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期末复习解答题数式计算、因式分解及解分式方程题位专项训练（解析版）
专题解读：本专题精选南通地区最近期末考试的计算题（包括幂的运算、整式乘法、乘法公式、分式
及二次根式）及因式分解和解分式方程。旨在让学生期末考试计算、因式分解和解分式方程能顺利过
关，不失分。
类型一 数式计算
1．（2022秋•如皋市期末）计算：
1
（1）（﹣3）0﹣（ ）﹣2+（❑√5）2；
3
√1
（2）❑√48÷❑√3−❑ ×❑√12+❑√24．
2
【思路引领】（1）利用零指数幂、负整数指数幂和二次根式的性质计算；
（2）先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣9+5
＝﹣3；
√1
（2）原式=❑√48÷3−❑ ×12+2❑√6
2
＝4−❑√6+2❑√6
＝4+❑√6．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、
零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
1
2．（2021秋•崇川区期末）计算：（❑√3−1）0+（ ）﹣1+❑√4．
3
【思路引领】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
1
【解答】解：（❑√3−1）0+（ ）﹣1+❑√4
3
＝1+3+2
＝6．
【总结提升】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运
算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
3．（2021秋•崇川区期末）计算：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）．
【思路引领】分别根据完全平方公式和平方差公式计算即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差
相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【解答】解：（3a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）
＝9a2+6ab+b2﹣a2+b2
＝8a2+6ab+2b2．
【总结提升】本题考查了平方差公式和完全平方公式，掌握相关公式是解答本题的关键．
4．（2022秋•如东县期末）计算：
√1 1 0
（1）（❑√12−❑ ）×❑√3+( ) ；
3 2
（2）（m﹣1）2﹣m（m﹣3）．
【思路引领】（1）根据实数的混合运算法则解答即可；
（2）根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则解答即可
√1
【解答】解：（1）原式=❑√12×3−❑ ×3+1
3
＝6﹣1+1
＝6；
（2）原式＝m2﹣2m+1﹣m2+3m
＝m+1．
【总结提升】此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2022秋•海安市期末）计算：
（1）（6x4﹣8x3）÷2x2；
（2）（x﹣2y）（x+y）．
【思路引领】（1）利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答；
（2）利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（6x4﹣8x3）÷2x2
＝6x4÷2x2﹣8x3÷2x2
＝3x2﹣4x；
（2）（x﹣2y）（x+y）
＝x2+xy﹣2xy﹣2y2
＝x2﹣xy﹣2y2．
【总结提升】本题考查了整式的除法，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2022秋•如皋市校级期末）计算：
1
（1）|❑√2−1|+(−π) 0−( ) −2 ；
2√1 ❑√12
（2）2❑ −❑√24÷❑√3+ ．
2 2
【思路引领】（1）根据绝对值，零指数幂，负整数指数幂计算即可；
（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式=❑√2−1+1−4
=❑√2−4；
❑√2 2❑√3
（2）原式=2× −2❑√6÷❑√3+
2 2
=❑√2−2❑√2+❑√3
=❑√3−❑√2．
【总结提升】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂的性质，
以及二次根式混合运算法则是解题关键．
7．（2022秋•海门市期末）计算：
（1）(❑√8+❑√3)×❑√6；
（2）(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)．
【思路引领】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）(❑√8+❑√3)×❑√6=(2❑√2+❑√3)×❑√6=2❑√12+❑√18=4❑√3+3❑√2．
（2）(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2−(❑√3) 2=5﹣3＝2．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
8．（2022秋•南通期末）计算：
√1
（1）❑√24−❑√18×❑ ；
3
（2）（3x+y）2+（x+y）（x﹣y）．
【思路引领】（1）先化简各式，再进行计算；
（2）用利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式=2❑√6−❑√6=❑√6；
（2）原式＝9x2+6xy+y2+x2﹣y2＝10x2+6xy．
【总结提升】本题考查二次根式的混合运算，整式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
√ 1
9．（2022秋•如东县期末）计算：（1）2﹣2+❑√2(❑√2−1)−(π−2019) 0−❑ ；
161 3
（2）( a2b)⋅(−2ab2 ) 2÷(− a2b4 )．
8 4
【思路引领】（1）根据负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的乘除运算法则即可求出答
案．
（2）根据积的乘方运算、整式的乘除运算法则即可求出答案．
1 1
【解答】解：（1）原式= +2−❑√2−1−
4 4
＝1−❑√2．
1 3
（2）原式= a2b•（4a2b4）÷（− a2b4）
8 4
1 3
＝（ a4b5）÷（− a2b4）
2 4
2
=− a2b．
3
【总结提升】本题考查负整数指数幂的意义、零指数幂的意义、二次根式的乘除运算法则、积的乘方运
算、整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
10．（2020秋•海安市校级期末）计算
（1）（﹣x）3×x4×（﹣x）2；
（2）已知：10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．
【思路引领】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）（﹣x）3×x4×（﹣x）2
＝﹣x3×x4×x2
＝﹣x9；
（2）当10m＝4，10n＝5时，
103m+2n
＝103m×102n
＝（10m）3×（10n）2
＝43×52
＝64×25
＝1600．
【总结提升】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．√2
11．（2021秋•通州区期末）计算：（1）(2❑√48−3❑ )÷❑√3；
3
（2）4（m+1）2﹣（2m+3）（2m﹣3）．
【思路引领】（1）先进行二次根式的除法运算，然后化简即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后去括号后合并即可．
√2
【解答】解：（1）原式＝2❑√48÷3−3❑ ÷3
3
√2
＝2❑√16−3❑
9
＝8−❑√2；
（2）原式＝4（m2+2m+1）﹣（4m2﹣9）
＝4m2+8m+4﹣4m2+9
＝8m+13．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、
乘法公式是解决问题的关键．
12．（2021秋•海门市期末）计算：
（1）（3x+1）（x﹣2）；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．
【思路引领】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后合并同类项进行化简；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算乘方，乘法，然后去括号，合并同类项进行化简．
【解答】解：（1）原式＝3x2﹣6x+x﹣2
＝3x2﹣5x﹣2；
（2）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
【总结提升】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）
（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．
13．（2021秋•海门市期末）计算：
√1
（1）2❑√12−6❑ +3❑√48；
3
（2）（❑√2+3）（❑√2−5）．
【思路引领】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）先根据二次根式的乘法法则进行计算，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝4❑√3−2❑√3+12❑√3
＝14❑√3；
（2）原式＝2﹣5❑√2+3❑√2−15
＝﹣13﹣2❑√2．
【总结提升】本题考查了二次根式的混合运算，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关
键．
14．（2021秋•海门市期末）计算：
5 2m−4
（1）（m+2+ ）⋅ ；
2−m 3−m
x+2 x−1 x−4
（2）（ − ）÷ ．
x2−2x x2−4x+4 x
【思路引领】（1）根据分式的加减运算以及乘法运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及除法运算法则即可求出答案．
(m+2)(m−2) 5 2(m−2)
【解答】解：（1）原式＝[ − ]•
m−2 m−2 3−m
m2−4−5 2(m−2)
= •
m−2 3−m
2(m2−9)
=
3−m
2(m+3)(m−3)
=
−(m−3)
＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6．
x+2 x−1 x
（2）原式＝[ − ]•
x(x−2) (x−2) 2 x−4
(x+2)(x−2)−x(x−1)• x
=
x(x−2) 2 x−4
x−4 x
=
•
x(x−2) 2 x−4
1
=
(x−2) 21
= ．
x2−4x+4
【总结提升】本题考查分式的加减运算以及乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本
题属于基础题型．
√1 √1
15．计算：❑√24−❑√18×❑ −18❑ ．
3 6
√ 1 ❑√6
【解答】解：原式＝2❑√6−❑18× −18×
3 6
＝2❑√6−❑√6−3❑√6
＝﹣2❑√6．
16．（2021秋•启东市期末）（1）计算：(❑√3−1)(❑√3+1)−(❑√18−❑√24)÷❑√6；
【解答】解：（1）原式＝3﹣1﹣（❑√18÷❑√6−❑√24÷❑√6）
＝3﹣1﹣（❑√3−2）
＝3﹣1−❑√3+2
＝4−❑√3；
类型二 因式分解
17．（2022秋•如东县期末）分解因式：
（1）4x3﹣xy2；
（2）3x（x﹣4）+12．
（3）﹣3ax2+18axy﹣27ay2．
【思路引领】（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先根据单项式乘多项式的计算方法化简后，再提公因式、利用完全平方公式进行因式分解．
（3）先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝x（4x2﹣y2）
＝x（2x+y）（2x﹣y）；
（2）原式＝3x2﹣12x+12
＝3（x2﹣4x+4）
＝3（x﹣2）2．
（3）﹣3ax2+18axy﹣27ay2
＝﹣3a（x2﹣6xy+9y2）
＝﹣3a（x﹣3y）2．【总结提升】本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正
确解答的前提．
18．（2022秋•海门市期末）因式分解：
（1）x3﹣9x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
【思路引领】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：（1）x3﹣9x
＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3）；
（2）3x2﹣12xy+12y2
＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
【总结提升】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必
须先提公因式．
19．（2021秋•如皋市期末）（1）因式分解：﹣x3+9xy2；
【思路引领】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解；
【解答】解：（1）原式＝﹣x（x2﹣9y2）
＝﹣x（x+3y）（x﹣3y）；
20．（2020秋•崇川区校级期末）因式分解：
（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
（2）3a2﹣48．
【思路引领】（1）利用乘法公式进行计算，再利用公式法进行因式分解；
（2）先提公因式，再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2＝2n（6m+5n）；
（2）原式＝3（a2﹣16）＝3（a+4）（a﹣4）．
【总结提升】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正
确应用的前提．
21．（2021秋•通州区期末）分解因式：
（1）2x2﹣8y2；
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2．【思路引领】（1）先提公因式，再逆用平方差公式．
（2）逆用完全平方公式，再进行化简．
【解答】解：（1）2x2﹣8y2
＝2（x2﹣4y2）
＝2（x+2y）（x﹣2y）．
（2）4+12（m﹣1）+9（m﹣1）2
＝[2+3（m﹣1）]2
＝（3m﹣1）2．
【总结提升】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
类型三 化简求值
22．（2022秋•启东市期末）（1）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值；
（2）先化简，再求值： x2 x ，其中x＝3．
(x−1− )÷
x+1 x2+2x+1
【思路引领】（1）根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则运算，再将 5x2﹣x＝1整体
代入化简后的代数式求值即可；
（2）先化简分式，再代入求值即可．
【解答】解：（1）（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）
＝9x2﹣4+x2﹣2x
＝10x2﹣2x﹣4，
∵5x2﹣x﹣1＝0，
∴5x2﹣x＝1，
∴（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）
＝2（5x2﹣x）﹣4
＝2﹣4
＝﹣2；
（2） x2 x
(x−1− )÷
x+1 x2+2x+1
x2−1−x2 x
= ÷
x+1 (x+1) 2−1 (x+1) 2
= ⋅
x+1 x
−1−x
= ，
x
4
当x＝3时，原式=− ．
3
【总结提升】本题考查整式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多
项式的运算法则，分式的化简方法是解题的关键．
x+2 x−1 x−4
23．（2022秋•如东县期末）先化简：( − )÷ ，再给x在﹣2，0，2，4中取一个
x2−2x x2−4x+4 x
合适的值代入求值．
【思路引领】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算
即可．
【解答】解：原式＝[ x2−4 x2−x ]• x
−
x(x−2) 2 x(x−2) 2 x−4
x−4 x
=
•
x(x−2) 2 x−4
1
=
，
(x−2) 2
∵x（x﹣2）≠0且x﹣4≠0且x≠0，
∴x≠0且x≠2且x≠4，
则x＝﹣2，
1 1
= =
∴原式 ．
(−2−2) 2 16
【总结提升】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式
有意义的条件．
24．（2022秋•海安市期末）（1）先化简，再求值：x2−4x+4 x−2 3，其中x＝﹣1．
÷ +
x2−4 x2+2x
【思路引领】（1）先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；
【解答】解：（1）x2−4x+4 x−2 3
÷ +
x2−4 x2+2x(x−2) 2 •x(x+2) 3
= +
(x+2)(x−2) x−2
＝x+3，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+3＝2；
25．（2022秋•如皋市校级期末）先化简，再求值：
（1）（2x﹣3y）（2x+3y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝3，y＝1；
（2） 3 a3 ，其中a2﹣a﹣3＝0．
(1− )÷
a+3 a2+6a+9
【思路引领】（1）先根据完全平方公式和平方差公式将式子化简，再代入x＝3，y＝1，求出值即可；
（2）先通分和利用完全平方公式将式子化简，再由a2﹣a﹣3＝0得出a2＝a+3，整体代入进行计算即可
得到答案．
【解答】解：（1）（2x﹣3y）（2x+3y）﹣（2x﹣y）2
＝4x2﹣9y2﹣（4x2﹣4xy+y2）
＝4x2﹣9y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝4xy﹣10y2，
将x＝3，y＝1代入得，
原式＝4×3×1﹣10×12
＝12﹣10
＝2；
（2） 3 a3
(1− )÷
a+3 a2+6a+9
a+3 3 a3
=( − )÷
a+3 a+3 (a+3) 2
a (a+3) 2
= ×
a+3 a3
a+3
= ，
a2
∵a2﹣a﹣3＝0，
∴a2＝a+3，∴原式＝1．
【总结提升】本题考查了整式的化简求值以及分式的化简求值，掌握平方差公式和完全平方公式将式子
进行化简是关键．
26．（2022秋•海门市期末）先化简，再求值： x2−1 x+1•1−x，其中x 1．
÷ =
x2−2x+1 x−1 1+x 2
【思路引领】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解：(x+1)(x−1)•x−1•1−x
(x−1) 2 x+1 1+x
1−x
= ，
1+x
1
1−
1 2 1
当x= 时，原式= = ．
2 1 3
1+
2
【总结提升】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加
减，有括号的先算括号里面的．
27．（2022秋•南通期末）先化简，再求值：x2−4x+4 x+1 1 ，其中 1．
⋅ + x=
x2−1 x2−2x x−1 2
【思路引领】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再进行分式乘法，最后通分进行分式的加法，约
分后再代入求值即可
【解答】解：原式 (x−2) 2 • x+1 1
= +
(x+1)(x−1) x(x−2) x−1
x−2 1
= +
x(x−1) x−1
x−2 x
= +
x(x−1) x(x−1)
x−2+x
=
x(x−1)
2x−2
=
x(x−1)2(x−1)
=
x(x−1)
2
= ．
x
1
当x= 时，原式＝4．
2
【总结提升】本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的加减是解题的关键．
28．（2022秋•如东县期末）先化简，再求值：（1 m ） m2−3m ，其中m＝4 ．
− ÷ ❑√3
m−3 m2−6m+9
【思路引领】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（m−3 m ） m(m−3)
− ÷
m−3 m−3 (m−3) 2
m−3−m m−3
= ⋅
m−3 m
3
=− ，
m
当m＝4❑√3时，
3 3❑√3 ❑√3
原式=− =− =− ．
4❑√3 4❑√3×❑√3 4
【总结提升】本题考查分式的化简求值，二次根式分母有理化计算，理解二次根式的性质，掌握分式混
合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是
解题关键．
29．（2020秋•如皋市期末）先化简，再求值：
1
（1）[（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）]÷2b，其中a= ，b＝﹣1；
2
（2）（ 3 a+1） a2−4 ，其中a＝﹣3．
− ÷
a+1 a2+2a+1
【思路引领】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求
出答案即可；
（2）先根据分式的加减进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出
答案即可．
【解答】解：（1）原式＝（4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2）÷2b＝（﹣4ab+2b2）÷2b
＝﹣2a+b，
1 1
当a= ，b＝﹣1时，原式＝﹣2× +（﹣1）＝﹣1+（﹣1）＝﹣2；
2 2
（2）原式＝[ 3 （a﹣1）] (a+2)(a−2)
− ÷
a+1 (a+1) 2
3−(a−1)(a+1)• (a+1) 2
=
a+1 (a+2)(a−2)
−a2+4• (a+1) 2
=
a+1 (a+2)(a−2)
(a+2)(a−2)• (a+1) 2
=−
a+1 (a+2)(a−2)
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣1＝3﹣1＝2．
【总结提升】本题考查了整式、分式的化简与求值，能正确根据整式、分式的运算法则进行化简是解此
题的关键，注意运算顺序．
30．（2021秋•如皋市期末）（1）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝1，y＝﹣
1；
a2−1 a+1
（2）先化简（ −a﹣1）÷ ，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数作为a的值代入求
a−3 a2−6a+9
值．
【思路引领】（1）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即
可；
（2）先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答
案即可．
【解答】解：（1）（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2，
当x＝1，y＝﹣1时，原式＝12×1×（﹣1）+10×（﹣1）2
＝﹣12+10×1
＝﹣12+10
＝﹣2；
a2−1 a+1
（2）（ −a﹣1）÷
a−3 a2−6a+9
a2−1 (a+1)(a−3) (a−3) 2
＝[ − ]•
a−3 a−3 a+1
a2−1−a2+3a−a+3 (a−3) 2
= •
a−3 a+1
2a+2 (a−3) 2
= •
a−3 a+1
2(a+1) (a−3) 2
= •
a−3 a+1
＝2（a﹣3）
＝2a﹣6，
要使分式有意义，必须a﹣3≠0，a+1≠0，
即a不能为3和﹣1，
取a＝0，
当a＝0时，原式＝2×0﹣6＝﹣6．
【总结提升】本题考查了整式的化简求值和分式的化简求值，能正确根据整式的运算法则和分式的运算
法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
31．（2021秋•通州区期末）先化简：x2−4x+4 x−2 ，再将x在﹣2，0，1，2中取一个合适的
÷ +3
x2−4 x2+2x
值代入求值．
【思路引领】原式第一项分子分母分解因式后，利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入
计算即可求出值．
【解答】解：原式 (x−2) 2 x−2 3
= ÷ +
(x+2)(x−2) x(x+2)(x−2) 2 •x(x+2) 3
= +
(x+2)(x−2) x−2
＝x+3，
当x＝﹣2，0，2时，原式没有意义；
当x＝1时，原式＝1+3＝4．
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2x 1
（2）解方程： − =1．
2x−3 2x+3
【思路引领】（1）直接利用平方差公式以及二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接找出最简公分母，进而去分母解方程，再检验得出答案．
（2）方程两边同乘（2x﹣3）（2x+3）得：
2x（2x+3）﹣（2x﹣3）＝（2x﹣3）（2x+3），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入（2x﹣3）（2x+3）＝27≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣3．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的混合运算以及分式方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题
关键．
2 a+2 a
32．（2020秋•崇川区校级期末）先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中a=❑√5−1．
a+1 a2−1 a−1
【思路引领】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
2(a−1)+a+2 a−1
【解答】解：原式= •
(a+1)(a−1) a
3a a−1
= •
(a+1)(a−1) a
3
= ，
a+1
3 3❑√5
当a=❑√5−1时，原式= = ．
❑√5−1+1 5
【总结提升】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
类型四 解分式方程
x−3 3
33．解方程： − =2．
2x−5 5−2x【思路引领】方程两边都乘2x﹣5得出x﹣3+3＝2（2x﹣5），求出方程的解，再进行检验即可．
x−3 3
【解答】解： − =2，
2x−5 5−2x
方程两边都乘2x﹣5，得x﹣3+3＝2（2x﹣5），
10
解得：x= ，
3
10
检验：当x= 时，2x﹣5≠0，
3
10
所以x= 是分式方程的解，
3
10
即分式方程的解是x= ．
3
【总结提升】本题考查了分式的化简求值和解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行计算是解
（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
3 1 5
34．（2022秋•海门市期末）解方程： − = ．
2 3x−1 6x−2
7
【思路引领】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2＝5解得y= ，最后求出x的值．
3
【解答】解：设3x﹣1＝y则原方程可化为：3y﹣2＝5，
7
解得y= ，
3
7 10
∴有3x﹣1= ，解得x= ，
3 9
10
将x= 代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，
9
10
∴x= 是原分式的解．
9
【总结提升】本题主要考查用换元法解分式方程，求出结果一定要注意必须检验．
2+x 16
35．（2022秋•如东县期末）解方程： + =−1；
2−x x2−4
【思路引领】方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出﹣（x+2）2+16＝﹣（x+2）（x﹣2），求出方程的解，
再进行检验即可；
2+x 16
【解答】解： + =−1，
2−x x2−42+x 16
+ =−1，
−(x−2) (x+2)(x−2)
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得﹣（x+2）2+16＝﹣（x+2）（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x＝2是增根，
即分式方程无解；
【总结提升】本题考查了解分式方程和分解因式，能把分式方程转化成整式方程是解题的关键
2x 1
36．解方程： − =1．
2x−3 2x+3
【思路引领】直接找出最简公分母，进而去分母解方程，再检验得出答案．
【解答】解：方程两边同乘（2x﹣3）（2x+3）得：
2x（2x+3）﹣（2x﹣3）＝（2x﹣3）（2x+3），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入（2x﹣3）（2x+3）＝27≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣3．
【总结提升】此题主要考查了二次根式的混合运算以及分式方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题
关键．
