+2ax−8a2分解因式．
【变式9-3】（23-24八年级·陕西榆林·期末）运用添项法分解因式：
(1)4x4+ y4；
(2)a2−4am−n2+4mn．
【题型10 利用拆项进行因式分解】
【例10】（23-24八年级·全国·专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用
公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
如： ．
x2−2xy+ y2−4=(x2−2xy+ y2)−4=(x−y) 2−22=(x−y−2)(x−y+2)
②拆项法：
如： ．
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1) 2−22=(x+1−2)(x+1+2)=(x−1)(x+3)
(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：
①用分组分解法x2−6x−y2+9；②用拆项法x4−5x2+4；
(2)已知a、b、c为ΔABC的三条边，a2+8b2+c2−4ab−12b−8c+25=0，求△ABC的周长．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江宁波·阶段练习）运用拆项法因式分解：x3−8x+7；
【变式10-2】（23-24八年级·全国·专题练习）利用拆项法分解因式：x2−6x−7．
【变式10-3】利用拆项法分解因式：
(1)x2+9x−10；
(2)−2x2−5x+6；
(3)．
