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1．(2019·烟台模拟)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ、Ⅲ象限内有平行于y轴，电
场强度大小相同、方向相反的匀强电场，在第Ⅳ象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场．一质
量为m，电荷量为q的带电粒子，从y轴上的M(0，d)点，以大小为
v0
的速度沿x轴正方向射
入电场，通过电场后从x轴的N点进入第Ⅳ象限内，又经过磁场垂直y轴进入第Ⅲ象限，最终
粒子从x轴上的P点离开．不计粒子所受到的重力．求：
(1)匀强电场的电场强度E和磁场的磁感应强度B的大小；
(2)粒子运动到P点的速度大小；
(3)粒子从M点运动到P点所用的时间．
解析：(1)粒子运动轨迹如图所示．
设粒子在第Ⅰ象限内运动的时间为t
1
，粒子在N点时速度大小为
v1
，方向与x轴正方向
间的夹角为θ，则：
x＝ v0 t 1 ＝d
y＝at＝d
qE＝ma，tan θ＝＝
＝
v1
联立以上各式得：θ＝，
v1
＝2v0 ，E＝.
粒子在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：qv1 B＝m
由几何关系得：R＝＝d
联立并代入数据解得：B＝.
(2)粒子由M点到P点的过程，由动能定理得：
qEd＋qE(R＋Rcos θ)＝mv －mv
代入(1)中所求数据解得： vP ＝ v0 .(3)粒子在第Ⅰ象限内运动时间：t＝＝
1
粒子在第Ⅳ象限内运动周期：T＝＝
t＝T＝
2
粒子在第Ⅲ象限内运动时有：R＋Rcos θ＝at
解得：t＝
3
粒子从M点运动到P点的时间：
t＝t＋t＋t＝.
1 2 3
答案：(1) (2)v0
(3)
2. 如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分
别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL
为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间
距为1.8h，质量为m、带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之
间做圆周运动，重力加速度为g.
(1)求电场强度的大小和方向；
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值；
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值．
解析：(1)设电场强度大小为E
由题意可知mg＝qE
得E＝，方向竖直向上．
(2)如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为
vmin
，对应的粒子在上、下区
域的运动半径分别为r 和r，圆心的连线与NS的夹角为φ.
1 2
由r＝，有r＝，
1
r＝＝r
2 1
由(r＋r)sin φ＝r，r＋rcos φ＝h
1 2 2 1 1
联立各式解得
vmin
＝(9－6).甲 乙
(3)如图乙所示，设粒子入射速度为
v
，粒子在上、下方区域的运动半径分别为r
1
和r
2
，粒
子第一次通过KL时距离K点为x.
由题意有3nx＝1.8h(n＝1，2，3，…)
x≥，x＝
得r＝，n<3.5
1
即n＝1时，
v
＝；n＝2时，
v
＝；n＝3时，
v
＝.
答案：(1) 方向竖直向上 (2)(9－6)
(3)
3．如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场．取垂直于纸面
向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．t＝0时刻，一质量为m、带
电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以初速度
v0
由Q板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且
平行于板面的方向射入磁场区．当B 和T 取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经Δt
0 B
时间恰能垂直打在P板上(不考虑粒子反弹)．上述m、q、d、
v0
为已知量．
(1)若Δt＝T ，求B；
B 0
(2)若Δt＝T ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
B
(3)若B＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求T .
0 B
解析：(1)设粒子做圆周运动的半径为R
1
，洛伦兹力提供向心力，则有qv0 B
0
＝①
据题意由几何关系得R＝d ②
1
联立①②式得B＝. ③
0
(2)设粒子做圆周运动的半径为R，加速度大小为a，由圆周运动公式得a＝④
2
据题意由几何关系得3R＝d ⑤
2
联立④⑤式得a＝. ⑥
(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，由圆周运动公式得T＝⑦由牛顿第二定律得qv0 B
0
＝ ⑧
由题意知B＝，代入⑧式得d＝4R ⑨
0
粒子运动轨迹如图所示，O、O 为圆心，OO 连线与水平方向的夹角为θ，在每个T 内，
1 2 1 2 B
只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，且要求0<θ<，由题意可知
T＝ ⑩
设经历完整T 的个数为n(n＝0，1，2，3…)
B
若在A点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2(R＋Rsin θ)n＝d ○
当n＝0时，无解 ○
当n＝1时，联立⑨○式得
θ＝(或sin θ＝) ○
联立⑦⑨⑩○式得T ＝ ○
B
当n≥2时，不满足0<θ<90°的要求 ○
若在B点击中P板，据题意由几何关系得
R＋2Rsin θ＋2(R＋Rsin θ)n＝d ○
当n＝0时，无解 ○
当n＝1时，联立⑨○式得
θ＝arcsin (或sin θ＝) ○
联立⑦⑨⑩○式得
T ＝ ○
B
当n≥2时，不满足0<θ<90°的要求．
答案：(1) (2)
(3)或
