文档内容
过程性学科素质评价
高三数学 参考答案
选择题: 题,每题 分, 题,每题 分,满分 分。
1-8 5 9-11 6 58
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B A C D C D A BCD ACD BCD
填空题:共 题,每题 分,满分 分。
3 5 15
.【答案】 .【答案】 13 . 分 21 分 .【答案】 5
12 17 13 /001625 (2 ) (3 ) 14
800 65 5
解答题:共 题,满分 分。
5 77
.【答案】 π 分 30 分 .
15 (1) (6 ); (2) (7 )
4 6
【解析】 依题意 a C b c A
(1) ,∵ cos = -sin ,
由正弦定理得 A C B C A
,sin cos =sin -sinsin ,
A B C B A C
∵ + + =π,∴ =π-( + ),
A C A C C A
∴sin cos =sin( + )-sinsin ,
化简可得 C A C A
∴ sincos =sinsin ,
又 C C
∵ ∈(0,π),∴sin ≠0,
A A且A A π.
∴cos =sin ∈(0,π),∴ =
4
a c
由题意知c a 6 C 又 C C π
(2) =3,= ,∴ A= C⇒sin =1, ∵ ∈(0,π),∴ = ,
2 sin sin 2
由 知A π b a 6
(1) = ,∴ = = ,
4 2
在 ACD中 由余弦定理可得CD2 AD2 AC2 AD AC A 5
△ , = + -2 · ·cos = ,
6
CD 30. 分
∴ = …………………………………………………………………………………………………………13
6
.【答案】 见详解 分 1 分 .
16 (1) (6 ); (2) (9 )
55
【解析】 由题意可知 DAB 3 DAB π
(1) ,tan∠ = ⇒∠ = ,
3 6
ABA ABA π
tan∠ 1 =3⇒∠ 1 = ,
3
AD AB
∴ ⊥ 1 ,
AB BC AC
∵ =3, =4, =5,
AB BC 又 BC BB BB AB BBB AB 平面AABB
∴ ⊥ , ∵ ⊥ 1, 1∩ = , 1、 ⊂ 1 1,
BC 平面AABB
∴ ⊥ 1 1,
又 AD 平面AABB AD BC
∵ ⊂ 1 1,∴ ⊥ ,
AB BC BABBC 平面ABC
∵ 1 ∩ = ,1 、 ⊂ 1 ,
AD 平面ABC.
∴ ⊥ 1
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则
(2) ,
A D C E 3 33
0,3,0 , 0,0,3 , 4,0,0 , 2, , ,
2 2
DE→ 3 3 DA→ DC→
∴ =2, , , = 0,3,-3 , = 4,0,-3 ,
2 2
数学 参考答案 第 页(共 页)
1 8设平面ADE和平面CDE的法向量分别为n x y z 和n x y z 则
1=(1,1,1) 2=(2,2,2),
n
1·
DE→
=0
2
x
1+
3y
1+
3z
1=0
n DA→ ⇒ 2 2
1· =0 y z
31-3 1=0
数学 参考答案 第 页(共 页)
2 8
y
1=1
令z
1=3⇒x 3
1=-
2
n 3
∴ 1= - ,1,3
2
n
2·
DE→
=0
2
x
2+
3y
2+
3z
2=0
n DC→ ⇒ 2 2
2· =0 x z
4 2-3 2=0
y
2=-2
令z
2=3⇒x 3
2=
4
n 3
∴ 2= ,-2,3
4
记θ为平面ADE与平面CDE的夹角 则
,
9
n n - -2+3
θ 1· 2 8 1. 分
cos= n n = = …………………………………………………………………………15
1 · 2 5 11 55
×
2 4
.【答案】
x2
y2 分 3+23 23 分 .
17 (1) + =1 (6 ); (2) /1+ (9 )
4 3 3
c
e 3
=a=
2
【解析】 由题意可得
(1) ,3 1
a2+b2=1
4
a2 b2 c2
= +
a
=2
b
⇒=1
c
=3
x2
椭圆C的标准方程为 y2
∴ : + =1;
4
依题意 设直线AB为x 3 tyAx y Bx y
(2) , := + , (1,1), (2,2),
2
x 3 ty
= +
联立 2
x2
y2
+ =1
4
t2 y2 ty 7 Δ t2
⇒ +4 +3 - =0,∴ =16 +28>0,
4
t
y y 3
1+ 2=-t2
+4
∴
y y 7
1· 2=- t2
4 +4
t
y y y y 2 y y 3
1- 2 = (1+ 2)-41· 2= -t2
+4
2 t2
7 2 4 +7
+t2 = t2 ,
+4 +4
k2
令k t2 t2 -7 则
= 4 +7≥7,∴ = ,
4
k
y y 8 8 4 当且仅当k 时 等号成立
1- 2 =k2 = ≤ , =3 , ,
+9 k 9 3
+k
此时S 1 FM y y 1 3 4 23
∴ △ ABF 1 =
2
· 1 · 1- 2 ≤
2
×
2
+3 ×
3
=1+
3
,
综上 ABF 面积的最大值为 23. 分
∴ ,△ 1 1+ …………………………………………………………………………15
3
i .【答案】 1 分 1 1 -1
18 (1) (4 ); (2) 1- -
4 3 2
i 分
(≥1) (6 );
分布列见详解 EX 23 分 .
(3) , ( )= (7 )
16
【解析】 记M为前 局中A不 调试
(1) 3 , “ ”,
开始比赛由A和B对弈 第 局和第 局A均要获胜 分
∵ ,∴ 1 2 ,………………………………………………………2
PM 1 2 1 分
∴ ( )= = ;…………………………………………………………………………………………………4
2 4若第i局A进行 调试 则第i 局A负
(2) “ ”, -1 ,
P P 1 1P 1i P 分
i =(1- i -1)× =- i -1+ (≥2),1=0, ………………………………………………………………6
2 2 2
P 1 1P 1 又P 1 1 分
∴ i - =- i -1- , 1- =- ,……………………………………………………………………8
3 2 3 3 3
i i
-1 -1
P 1 1 P 1 1 1
∴ i - = - · 1- =- × -
3 2 3 3 2
i
-1
P 1 1 1
i
⇒ =- × - +
3 2 3
i -1 1 1
= 1- -
3 2
数学 参考答案 第 页(共 页)
3 8
i 分
(≥1); …………………………………………………………………………………10
记 S 为 比赛 T 为 调试
(3) :“” “ ”,“ ” “ ”
X
=0,1,2
PX 1 PX 7 PX 1 分
∴ ( =0)= , ( =1)= , ( =2)= ,…………………………………………………………………13
16 16 2
分布列如下
:
X
0 1 2
P 1 7 1
16 16 2
EX 1 7 1 23. 分
∴ ( )=0× +1× +2× = ……………………………………………………………………………17
16 16 2 16
.【答案】 x y π 分 2
19 (1)2 + - =0 (4 ); (2) +1,+∞
2 π
分 见详解 分 .
(6 ); (3) (7 )
【解析】 依题意 当a 时fx x x x f π π
(1) , =0 ,()=cos - sin ,∴ =- ,
2 2
f'x x x x f'π 分
()=-2sin - cos ,∴ =-2,…………………………………………………………………………2
2
切线方程为y π x π
∴ :- - =-2 - ,
2 2
整理得 x y π . 分
:2 + - =0 ………………………………………………………………………………………………4
2
fx x π 在x π 上恒成立
(2) >2sin + ∈ ,π ,
4 2
x x x ax x x 在x π 上恒成立
⇔cos - sin + >sin +cos , ∈ ,π ,
2
ax x x x 在x π 上恒成立
⇔ >sin + sin , ∈ ,π ,
2
x
a sin x 在x π 上恒成立 分
⇔ > x +sin , ∈ ,π ,…………………………………………………………………………6
2x
令gx sin xx π
()= x +sin ,∈ ,π
2
x x x
g'x cos -sin x 分
()= x2 +cos ,…………………………………………………………………………………………7
π x
∵ < <π
2
x x x x
∴cos <0,cos -sin <0,
g'x gx 单调递减 分
∴ ()<0,() ,…………………………………………………………………………………………9
gx g π 2
∴ ()< = +1,
2 π
a 2 . 分
∴ ≥ +1 …………………………………………………………………………………………………………10
π
依题意 当a 时fx x x x xx
(3) , =1 ,()=cos - sin + ,∈ 0,π
f'x x x x 分
()=-2sin - cos +1, ………………………………………………………………………………………11
令hx x x x x h'x x x x
()=-2sin - cos +1,∈ 0,π ,∴ ()=-3cos + sin ,
当x π
① ∈ ,π
2
数学 参考答案 第 页(共 页)
4 8
时 x x h'x hx 单调递增
,cos <0,sin >0,∴ ()>0,() ,
h π h
=-1<0, π =π+1>0,
2
存在x π
∴ 0∈ ,π
2
使得hx
, 0 =0,
π x x hx 即f'x fx 单调递减 分
∴ ≤ < 0,()<0 ()<0,() ,……………………………………………………………12
2
x x hx 即f'x fx 单调递增
0< <π,()>0 ()>0,() ,
在x π
∴ ∈ ,π
2
上fx 存在一个极小值点x 分
() 0;……………………………………………………………………13
当x π 时 令tx x x xt'x x x x
② ∈0, , ()=-3cos + sin ,()=4sin + cos ,
2
x π t'x tx 单调递增
∵ ∈0, ∴ ()>0,() ,
2
又t tπ π
(0)=-3, = ,
2 2
存在x π 使得tx 分
∴ 1∈0, , 1 =0, ………………………………………………………………………………14
2
x x tx 即h'x hx 单调递减
∴0< < 1,()<0 ()<0,() ,
x x πtx 即h'x hx 单调递增
1< < ,()>0 ()>0,() ,
2
又h h π
(0)=1, =-1,
2
存在x π 使得hx 分
∴ 2∈0, , 2 =0,………………………………………………………………………………15
2
x x hx 即f'x hx 单调递增
∴0< < 2,()>0 ()>0,() ,
x x πhx 即h'x hx 单调递减
2< < ,()<0 ()<0,() ,
2
在x π 上fx 存在一个极大值点x 分
∴ ∈0, () 2,……………………………………………………………………16
2
综上所述 得证fx 在 上有且仅有 个极值点. 分
∴ , 0,π 2 …………………………………………………………17
注 以上各解答题 如有不同解法并且正确 请按相应步骤给分
【 】: , , 。详解
.【答案】
1 B
【解析】 由题意可得B x x 故A B .
, = 3< <6 , ∩ = 4,5
.【答案】
2 B
【解析】 依题意 通项展开式第k 项
, +1 :
T k +1=C k 4·(2 x ) 4- k ·( x ) k (0≤ k ≤4)
k
k 4- k x4-2
=C4·2 ·
k
令 k 则 k 4- k 2 2
4- =3⇒ =2; C4·2 =C4·2=24,
2
故x3 的系数为 .
24
.【答案】
3 A
【解析】 依题意 AE→ 1AD→ AC→
,∵ = + ,
3
BE→ BA→ AE→ AB→ 1AD→ 1AC→ a 1b 1c.
∴ = + =- + + =- + +
3 3 3 3
.【答案】
4 C
【解析】 依题意 S a a
,∵ 9=95=54⇒ 5=6,
a a
a a d 9- 5
∴ 9=35=18,∴ = =3,
4
a a d .
∴ 2= 5-3 =6-9=-3
.【答案】
5 D
【解析】 由题意可知 椭圆a b c
,∵ :1= 10,1=1,1=3,
双曲线c c a2 b2 a b 32
∴ :2= 1=3,∴ 2+ 2=9,∴ 2= 2= ,
2
双曲线焦点为 渐近线为y x
∴ ±3,0 , =± ,
双曲线的焦点到渐近线的距离d 3 32.
∴ = =
2 2
.【答案】
6 C
【解析】 fx 为奇函数 f x fx fx 关于原点对称
∵ () ,∴ (- )=- (),∴ () ,
fx f x fx f x fx 关于x 对称
∵ (-3)= (- +1)⇔ ()= (- -2),∴ () =-1 ,
fx 关于y轴对称 即fx 为偶函数
∴ (-1) , (-1) ,
f x f x fx fx 令x x 则 fx fx
∴- (- )= (- -2)⇔- ()= (-2), = -2, - (-2)= (-4),
fx fx fx 的最小正周期为 .
∴ ()= (-4),∴ () 4
.【答案】
7 D
【解析】 依题意 x x x x x x x .
,∵(+3 +4 +6 +5 + )×10=1⇒ =0005,
根据频率分布直方图可知 众数
∴ , :75,
平均数 . . . . . .
:0005×10×45+0015×10×55+002×10×65+003×10×75+0025×10×85+0005×10×95=72,
. . . .
中位数 05-(005+015+02) .
:70+ . ≈7333…<75,
003
落在 中的人数 x x x x 人
∴ 60,100 :(4 +6 +5 + )×10×100=80( ),
m
估计全校有m人及格 则 80 m 人 .
∴ , = ⇒ =640( )
800 100
.【答案】
8 A
数学 参考答案 第 页(共 页)
5 8x
【解析】 令a x xb c x 当x 1时满足题意
= ·e,= x,=-ln(1- ), = ,
1- 5
设fx a b x x x 1
()=ln -ln = +ln(1- ),∈0, ,
4
x
f'x - 即fx 在 1 上单调递减
∴ ()= x<0, () (0, ) ,
1- 4
fx f 即 a b a b
∴ ()< (0)=0, ln 0, () 0, ,
4
hx h g'x
∴ ()> (0)=0,∴ ()>0,
gx 在 1 上单调递增
∴ () 0, ,
4
gx g a c.
∴ ()> (0)=0,∴ >
.【答案】
9 BCD
【解析】 对于 x y xy xy 当且仅当x y 时 等号成立 故 错误.
A,+ =4≥2 ⇒ ≤4, = =2 , , A
x2 y x x y x y
对于 +4 + 当且仅当x y 时 等号成立 故 正确.
B,∵ xy =y+ x =y+x+1≥3, = =2 , , B
对于 1 1 1 x y 1 4 当且仅当x 5y 3时 等号成立 故 正确.
C, ×x +y · +1+ +2 ≥ × 2+2 = , = ,= , , C
7 +1 +2 7 7 2 2
对于 y x x2 y2 x2 x2 x 4 2 32x 当x 4时有最小值32故 正确.
D,∵ =4- ,∴2 + =2 +(4- )=3 - + ,∈ 0,4 , = , D
3 3 3 3
.【答案】
10 ACD
【解析】 对于 当ω 时fx x π
A, =1 ,()=3sin + ,
6
x π
∵ ∈ - ,0
3
数学 参考答案 第 页(共 页)
6 8
x π π π
,∴ + ∈ - ,
6 6 6
fx 3 3
,∴ ()∈ - ,
2 2
故 正确.
, A
对于 当ω 时fx x π
B, =2 ,()=3sin2 + ,
6
x π
∵ ∈ - ,0
2
令t x π 5π π
,∴ =2 + ∈ - ,
6 6 6
ft t在 5π π
,∴ ()=3sin - ,
6 6
不单调 故 错误.
, B
对于 若x π是fx 的一条对称轴
C, =- () ,
6
ω
则 π π π k k Z ω k k ω取值为偶数 故 正确.
- + = + π ∈ ⇒ =-2-6 =2 -1-3 ,∴ , C
6 6 2
对于 x π
D,∵ ∈ - ,0
3
ω
令t ωx π π π π
,∴ = + ∈ - + ,
6 3 6 6
ω
ft t在 π π π
,∴ ()=3sin - + ,
3 6 6
恰有 个零点
3 ,
ω
则 π π 13 ω 19 故 正确.
-3π<- + ≤-2π⇒ ≤ < , D
3 6 2 2
.【答案】
11 BCD
【解析】 对于 AP AP 则P在以A 为圆心 半径为 的四分之一圆周上 如图 所示
A, =2⇔ 1 =1, 1 , 1 , (1) ,
轨迹长度为 1 π 故 错误.
∴ 2π× = , A
4 2对于 如图 所示 设BP→ λBD→λ
B, (2) , 1 = 1 1,∈ 0,1 ,
EP→ EA→ AB→ BB→ BP→
∴ = + + 1+ 1
1AD→ AB→ AA→ λBD→
=- + + 1+ 1 1
2
λ 1 AD→ λAB→ AA→
= - + 1- + 1
2
又 AC→ AB→ BC→ CC→ AB→ AD→ AA→
∵ 1= + + 1= + + 1,
AC→ EP→ λAB→2 λ 1 AD→2 AA→2 λ λ 1 3 故 正确.
∴ 1· = 1- + - + 1 =1- + - +1= , B
2 2 2
对于 【方法一】 如图 所示 EB EC 5 取BC中点F 连接EF 则等腰 BCE的外接圆圆心O 在
C, (3) , = = , , , △ 1
2
EF上
,
BCE外接圆半径r OE 依题意易知 EBC 25
∴△ = 1 , ,sin∠ = ,
5
EC
根据正弦定理可知 r r 5
, EBC=2 ⇒ = ,
sin∠ 8
在 BCP中 外心O 为BP中点 连接EO 并延长交BC 于点G
Rt△ , 2 , 2 1 1 ,
易知EG 平面BCP 过点O 作平行于DD 的垂线交EG于点O 即O为三棱锥E BCP的外接球球心
⊥ , 1 1 , - ,
OE
∵∠
GEF
=
π
,∴
外接球半径R
=
1
GEF=
52
,∴
S球
=4π
R2
=
25π
,
故
C
正确.
4 sin∠ 8 8
【方法二】 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则
,
E 1 D B C
( ,0,0) 1(0,0,1) (1,1,0) (0,1,0)
2
设球心Mxyz MA MB MC MD R
(,,), = = = 1 = ,
2 x 1 y2 z2 R2
- + + =
2
x2 y2 z 2 R2 + +(-1)= ∴
x 2 y 2 z2 R2
-1 + -1 + =
x2 y 2 z2 R2
+ -1 + =
数学 参考答案 第 页(共 页)
7 8
x 1
=
2
化简得y 5 =
→ 8
z 5
=
8
∴
R2
=
ME2
=
25
∴
S球
=4π
R2
=
25π
,
故
C
正确.
32 8
对于 由 BP→BB→ π知 点P在以B 为圆心 为半径的圆弧上
D, < , 1>= , 1 ,1 ,
4
连接BD 由对称性可知 当点P位于BD 上时 PQ 最小 过Q作QG BD于G
1 1, , 1 1 , , ⊥ ,
在 QGB中 QBD DBD 3 3BQ QG
Rt△ ,sin∠ =sin∠ 1 = ,∴ = ,
3 3
故 PQ 3BQ PQ QG
+ = + ,
3如图在平面BDDB 中 过点P作PM BD于点M
1 1 , ⊥ ,
则 PQ QG PM DD 故 正确.
+ ≥ = 1 =1, D
.【答案】
12 17
【解析】 设z a b 则 a b
= +i, 1+2i · +i =6+7i,
a b a
a b a b -2 =6 =4 z z .
∴ -2 + 2 + i=6+7i,∴ a b ⇒b ,∴ =4-i,∴ = 17
2 + =7 =-1
.【答案】 13 . 21
13 /001625;
800 65
【解析】 记事件M 该产品为次品
: ,
N A厂生产PN 1PM N .
1: , ( 1)= , 1 =001;
5
N B厂生产PN 7 PM N .
2: , ( 2)= , 2 =0015;
20
N C厂生产PN 9 PM N .
3: , ( 3)= , 3 =002;
20
则PM PN PM N PN PM N PN PM N
( )= ( 1)· 1 + ( 2)· 2 + ( 3)· 3
1 . 7 . 9 .
= ×001+ ×0015+ ×002
5 20 20
13
= ,
800
7 .
PN PM N ×0015
PN M ( 2)· 2 20 21.
2 = PM = =
( ) 13 65
800
.【答案】 5
14
5
【解析】 依题意 将圆C化为标准式 x 2 y 2 C r
, : -1 + -2 =4,∴ (1,2),=2,
设Pm m 则直线AB为 x m y m
( ,-2 -1), : -1 -1 + -2 -2 -1-2 =4
mx y x y
⇒ (+3-2 )- -3 +3=0
x 3
x y =-
+3-2 =0 5
∵ x y ⇒
- -3 +3=0 y 6
=
5
数学 参考答案 第 页(共 页)
8 8
直线AB恒过点D 3 6
,∴ - ,
5 5
CM AB 点M在以CD为直径的圆N上
∵ ⊥ ,∴ ,
CD
N 1 8 r' 25
∴ ( , ), = = ,
5 5 2 5
2 2
N x 1 y 8 4
∴ : - + - = ,
5 5 5
点N到直线l的距离为35
∴ ,
5
点M到直线l的距离d 35 r' 5.
∴ = - =
5 5
