文档内容
14.4 因式分解综合
【考点1: 因式分解的定义】
【考点2:公因式】
【考点3:提公因式】
【考点4: 因式分解-平方差】
【考点5: 因式分解-完全平方】
【考点6：提公因式与公式法综合】
【考点7：十字相乘法】
知识点1：因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差
的形式．
【考点1: 因式分解的定义】
【典例1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（ ）
A．(3−x)(3+x)=9−x2 B．x2−2x+3=x(x−2)+3
C．2x−8=2(x−4) D．18x2y=2x⋅3x⋅3 y
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误；
C．2x−8=2(x−4)，是因式分解，故本选项正确；
D．18x2y是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误．
故选：C．
【变式1-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a(x−y)=ax−ay B．a2−b2=(a+b)(a−b)
C．x2+2x+1=x(x+2)+1 D．(x+1)(x+3)=x2+4x+3
【答案】B
【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积
的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项
判断，即可解题．
【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
B、符合因式分解的定义，符合题意；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x(x+1)=x2+x B．x2+xy−3=x(x+ y)−3
C．x2+6x+4=(x+3) 2−5 D．x2+2x+1=(x+1) 2
【答案】D
【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判
断即可．
【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式1-3】下列变形是因式分解的是（ ）A．a2−4+3a=(a−2)(a+2)+3a B．x2+4x+4=(x+2) 2
( 1)
C．x+1=x 1+ D．(x+1)(x−1)=x2−1
x
【答案】B
【分析】此题主要考查了因式分解的定义以及整式的乘法运算，正确掌握相关定义是解题关键．直接
利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断即可得出答案．
【详解】解：A、a2−4+3a=(a−2)(a+2)+3a，右边不是几个因式乘积的形式，因此由左到右的变
形中，不是因式分解，故A不符合题意；
B、x2+4x+4=(x+2) 2，是因式分解，故B符合题意；
( 1)
C、x+1=x 1+ ，右边不是整式，不是因式分解，故C不符合题意；
x
D、(x+1)(x−1)=x2−1，是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意．
故选：B．
知识点2：公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
【考点2:公因式】
【典例2】将多项式−6ab2+18a2b2−12a3b2c分解因式，应提取的公因式是 ．【答案】−6ab2
【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的
公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两
个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指
数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此
即可获得答案．
【详解】解：−6ab2+18a2b2−12a3b2c=−6ab2(1−3a+2a2c)，
所以，将多项式−6ab2+18a2b2−12a3b2c分解因式，应提取的公因式是−6ab2．
故答案为：−6ab2．
【变式2-1】多项式8a3b2−4a2bc的公因式是： ．
【答案】4a2b/4ba2
【分析】本题考查了公因式，解题的关键是正确理解公因式的定义，本题属于基础题型．根据公因式
的定义即可找出该多项式的公因式．
【详解】解：原式=8a3b2−4a2bc=4a2b(2ab−c)；
故答案为：4a2b．
【变式2-2】把4x3y2z−6x y2z3+12x y3z2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．4x2y2z B．2x y2z C．6xy D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因
式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次
数最低的．根据找公因式的方法解题即可．
【详解】解：4x3y2z−6x y2z3+12x y3z2
=2x y2z(2x2−3z2+6 yz)，
∴4x3y2z−6x y2z3+12x y3z2的公因式是2x y2z；
故选：B．
【变式2-3】多项式−8x2y3z+12x y2z3−24x3yz2的公因式是（ ）
A．−xyz B．−4x3y3z3 C．4xyz D．−x3y3z3
【答案】C【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取
各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可．
【详解】解：多项式−8x2y3z+12x y2z3−24x3yz2的公因式是4xyz，
故选：C．
知识点3：提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏
项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
【考点3:提公因式】
【典例3】分解因式：
(1)a²x²−ax
(2)−14abc−7ab+49ab2c
【答案】(1)ax(ax−1)
(2)−7ab(2c+1−7bc)
【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提公因式分解因式即可；
（2）直接提公因式分解因式即可．
【详解】（1）a²x²−ax=ax(ax−1)；
（2）−14abc−7ab+49ab2c=−7ab(2c+1−7bc)．
【变式3-1】将下列各式分解因式：
(1)a2−5a；
(2)ab+ac；(3)4a3b2−6ab3c；
(4)x2y−2x2y3−3x3y．
【答案】(1)a(a−5)
(2)a(b+c)
(3)2ab2(2a2−3bc)
(4)x2y(1−2y2−3x)
【分析】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键．
（1）提公因式a，即可完成因式分解；
（2）提公因式a，即可完成因式分解；
（3）提公因式2ab2，即可完成因式分解；
（4）提公因式x2y，即可完成因式分解．
【详解】（1）解：原式=a(a−5)；
（2）解：原式=a(b+c)；
（3）解：原式=2ab2(2a2−3bc)；
（4）解：原式=x2y(1−2y2−3x)．
【变式3-2】把下列各式分解因式：
(1)−5a2b3+20ab2−5ab；
(2)(x+ y)(x−y)−(x+ y) 2；
(3)8a(x−y) 2−4(y−x) 3；
(4)x(x2−xy)−(4x2−4xy)．
【答案】(1)−5ab(ab2−4b+1)
(2)−2y(x+ y)
(3)4(x−y) 2 (2a+x−y)
(4)x(x−y)(x−4)【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可；
（3）直接利用提公因式法分解因式即可；
（4）直接利用提公因式法分解因式即可；
【详解】（1）解：−5a2b3+20ab2−5ab
=−5ab(ab2−4b+1)；
（2）解：(x+ y)(x−y)−(x+ y) 2
=(x+ y)(x−y−x−y)
=−2y(x+ y)；
（3）解：8a(x−y) 2−4(y−x) 3
=8a(x−y) 2+4(x−y) 3
=4(x−y) 2 (2a+x−y)；
（4）解：x(x2−xy)−(4x2−4xy)
=x2(x−y)−4x(x−y)
=x(x−y)(x−4)；
【变式3-3】分解因式：
(1)21xy−14xz+35x2；
(2)15xy+10x2−5x；
(3)(2a+b)(3a−2b)−4a(2a+b)；
(4)(x−2) 2−x+2．
【答案】(1)7x(3 y−2z+5x)
(2)5x(3 y+2x−1)
(3)−(2a+b)(a+2b)
(4)(x−2)(x−3)【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式分解因式即可；
（2）直接利用提公因式分解因式即可；
（3）直接利用提公因式分解因式即可；
（4）直接利用提公因式分解因式即可；
【详解】（1）解：21xy−14xz+35x2
=7x(3 y−2z+5x)；
（2）解：15xy+10x2−5x
=5x(3 y+2x−1)；
（3）解：(2a+b)(3a−2b)−4a(2a+b)
=(2a+b)(3a−2b−4a)
=(2a+b)(−a−2b)
=−(2a+b)(a+2b)；
（4）解：(x−2) 2−x+2
=(x−2) 2−(x−2)
=(x−2)(x−2−1)
=(x−2)(x−3)；
知识点4：公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
【考点4: 因式分解-平方差】
【典例4】分解因式：9a2−4b2= ．
【答案】(3a+2b)(3a−2b)【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：9a2−4b2=(3a+2b)(3a−2b)，
故答案为：(3a+2b)(3a−2b)．
【变式4-1】分解因式：25 y2−4x2= ．
【答案】(5 y+2x)(5 y−2x)
【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：25 y2−4x2=(5 y) 2−(2x) 2=(5 y+2x)(5 y−2x)，
故答案为：(5 y+2x)(5 y−2x)．
【变式4-2】分解因式：9a2−16b2= ．
【答案】(3a+4b)(3a−4b)
【分析】本题考查了因式分解，先把9a2，16b2写成(3a) 2，(4b) 2，然后利用平方差公式分解因式即
可．
【详解】解：9a2−16b2
=(3a) 2−(4b) 2
=(3a+4b)(3a−4b)，
故答案为：(3a+4b)(3a−4b)．
【变式4-3】分解因式：9(x+ y) 2−(x−y) 2= ．
【答案】4(x+2y)(2x+ y)
【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式，再提公因式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=[3(x+ y)−(x−y))[3(x+ y)+(x−y))
=(2x+4 y)(4x+2y)
=4(x+2y)(2x+ y)．
【考点5: 因式分解-完全平方】
【典例5】分解因式a2−6a+9的结果是 ．
【答案】(a−3) 2【分析】本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式
进行分解即可解答．
【详解】解：a2−6a+9=(a−3) 2，
故答案为：(a−3) 2．
【变式5-1】分解因式：4+4m+m2= ．
【答案】(2+m) 2 /(m+2) 2
【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．
直接利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：4+4m+m2=(2+m) 2．
故答案为：(2+m) 2．
【变式5-2】分解因式：9a2−6ab+b2= ．
【答案】(3a−b) 2
【分析】本题主要考查了用公式法进行因式分解．熟练掌握完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
根据完全平方公式进行分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b) 2．
【详解】9a2−6ab+b2=(3a) 2−2×3a×b+b2=(3a−b) 2．
故答案为：(3a−b) 2．
【变式5-3】因式分解：9m2+6m+1= ．
【答案】(3m+1) 2 /(1+3m) 2
【分析】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：9m2+6m+1
=(3m) 2+2×1×3m+12
=(3m+1) 2
故答案为：(3m+1) 2．知识点5：提公因式与公式法综合
（1）提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成
公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
【考点6：提公因式与公式法综合】
【典例6】分解因式：
(1)3a2−12
(2)3a3−6a2b+3ab2．
【答案】(1)3(a+2)(a−2)
(2)3a(a−b) 2
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式法和公式法因式分解成为解题的关键
（1）先提取公因式3，然后再运用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3a，然后运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：3a2−12
=3(a2−4)
=3(a+2)(a−2)．
（2）解：3a3−6a2b+3ab2
=3a(a2−2ab+b2)
=3a(a−b) 2．【变式6-1】分解因式：
(1)x2(m−n)+64(n−m)；
(2)−2m3+12m2−18m．
【答案】(1)(m−n)(x+8)(x−8)；
(2)−2m(m−3) 2．
【分析】本题考查提公因式与公式法因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式即可求解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式即可求解；
【详解】（1）解：原式=x2(m−n)−64(m−n)
=(m−n)(x2−64)
=(m−n)(x+8)(x−8)；
（2）解：原式=−2m（m2−6m+9）
=−2m(m−3) 2．
【变式6-2】把下列各式因式分解．
(1)a3−4a；
(2)x2y−6xy+9 y．
【答案】(1)a(a+2)(a−2)
(2)y(x−3) 2
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】（1）解：a3−4a
=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)；
（2）解：x2y−6xy+9 y= y(x2−6x+9)
= y(x−3) 2．
【变式6-3】分解因式
(1)12x3y−3x y3
(2)3ax2−6axy+3a y2
【答案】(1)3x(2x+ y)(2x−y)
(2)3a(x−y) 2
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式．
（1）先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：12x3−3x y3
=3xy(4x2−y2)
=3x(2x+ y)(2x−y)；
（2）解：3ax2−6axy+3a y2
=3a(x2−2xy+ y2)
=3a(x−y) 2；
知识点5：十字相乘法
1. x² p qx pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
【考点7：十字相乘法】
【典例7】提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：
(x+a)(x+b)=x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如
x2+(a+b)x+ab的多项式进行进行因式分解即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．观察多项式
x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+3)(x+2)
运用结论：
(1)基础运用：把多项式进行因式分解．
①x2−5x−24；②x2+8x+12；③x2−x−12．
(2)知识迁移：对于多项式4x2−4x−15进行因式分解还可以这样思考：将二次项4x2分解成图2中的两个2x的积，再将常数项−15分解成−5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为−4x，就是
4x2−4x−15的一次项，所以有4x2−4x−15=(2x−5)(2x+3)．这种分解因式的方法叫做“十字
相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：3x2−19x−14
【答案】(1)①x2−5x−24=(x−8)(x+3)；②x2+8x+12=(x+2)(x+6)；③
x2−x−12=(x+3)(x−4)
(2)3x2−19x−14=(3x+2)(x−7)
【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算
规律．
（1）把−24拆成−8×3即可；把12拆成2×6即可；把−12拆成−4×3即可；
（2）把3x2拆成3x⋅x，把−14拆成2×(−7)|即可．
【详解】（1）解：x2−5x−24=x2+[(−8)+3)x+[(−8)×3)=(x−8)(x+3)
x2+8x+12=x2+(2+6)x+(2×6)=(x+2)(x+6)
x2−x−12=x2+[3+(−4))x+[3×(−4))=(x+3)(x−4)
（2）解：3x2−19x−14=(3x+2)(x−7)
【变式7-1】探究：如何把多项式x2+8x+15因式分解？
(1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）；
【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左地使用，
即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解，即：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)；
此类多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(2)猜想并填空：x2+8x+15=x2＋（___＋_____）x＋___×_____＝（x＋_____）（x＋_____）；(3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解：
①x2+8x+12 ②x2−x−12
【答案】(1)不能
(2)3，5，3，5，3，5
(3)①(x+2)(x+6)；②(x+3)(x−4)
【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键．
（1）根据完全平方式的特点判断即可；
（2）将15拆解乘3×5，又3+5=8，即可得出结果；
（3）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：∵x2+8x+15不是完全平方式，
∴不能利用完全平方公式进行因式分解；
故答案为：不能；
（2）∵15=3×5,8=3+5，
∴x2+8x+15=x2+(3+5)x+3×5=(x+3)(x+5)；
（3）①x2+8x+12=x2+(2+6)x+2×6=(x+2)(x+6)；
②x2−x−12=x2+[3+(−4))x+3×(−4)=(x+3)[x+(−4))=(x+3)(x−4)．
【变式7-2】在数学学习中，x2+(p+q)x+pq是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法
和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题．
材料二：分解因式：
x2−14x+24
材料一：分解因式：
解：原式
x2−14x+24
=x2−2⋅x⋅7+72−72+24
解：∵24=(−2)×(−12)
=(x−7) 2−49+24
(−2)+(−12)=−14
=(x−7) 2−25
∴x2−14x+24=(x−2)(x−12)
=(x−7+5)(x−7−5)
=(x−2)(x−12)
(1)按照材料一提供的方法分解因式：x2−20x+75；
(2)按照材料二提供的方法分解因式：x2+12x−28．
【答案】(1)(x−5)(x−15)(2)(x+14)(x−2)
【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法．
（1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；
（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵75=(−5)×(−15)，(−5)+(−15)=−20，
∴x2−20x+75=(x−5)(x−15)；
（2）解：原式=x2+2⋅x⋅6+62−62−28
=(x+6) 2−36−28
=(x+6) 2−64
=(x+6+8)(x+6−8)
=(x+14)(x−2)．
【变式7-3】【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：
x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解
x2+(p+q)x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?
在第102页的练习第2题中，我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法
法则推导得出：(x+p)(x+q)
=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ①
利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子x2+3x+2分解因式。这个式
子的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.利
用①式可得x2+3x+2=(x+1)(x+2).
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十
字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求
代数和，使其等于一次项系数（图1）.
这样，我们也可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）分解因式：y2+7 y−18=_____________；
【知识应用】
（2）x2+mx+3=(x+n)(x−3)，则m=_________，n=_________；
【拓展提升】
（3）如果x2+mx+6=(x+p)(x+q)，其中m，p，q均为整数，求m的值.
【答案】（1）(y+9)(y−2)（2）−4,−1（3）±7,±5
【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用：
（1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可；
（2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论；
（3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得pq=6,p+q=m，根据m，p，q
均为整数讨论求解即可.
【详解】解：（1）∵−18=9×(−2),7=9+(−2)，
∴y2+7 y−18=(y+9)(y−2)，
故答案为：(y+9)(y−2)；
（2）由x2+mx+3=(x+n)(x−3)=x2+(−3+n)x−3n，
∴−3n=3,−3+n=m，
解得，n=−1,m=−4，
故答案为：−4,−1；
（3）由x2+mx+6=(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，
{ pq=6 )
∴ ，
p+q=m
∵m，p，q均为整数，
{p=−3)
∴ ，此时m=p+q=−3+(−2)=−5；
q=−2
{p=−2)
或者 ，此时m=p+q=−2+(−3)=−5；
q=−3
{p=−1)
或者 ，此时m=p+q=−1+(−6)=−7；
q=−6
{p=1)
或者 ，此时m=p+q=1+6=7；
q=6{p=2)
或者 ，此时m=p+q=2+3=5；
q=3
{p=3)
或者 ，此时m=p+q=3+2=5；
q=2
综上，m的值为：±7,±5
1．已
知
xy=−3，x−y=2，则代数式x y2−x2y的值是（ ）
A．−6 B．6 C．−5 D．−1
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值.利用因式分
解把代数式变形，再代入数值计算即可.
【详解】解：∵xy=−3，x−y=2，
∴x y2−x2y
=xy(y−x)
=−3×(−2)
=6.
故选：B.
2．下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A．x2+9 B．x2+2x−1 C．x2+x+1 D．x2+4x+4
【答案】D
【分析】此题考查了分解因式，根据完全平方公式进行判断即可.
【详解】A. x2+9不能进行因式分解，故选项不符合题意；
B. x2+2x−1不能进行因式分解，故选项不符合题意；
C. x2+x+1不能进行因式分解，故选项不符合题意；
D. x2+4x+4=(x+2) 2，能用完全平方公式进行分解因式，故选项符合题意；
故选：D
3．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2−9=(a−3)(a+3)B．(x−y) 2=x2−y2
C．x2−4x+4k=(x+2)(x−2)+4k
D．x2+3x+1=x ( x+3+ 1)
x
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为
实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此即可求解．
【详解】解：A选项符合因式分解的定义，符合题意；
B选项是整式的乘法运算，不符合题意；
C选项等号右边不是几个整式的积的形式，不符合题意；
D选项等号右边的因式里面包含分式，不符合题意；
故选：A．
4．将多项式x3−x分解因式正确的是（ ）
A．x(x2−1) B．x(1−x2 ) C．x(x+1)(x−1) D．x(1+x)(1−x)
【答案】C
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，
故选：C．
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形
状是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形
C．只有两边相等的三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质得到a=b=c，根据等边三角形的概念判断即可．
本题考查的是因式分解的应用、等边三角形的概念，灵活运用配方法、非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：a2+b2+c2=ab+bc+ca，
则2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca，
∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2=0，∴(a−b) 2+(b−c) 2+(a−c) 2=0，
∴a−b=0，b−c=0，a−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
6．多项式x2−9与多项式x2+6x+9的公因式是（ ）
A．x+3 B．(x+3) 2 C．x−3 D．(x−3)(x+3) 2
【答案】A
【分析】本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．利用平方差公式和完全
平方公式分解因式，然后再确定公因式，即可解题．
【详解】解：∵ x2−9=(x−3)(x+3)，x²+6x+9=(x+3) 2，
∴多项式 x2−9与多项式x2+6x+9的公因式是x+3．
故选 A．
7．若有理数x，y满足|2x−1)+ y2−4 y+4=0，则xy的值等于（ ）
A．2 B．−2 C．1 D．−1
【答案】C
【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，利用完全平方公式化简是解题的关键．
利用完全平方公式化简后再根据绝对值和平方的非负性即可得出结果．
【详解】解：|2x−1)+ y2−4 y+4=0，
化简得，|2x−1)+(y−2) 2=0，
1
∴x= ，y=2，
2
1
∴xy= ×2=1．
2
故选：C．
8．已知ab=3,a+b=2，则代数式ab2+a2b−3ab的值为（ ）
A．−3 B．0 C．3 D．2
【答案】A【分析】本题主要考查了因式分解以及代数式求值，将ab2+a2b−3ab转化为ab(a+b−3)是解题关键．
将ab2+a2b−3ab转化为ab(a+b−3)，然后将ab=3,a+b=2代入求值即可．
【详解】解：∵ab=3,a+b=2，
∴ab2+a2b−3ab
=ab(a+b−3)
=3×(2−3)
=3×(−1)
=−3．
故选：A．
9．分解因式：3a2b−15ab2= ．
【答案】3ab(a−5b)
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握提公因式法是解题关键．利用提公因式法直接分解
因式即可．
【详解】解：3a2b−15ab2=3ab(a−5b)，
故答案为：3ab(a−5b)．
10．因式分解：a2−2a+1= ．
【答案】(a−1) 2
【分析】本题考查因式分解，直接运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：a2−2a+1=(a−1) 2．
故答案为：(a−1) 2．
11．已知mn=2，n+m=3，则m2n+mn2= ．
【答案】6
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后
整体代值计算．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可．
【详解】解：∵n+m=3，mn=2，
∴m2n+mn2=mn(m+n)=2×3=6．
故答案为：6．
12．因式分解：m3−25m= ．【答案】m(m+5)(m−5)
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】m3−25m=m(m2−25)=m(m+5)(m−5)，
故答案为：m(m+5)(m−5)．
13．多项式a2−4b2与a2−4ab+4b2的公因式是 ．
【答案】a−2b/−2b+a
【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．首
先将a2−4b2与a2−4ab+4b2进行因式分解，然后根据公因式的定义确定答案即可．
【详解】解：∵a2−4b2=(a+2b)(a−2b)，a2−4ab+4b2=(a−2b) 2，
∴多项式a2−4b2与a2−4ab+4b2的公因式是a−2b．
故答案为：a−2b．
14．因式分解：16(x+ y) 2−(x−y) 2= ．
【答案】(5x+3 y)(3x+5 y)
【分析】本题考查了因式分解，掌握a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．根据平方差公式分解因式
即可．
【详解】解：原式=[4(x+ y)) 2 −(x−y) 2
=[4(x+ y)+(x−y))[4(x+ y)−(x−y))
=(4x+4 y+x−y)(4x+4 y−x+ y)
=(5x+3 y)(3x+5 y)，
故答案为：(5x+3 y)(3x+5 y)．
15．因式分解：
(1)−3x2−6xy−3 y2；
(2)8(a−b)+c(b−a)．
【答案】(1)−3(x+ y) 2
(2)(8−c)(a−b)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和公式法进行因式分解（1）先提公因数，再利用完全平方公式进行因式分解；
（2）利用提公因式进行因式分解.
【详解】（1）−3x2−6xy−3 y2
=−3(x2+2xy+ y2)
=−3(x+ y) 2；
（2）8(a−b)+c(b−a)
=8(a−b)−c(a−b)
=(8−c)(a−b).
16．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6cm，他
想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请写出求解的过程
（π取3）．
【答案】剩余部分的面积为108cm2．
【分析】本题考查面积法求剩余部分面积，平方差公式的应用．根据剩余部分的面积=圆形板材的面
积−四个小圆的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意有：剩余部分的面积=圆形板材的面积−四个小圆的面积．
剩余部分的面积=πR2−4πr2=π(R2−4r2)=π(R+2r)(R−2r)，
将R=6.8cm，r=1.6cm代入上式得：
剩余部分的面积=π(R+2r)(R−2r)=π(6.8+3.2)(6.8−3.2)=36π≈108．
答：剩余部分的面积为108cm2．
17．因式分解
(1)−8x3+24x2−18x
(2)4x−x3
(3)(y2+4) 2 −16 y21
(4)− x−x2(x+1)
4
【答案】(1)−2x(2x−3) 2
(2)x(2+x)(2−x)
(3)(y+2) 2 (y−2) 2
1
(4)− x(2x+1) 2
4
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键；
（1）先提取公因式−2x，再利用完全平方公式分解即可；
（2）先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可；
（3）先用平方差公式分解后，再用完全平方公式对每个因式分解即可；
1
（4）先提取公因式− x，再利用完全平方公式分解即可；
4
【详解】（1）解：原式=−2x(4x2−12x+9)
=−2x(2x−3) 2；
（2）解：原式=x(4−x2
)
=x(2+x)(2−x)；
（3）解：原式=(y2+4 y+4)(y2−4 y+4)
=(y+2) 2 (y−2) 2；
1
（4）解：原式=− x(4x2+4x+1)
4
1
=− x(2x+1) 2 ．
4
18．因式分解：
(1)2a(y−z)−3b(z−y)
(2)3ax2+6axy+3a y2
【答案】(1)(y−z)(2a+3b)(2)3a(x+ y) 2
【分析】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
（1）根据提取公因式法分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式3a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】（1）解：2a(y−z)−3b(z−y)
=2a(y−z)+3b(y−z)
=(y−z)(2a+3b)；
（2）解：3ax2+6axy+3a y2
=3a(x2+2xy+ y2)
=3a(x+ y) 2．
19．小明遇到下面一个问题：
计算．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解
决问题，具体解法如下：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)
=(28−1)(28+1)
=216−1．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
(2)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )
(3) 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− 1−
22 32 42 492 502
【答案】(1)232−1
1
(2)
(332−1)
2
51
(3)
100
【分析】此题考查了平方差公式，以及多项式乘多项式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（1）原式补上(2−1)，利用平方差公式计算即可得到结果；
1
（2）原式补上 (3−1)，利用平方差公式计算即可得到结果；
2
（3）原式利用平方差公式展开，然后利用分数乘法约分即可求解．
【详解】（1）解：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)
=(28−1)(28+1)(216+1)
=(216−1)(216+1)
=232−1；
（2）解：(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
1
= (3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
2
1
= (32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)
2
1
= (34−1)(34+1)(38+1)(316+1)
21
= (38−1)(38+1)(316+1)
2
1
= (316−1)(316+1)
2
1
= (332−1)．
2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 )
（3） 1− × 1− × 1− ×⋯× 1− 1−
22 32 42 492 502
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
= 1+ 1− × 1+ 1− ×⋯× 1+ 1− × 1+ 1−
2 2 3 3 49 49 50 50
3 1 4 2 50 48 51 49
= × × × ×⋯× × × ×
2 2 3 3 49 49 50 48
1 51
= ×
2 50
51
= ．
100
