文档内容
第14章 整式的乘法与因式分解单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·浙江宁波·期中）下列计算正确的是（ ）
A．a2 ⋅a3=a6 B．a8÷a2=a4
C．a2+a2=a4 D．(−a3) 2 =a6
【答案】D
【分析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂的乘除法法则、
合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【详解】解：A、a2 ⋅a3=a5，故该项不正确，不符合题意；
B、a8÷a2=a6，故该项不正确，不符合题意；
C、a2+a2=2a2，故该项不正确，不符合题意；
D、
(−a3) 2 =a6
，故该项正确，符合题意；
故选：D．
2．（3分）（23-24八年级·山东威海·期末）按照下列程序输入m进行计算，最后的结果是（ ）
A．m2 B．m C．−1 D．m2−1
【答案】B
【分析】根据整式的运算法则计算即可．
【详解】解：由题意得 ，
(m2+m)÷m−1=m+1−1=m
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
3．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）下列因式分解结果正确的是( )
A． B．
−6a3−18a2=−a2(6a+18) a4−1=(a2+1)(a2−1)
C．
a2+4a+16=(a+4) 2
D．
(a2+b2) 2 −4a2b2=(a+b) 2 (a−b) 2【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可．
【详解】 ，则A不符合题意；
−6a3−18a2=−6a2 (a+3)
，则B不符合题意；
a4−1=(a2+1)(a2−1) =(a2+1)(a+1)(a−1)
a2+4a+16无法因式分解，则C不符合题意；
(a2+b2) 2 −4a2b2 =(a2+b2+2ab)(a2+b2−2ab) =(a+b) 2 (a−b) 2
，则D符合题意；
故选：D．
3
4．（3分）（23-24八年级·宁夏中卫·期中）在已知(a+b) 2=9 ，ab=− ，则a2+b2的值等于（ ）
2
A．6 B．−6 C．12 D．−12
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式的变形，根据 变形可得到结果，准确变形是解题
(a+b) 2=a2+b2+2ab
的关键．
【详解】解：∵ ，
(a+b) 2=a2+b2+2ab
∴ ，
a2+b2=(a+b) 2−2ab
3
∵(a+b) 2=9 ，ab=− ，
2
∴a2+b2=9−2× ( − 3) =9+3=12，
2
故选：C．
5．（3分）（23-24八年级·浙江温州·期中）小黄同学计算一道整式乘法∶(x+a)(x+2)，由于他抄错了a
前面的符号，把“+”写成“−”，得到的结果为x2+bx−4．则a+b的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式，由题意得出(x−a)(x+2)=x2+bx−4，再根据多项式乘多项式的运
算法则计算等式的左边，即可求出a、b的值．
【详解】解：由题意得，(x−a)(x+2)=x2+bx−4，
∴x2+(2−a)x−2a=x2+bx−4，∴2−a=b，−2a=−4，
∴a=2，b=0，
∴a+b=2，
故选：B．
6．（3分）（23-24八年级·福建厦门·期中）已知x2−2= y，则x(x−2023 y)−y(1−2023x)的值为（
）
A．2 B．0 C．﹣2 D．1
【答案】A
【分析】由题意可知x2−y=2，利用单项式乘多项式计算得x(x−2023 y)−y(1−2023x)=x2−y，即可
求解．
【详解】解：∵x2−2= y，
∴x2−y=2，
则：x(x−2023 y)−y(1−2023x)
=x2−2023xy−y+2023xy
=x2−y
=2，
故选：A．
【点睛】本题考查整式的混合运算，代数式求值，掌握整式混合运算的法则是解决问题的关键．
7．（3分）（23-24八年级·四川巴中·期中）已知a=355，b=444，c=533，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．cb)．现有这三种纸片各10张，取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的
正方形，拼成大小不同的正方形的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据题意分情况讨论，即可求解．
【详解】解：共有以下6种拼法：①∵ ，
(a+b) 2=a2+2ab+b2
∴可以用甲、丙正方形纸片各1张，乙长方形纸片2张拼出一个边长为a+b正方形；
②∵ ，
(a+2b) 2=a2+4ab+4b2
∴可以用甲正方形纸片1张，丙正方形纸片4张，乙长方形纸片4张拼出一个边长为a+2b正方形；
③∵ ，
(2a+b) 2=4a2+4ab+b2
∴可以用甲正方形纸片4张，丙正方形纸片1张，乙长方形纸片4张拼出一个边长为2a+b正方形；
④∵ ，
(2a+2b) 2=4a2+8ab+4b2
∴可以用甲、丙正方形纸片各4张，乙长方形纸片8张拼出一个边长为2a+2b正方形；
⑤∵ ，
(3a+b) 2=9a2+6ab+b2
∴可以用甲正方形纸片9张，丙正方形纸片1张，乙长方形纸片6张拼出一个边长为3a+b正方形；
⑥∵ ，
(a+3b) 2=a2+6ab+9b2
∴可以用甲正方形纸片1张，丙正方形纸片9张，乙长方形纸片6张拼出一个边长为a+3b正方形；
综上所述，共有6种不同的正方形，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·吉林·期中）若 27×3x=311，则x= ．
【答案】8
【分析】此题考查了同底数幂的乘法，根据27×3x=33×3x=33+x，27×3x=311，得到3+x=11，解方程
即可得到答案．
【详解】解：∵27×3x=33×3x=33+x，27×3x=311，
∴3+x=11，
∴x=8，
故答案为：8
12．（3分）（23-24八年级·浙江温州·期中）已知一个多项式乘以 所得的结果是 ，
(−3a2
)
(−6a5+12a4
)
那么这个多项式 ．
【答案】2a3−4a2
【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据多项式除单项式乘的运算法则计算即可．
【详解】解：∵一个多项式乘以 所得的结果是 ，
(−3a2) (−6a5+12a4)
∴这个多项式 −6a5+12a4 ，
= =2a3−4a2
−3a2
故答案为：2a3−4a2．
13．（3分）（23-24八年级·宁夏银川·期中）若x2+axy+64 y2是一个完全平方式，则a的值为
．
【答案】±16
【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出axy=±2x×8 y求出即可．
【详解】解： 是一个完全平方式，
∵x2+axy+64 y2=x2+axy+(8 y) 2
∴axy=±2x×8 y
∴a=±16，
故答案为：±16．
14．（3分）（23-24八年级·广西贵港·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式
分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若取
x4−y4 (x−y)(x+ y)(x2+ y2)
， 时，则各个因式的值为 ， ， ，于是就可以把“117145”作为
x=9 y=8 (x−y)=1 (x+ y)=17 (x2+ y2)=145
一个六位数的密码．对于多项式x3−x y2，取x=16，y=6时，用上述方法产生的密码共有 种．
【答案】6
【分析】本题考查因式分解的应用，将x3−x y2进行因式分解，再进行判断即可．
【详解】解： ，
x3−x y2=x(x2−y2)=x(x+ y)(x−y)
∵x=16，y=6，
∴x+ y=22,x−y=10，
∴可产生的密码为：162210，221610，221016，161022，101622，102216；共6种．
故答案为：6．
15．（3分）（23-24八年级·江苏扬州·期中）已知 ， ，则
5x=160 32y=160 (−2022)(x−1)(y−1)−1=
．【答案】1
【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于5×32=160，因此对等式5x=160
两边同时取y次方，可以得到5xy=160y，再把160换成5×32得到5xy=5y×32y，接着把32y换成5x（都等
于160）得到 ，从而推出 ，最后对 中的指数去括号，整体代入可得
5xy=5x+y xy=x+ y (−2022)(x−1)(y−1)−1
结果．
【详解】解：∵5x=160，
∴ ，
(5x
)
y=160y
∴
5xy=(5×32) y=5y×32y
∵5x=160，32y=160,
∴5xy=5y×160=5y×5x=5x+y，
∴xy=x+ y，
∴ ．
(−2022)(x−1)(y−1)−1=(−2022) xy−x−y+1−1=(−2022) xy−(x+y)=(−2022) 0=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解
题的关键．
16．（3分）（23-24八年级·江苏南京·期中）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀
分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．观察图2，用等式表示出(2a−b)，ab和(2a+b)的数
量关系 ．
【答案】
(2a+b) 2=(2a−b) 2+8ab
【分析】本题考查了几何图形的面积计算及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；
观察图 可知， ， 分别表示小长方形，大正方形的面积， ，即可得
2 2ab (2a+b) 2 S =S +4S
大正方形 空白 小正方形到数量关系式．
【详解】空白部分的边长等于小长方形的长和宽的差，即2a−b
∵ S =S +4S
大正方形 空白 小正方形
∴(2a+b) 2=(2a−b) 2+4×2ab
∴(2a+b) 2=(2a−b) 2+8ab
故答案为：
(2a+b) 2=(2a−b) 2+8ab
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·广西贵港·期中）因式分解：
(1)x2−y2−4 y−4；
(2)x y2(a−b)−x2y(b−a)．
【答案】(1)(x+ y+2)(x−y−2)
(2)xy(a−b)(x+ y)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式；
（1）利用分组分解法因式分解即可；
（2）原式变形后提取公因式xy(a−b)即可．
【详解】（1）解：原式
=x2−(y2+4 y+4)
=x2−(y+2) 2
=(x+ y+2)(x−y−2)；
（2）解：原式=x2y(a−b)+x y2(a−b)
=xy(a−b)(x+ y)．
18．（6分）（23-24八年级·甘肃酒泉·期中）先化简，再求值：
1
(1)[(x+3 y)(x−3 y)−(x−3 y) 2)÷6 y，其中x=6,y=−
3
(2)已知a+b=0，求代数式a(a+4b)−(a+2b)(a−2b)的值．
【答案】(1)x−3 y，7
(2)0【分析】（1）运用乘法公式化简，再代入求值即可；
（2）运用乘法公式将代数式化简，再整体代入计算即可求解，
本题主要考查整式的混合运算，整式的化简求值，根据乘法公式，整式的混合运算化简，代入求值即可，
掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
[(x+3 y)(x−3 y)−(x−3 y) 2)÷6 y
=(x2−9 y2−x2+6xy−9 y2)÷6 y
1
=(6xy−18 y2)×
6 y
=x−3 y，
1 ( 1)
当x=6,y=− 时，x−3 y=6−3× − =7，
3 3
（2）解：a(a+4b)−(a+2b)(a−2b)
=a2+4ab−a2+4b2
=4ab+4b2
=4b(a+b)，
∵a+b=0，
∴4b(a+b)=4b×0=0．
19．（8分）（23-24八年级·广西梧州·期中）如果a∗b=c，则ac=b，例如：2∗8=3，则23=8．
(1)根据上述规定，若3∗27=x，求x的值；
(2)记4∗5=a，4∗6=b，4∗3=c，求42a+b−3c的值．
【答案】(1)x=3
50
(2)
9
【分析】本题考查了实数的新定义运算问题，幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法逆运算法则，正确理解定
义是解题的关键．
（1）根据定义，列式计算即可．
（2）根据定义，列式求出4a=5，4b=6，4c=3，再根据幂的乘方逆运算及同底数幂的乘法逆运算法则变
形计算即可．
【详解】（1）解：根据定义的公式，
由a∗b=c，得ac=b∵3∗27=x，
∴3x=27
∴x=3；
（2）解：∵4∗5=a，4∗6=b，4∗3=c
∴4a=5，4b=6，4c=3
∴42a+b−3c=42a×4b÷43c
=(4a) 2 ×4b÷(4c) 3
=52×6÷(3) 3
=25×6÷27
50
= ．
9
20．（8分）（23-24八年级·福建厦门·期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀
平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
(1)观察图②直接写出三个代数式 、 、 之间的等量关系______；
(m+n) 2 (m−n) 2 4mn
(2)请运用（1）中的关系式计算：若x+ y=−3，xy=2，求x−y的值；
(3)若 ，求 的值．
(2024−a) 2+(a−2023) 2=7 (2024−a)(a−2023)
【答案】(1)
(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
(2)±1
(3)−3
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式
的变形是正确解答的关键．（1）由题意可知，图②中的四个长方形面积和为4mn，再根据大正方形面积减四个长方形面积等于中间
小正方形面积列式，即可得到答案；
（2）由（1）所得等式可知， ，再根据已知条件得出 ，再开平方即可求
(x+ y) 2−4xy=(x−y) 2 (x−y) 2=1
解；
（3）令 ， ，则 ，由已知可得 ，再根据 (m+n) 2−(m2+n2)
2024−a=m a−2023=n m+n=1 m2+n2=7 mn=
2
求解即可．
【详解】（1）解：由图形可知， ，
(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
故答案为：
(m+n) 2−4mn=(m−n) 2
（2）解：由（1）所得等式可知， ，
(x+ y) 2−4xy=(x−y) 2
∵x+ y=−3，xy=2，
，
∴(x−y) 2=(−3) 2−4×2=1
∴x−y=±1；
（3）解：令2024−a=m，a−2023=n，
∴m+n=2024−a+a−2023=1，
，
∵(2024−a) 2+(a−2023) 2=7
∴m2+n2=7，
，
∵(m+n) 2=m2+n2+2mn
(m+n) 2−(m2+n2) 12−7 ，
∴mn= = =−3
2 2
∴(2024−a)(a−2023)=−3
21．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）【方法理解】
在因式分解中，常数项必然也在分解因数，即若ax2+bx+c=(mx+p)(nx+q)成立，则p，q一定是c的因
数．因此我们可以从常数的因数去尝试因式分解．用这种方法将二次三项式x2+2x−3进行因式分解的步
骤为：第一步：常数−3的因数有−1，1，−3，3；
第二步：观察发现，当x=1时，x2+2x−3=0，由此推断x2+2x−3分解后有一个因式是(x−1)．同理，
当x=−3时，x2+2x−3=0，由此推断x2+2x−3分解后有一个因式是(x+3)．
第三步：所以x2+2x−3=(x−1)(x+3)．
利用以上方法，解决下面的问题：
【初步应用】
（1）因式分解：x3+3x2−4；
解：第一步：常数−4的因数有−1，1，2，−2，−4，4；
第二步：把x=1代入该式，得x3+3x2−4=0．所以该多项式分解后有一个因式是(x−1)．把x=−2代入
该式，得x3+3x2−4=0．所以该多项式分解后有一个因式是(x+2)．
第三步：因为原多项式最高次项系数为1，所以设另一个因式是(x+a)．
则x3+3x2−4=(x−1)(x+2)(x+a)．
请继续完成下列步骤：
填空：a= ；
多项式x3+3x2−4因式分解的结果为x3+3x2−4= ．
【类比应用】
（2）利用上面的方法对2x3+5x2−3进行因式分解．
【答案】（1）2； ；（2）
(x−1)(x+2) 2 2x3+5x2−3=(x+1)(2x2+3x−3)
【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧．
（1）把三个因式运用多项式的乘法展开，对应系数相等解题即可，直接利用前面的结论把三个因式写成
积的形式即可；
（2）先用试根法分解为 ，再用试多项式的乘法展开对应系数相等，解题即可．
(x+1)(2x2+mx+n)
【详解】解：（1）解：第一步：常数−4的因数有−1，1，2，−2，−4，4；
第二步：把x=1代入该式，得x3+3x2−4=0．所以该多项式分解后有一个因式是(x−1)．把x=−2代入
该式，得x3+3x2−4=0．所以该多项式分解后有一个因式是(x+2)．
第三步：因为原多项式最高次项系数为1，所以设另一个因式是(x+a)．
则 ，
x3+3x2−4=(x−1)(x+2)(x+a)=x3+(a+1)x2+(a−2)x−2a
∴−2a=−4，
解得：a=2，∴ ，
x3+3x2−4=(x−1)(x+2) 2
故答案为：2 ； ．
(x−1)(x+2) 2
（2）第一步：常数−3的因数有−1，1，−3，3；
第二步：把x=−1代入该式，得2x3+5x2−3=0．
所以该多项式分解后有一个因式是(x+1)．
第三步：因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是 ．
(2x2+mx+n)
设 ，
2x3+5x2−3=(x+1)(2x2+mx+n)=2x3+(m+2)x2+(m+n)x+n
则m=3，n=−3．
．
2x3+5x2−3=(x+1)(2x2+3x−3)
22．（8分）（23-24八年级·山东淄博·期中）在学习多项式乘以多项式时，我们知道
(1 x+4 ) (2x+5)(3x−6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： 1 x⋅2x⋅3x=3x3 ，常数项为
2 2
4×5×(−6)=−120．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我
1
们发现：一次项的系数就是 ×5×(−6)+2×4×(−6)+3×4×5=−3，即一次项为－3x．
2
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算(x+1)(3x+2)(5x−3)所得多项式的一次项系数为______；
(2)如果计算 所得多项式不含一次项，则常数a的值是______；
(x2+x+5)(7x2−2x+a)(3x−1)
(3)如果 ，则 的值是______．
(x+1) 2024=a x2024+a x2023+a x2022+⋯+a x+a a
0 1 2 2023 2024 2023
【答案】(1)−5
5
(2)a=−
7
(3)2024
【分析】本题考查了多项式乘多项式的规律探究，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
（1）根据题干提示列式计算即可；（2）根据给定的方法可得出一次项系数1×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=0，进一步求解即可；
（3）根据给定的方法找出 的一次项系数即可．
(x+1) 2024
【详解】（1）解：(x+1)(3x+2)(5x−3)所得多项式的一次项系数为：
1×2×(−3)+1×2×5+1×3×(−3)=−6+10−9=−5；
（2）根据题意，一次项系数1×a×(−1)+(−2)×5×(−1)+5×3×a=0，
即−a+10+15a=0，
5
解得a=− ；
7
（3） 的一次项系数为：
(x+1) 2024=a x2024+a x2023+a x2022+⋯+a x+a
0 1 2 2023 2024
2024×1=2024，
∴a =2024．
2023
23．（8分）（23-24八年级·四川达州·期末）把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形
进行拼图（重合处无缝隙）．
(1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形ABCD和正方形EFGH，用两种不同的方法计算图中阴
影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；
(2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形MNPQ，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表
示）；
(3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个
长方形图形，若AB=b，BC把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为S ，S ，若
1 2
m=S −S ，求证：m与x无关．
1 2
【答案】(1)①S
阴影
＝(a＋b)2−4ab；②S
阴影
=(a−b)2；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2
(2)S ＝a2−2ab＋b2
阴影
(3)见解析【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S ＝S −4S ；②直接根据正方形EFGH的
阴影 大正方形 基本图形
边长求正方形EFGH的面积；
（2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S ＝S正方形−4S ；
阴影 基本图形
（3）把S，S 分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S−S，即可证明m与x无关．
1 2 1 2
【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积为S ＝（a＋b）2．
正方形
∵四个基本图形的面积为4ab，
∴S ＝(a＋b)2−4ab；
阴影
②∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF＝a−b，
∴S ＝EH2＝(a−b)2；
阴影
∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．
（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，
∴四边形EFGH是正方形，
∴S ＝MN −4ab＝(a＋b)2−4ab，
阴影 2
即S ＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．
阴影
（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，
m＝S−S
1 2
＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b
＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2
＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2
＝3b2−ab
∴S与x无关．
【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题
的关键．
