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专题14.18 因式分解（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
【知识点2】因式分解的常用方法
ab+ac=a(b+c)
（1）提公因式法：
a2 −b2 =(a+b)(a−b)
（2）运用公式法：
a2 +2ab+b2 =(a+b) 2
a2 −2ab+b2 =(a−b) 2
ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（3）分组分解法：
a2 +(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（4）十字相乘法：
【知识点3】因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式.
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：三项式可以尝试运用
公式法分解因式；公式法、十字相乘法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式.
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
【考点一】因式分解➼➻概念理解与认识
【例1】（2023春·浙江·七年级专题练习）下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明
理由．
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1）是整式的乘法，不是因式分解；（2）一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分
解；（3）没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解；（4）等式的左边不是多项式，不是因式分解
【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫
做分解因式，据此即可作答；
（2）根据因式分解的定义判断即可得答案；
（3）根据因式分解的定义判断即可得答案；
（4）根据因式分解的定义判断即可得答案．
解：（1） 是整式的乘法，故（1）不是因式分解；
（2） ，一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解；
（3） ，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解；
（4） ，等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【举一反三】
【变式1】（2022春·河南郑州·八年级统考期末）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个
多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【变式2】（2023春·七年级课时练习）下列从左到右的变形中，是因式分解的有 .
①（x＋5）（x－5）＝x2－25 ②x2－9＝（x＋3）（x－3） ③x2＋2x－3＝（x＋3）（x－1）④9x2－6x＋1＝3x（3x－2）＋1 ⑤x＋1＝x（1＋ ） ⑥3xn＋2＋27xn＝3xn（x2＋9）
【答案】②③⑥
解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，根据因式分解的定义可得
②③⑥属于因式分解.
【考点二】因式分解➼➻由因式分解的结果求参数
【例2】（2023春·七年级课时练习）已知二次三项式 有一个因式是 ，另一个因式为
（a、b为常数），求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因为 ，k的值为65
【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得
，结合 ，进而得出方程组，可得答案．
解：由题意可得： ，
而 ，
∴ ，解得： ，
∴另一个因式为 ，k的值为65．
【点拨】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解三元一次方程组，理解题意建立方程组是解题的
关键．
【举一反三】
【变式1】（2023春·山东枣庄·八年级统考阶段练习）已知多项式 可以分解为
，则x的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值．
解：根据题意可得： ，
∵
，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难．
【变式2】（2022秋·上海青浦·七年级校考期中）若整式 含有一个因式 ，则m的值是
．
【答案】
【分析】设 ，根据多项式的乘法得出 ， ，即可求解．
解：设 ，
∵ ，
∴ ， ，
解得： ，则 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的
关键．
【考点三】因式分解➼➻公因式与提取公因式
【例3】（2020春·江苏苏州·七年级校考期末）（6分）因式分解：
（1） （2）【答案】（1） ；（2）
（1）解析：本题考查了提公因式法分解因式．多项式 中的各项都含有公因式 ，
提取公因式 即可，所以 ．
（2）解析：本题考查了用公式法分解因式．根据幂的乘方运算，可将 变形为 ，
，再根据平方差公式 将原式进行因式分解．
（1）解：原式
（2）解：原式
【举一反三】
【变式1】（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】D
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．
解：A、 ，
所以 和 有公因式是 ，该选项不符合题意；
B、 ， ，
所以 和 有公因式是 ，该选项不符合题意；
C、 ，所以 和 有公因式是 ，该选项不符合题意；
D、 ，
所以 和 没有公因式，该选项符合题意，
故选：D．
【点拨】本题主要考查对因式分解-提公因式的理解和掌握，能正确地找出多项式的公因式是解此题的
关键．
【变式2】（2023·湖北黄石·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】将整式 变形含有公因式 ，提取即可．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公
因式．
【考点四】因式分解➼➻公式法➼➻平方差公式
【例4】（2023秋·八年级课时练习）分解因式：
（1） ． （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式 ，再根据平方差公式分解因式即可；
（2）根据整式的混合运算法则计算，再根据平方差公式分解因式即可．
（1）解：
；
（2）解：．
【点拨】本题主要考查因式分解．掌握公式法分解因式和综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式法 进行分解因式，即可判断．
解：A． ，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
B． ，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
C． ，符合平方差公式法，故此选项不符合题意；
D． 不是平方的差，不能因式分解，不符合平方差公式法，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式 是解题的关键．
【变式2】（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）若 ，直接写出
；
【答案】12
【分析】根据平方差公式计算，即可求解．
解：∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．
【考点五】因式分解➼➻公式法➼➻完全平方公式【例5】（2023秋·八年级课时练习）将下列各式因式分解：
（1） ；（2） ； （3） ；（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）~（4）用完全平方公式因式分解；
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【点拨】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式.
【举一反三】
【变式1】（2023春·全国·七年级期中）已知 ， ， ，
那么，代数式 的值是（ ）
A． B．2022 C． D．3
【答案】D
【分析】先求解 ， ， ，再把原式化为 ，再
代入求值即可．解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
；
故选D．
【点拨】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全
平方公式的应用”是解本题的关键．
【变式2】（2023秋·八年级课时练习）计算 ．
【答案】4
【分析】根据完全平方公式特征进行因式分解，进行简便计算即可．
解：
．
故答案为：4.
【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．
【考点六】因式分解➼➻公式法的综合运用
【例6】（2023秋·八年级课时练习）分解因式：
（1） ． （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式 ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）先提取公因式 ，再根据完全平方公式分解因式即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查因式分解．掌握综合提公因式和公式法分解因式是解题关键．
【举一反三】
【变式1】（2023春·七年级单元测试）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法进行逐一判断即可．
解：A、 不能进行因式分解，不符合题意；
B、 ，原因式分解错误，不符合题意；
C、 ，原因式分解错误，不符合题意；
D、 ，因式分解正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．
【变式2】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）分解因式： ．【答案】
【分析】先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
解： ；
故答案为：
【点拨】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解
因式．
【考点七】因式分解➼➻十字相乘法
【例7】（2023秋·八年级课时练习）用十字相乘法分解因式：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．
解：（1）原式 ．
（2）原式
．
（3）原式
【点拨】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：
提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【举一反三】
【变式1】（2023春·七年级单元测试）若把多项式 分解因式后含有因式 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】利用十字相乘的方法分解因式，即可求出 的值．
解：∵多项式 分解因式后含有因式 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键．
【变式2】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了 ，
分解结果为 ；乙看错了 ，分解结果为 ，则正确的分解结果为 ．
【答案】
【分析】根据题意分别运算 和 ，确定 、 的值，然后进行因式分解即可．
解：∵甲看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
又∵乙看错了 ，分解结果为 ，
∴由 ，可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴正确的分解结果为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出 、
的值．
【考点八】因式分解➼➻分组分解法
【例8】（2023秋·八年级课时练习）用分组分解法或拆项法对下列多项式进行因式分解：
① ； ② ．
【答案】① ； ②
【分析】（1）先分组，然后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可；
（2）先将原式变形，然后用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．解：（1）
；
【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，平方差公式和完全平方
公式．
【举一反三】
【变式1】（2022秋·广东梅州·九年级校考开学考试）用分组分解法将 分解因式，下
列分组不恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用分组分解法，结合提公因式法，对选项一一进行分析，即可得出答案．
解：A．
，故选项A分组正确，不符合题意；
B．，故选项B分组正确，不符合题意；
C． 无法进行分组分解，故选项C分组错误，符合题意；
D．
，故选项D分组正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了分组分解法、提公因式法分解因式，解本题的关键在熟练掌握相关的分解因式的
方法．
【变式2】（2023·上海·七年级假期作业）当 时，代数式
【答案】
【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解．
解：∵ ， ，
∴
．
故答案为：0．
【点拨】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键．
【考点九】因式分解➼➻因式分解的应用【例9】（2023春·全国·七年级专题练习）利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：
（1）因式分解： ________．
（2）填空：①当 时，代数式 _______；
②当 ________时，代数式 ．
③代数式 的最小值是________．
（3）拓展与应用：求代数式 的最小值．
【答案】（1） ；（2）①0②3③4；（3）3
【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；
（2）①将 代入求解即可；②解方程 ，即可获得答案；③将代数式变形为
，根据非负数的性质即可确定答案；
（3）将代数式 变形为 ，根据非负数的性质即可确定答案．
（1）解： ．
故答案为： ；
（2）①当 时，
；
②∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 ；
③∵
，又∵ ，
∴当 时，代数式 的最小值是4．
故答案为：①0；②3；③4；
（3）解：∵原式
，
又∵ ， ，
∴原式 ，
代数式 的最小值是3．
【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，
利用因式分解的方法和非负数的性质解答．
【举一反三】
【变式1】（2023秋·八年级课时练习）已知a，b，c是 的三边长，且满足 ，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由因式分解 ，可知 ，可得 ，因而可判断的形状．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵a，b，c是 的三边长，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 的是等腰三角形．【点拨】题考查了因式分解的应用，还考查了等腰三角形的定义，能够熟练掌握因式分解是解决本题
的关键．
【变式2】（2023春·七年级单元测试）若 ，则 的值
．
【答案】1
【分析】对所求代数式每相邻四项为一组提取公因式，然后代入已知条件式进行求解即可．
解： ，
原式
．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键是把原式每相邻的四项提取公因式，此题
难度不大．
