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第 14 章 整式的乘法与因式分解全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3•a3•a3＝3a3
C．2a4•3a5＝6a9 D．（﹣a3）4＝a7
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对
各项进行运算即可．
【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3•a3•a3＝a9，故B不符合题意；
C、2a4•3a5＝6a9，故C符合题意；
D、（﹣a3）4＝a12，故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列等式从左到右是因式分解的是（ ）
A．（3﹣a）（3+a）＝9﹣a2 B．a2+2a﹣3＝a（a+2）﹣3
1
C．a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1） D．a2+1=a(a+ )
a
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．等式由左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式由左边到右边的变形属于因式分解，并且正确，故本选符合题意；
D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（3 分）若 x2+2（m﹣3）x+1 是完全平方式，x+n 与 x+2 的乘积中不含 x 的一次项，则 nm的值为（ ）
A．﹣4 B．16 C．﹣4或﹣16 D．4或16
【分析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出 m与n的值，代入原式计算即可求出
值．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m﹣3＝±1，n+2＝0，
解得：m＝4或m＝2，n＝﹣2，
当m＝4，n＝﹣2时，nm＝16；
当m＝2，n＝﹣2时，nm＝4，
则nm＝4或16，
故选：D．
4．（3分）如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个
边长为（3a+4b）的正方形，则需要C类卡片（ ）张．
A．9 B．24 C．16 D．7
【分析】由题意知长为（3a+4b），宽也为（3a+4b）的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
【解答】解：边长为（3a+4b）的正方形的面积为（3a+4b）（3a+4b）＝9a2+24ab+16b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要C类卡片24张．
故选：B．
5．（3分）已知a、b、c为一个三角形的三边长，则4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值为（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可正可负 D．非负
【分析】先将4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2进行因式分解，再根据三角形三边关系即可作答．
【解答】解：4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2
＝（2bc﹣b2﹣c2+a2）（2bc+b2+c2﹣a2）
＝[a2﹣（b﹣c）2][（b+c）2﹣a2]
＝（a﹣b+c）（a+b﹣c）（b+c+a）（b+c﹣a）＞0．故4b2c2﹣（b2+c2﹣a2）2的值恒为正．
故选：A．
6．（3分）我们知道下面的结论：若am＝an（a＞0，且a≠1），则m＝n．利用这个结论解决下列问题：
设3a＝2，3b＝4，3c＝32，则下列关于a，b，c三者之间的关系式中不正确的是（ ）
A．a+2b＝c B．a+c＝3b C．b+c＝6a D．3a+b＝c
【分析】根据幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法运算法则运算即可．
【解答】解：∵3a＝2，3b＝4＝22，3c＝32＝25，
∴2a＝b，5a＝c，
A、a+2b＝a+4a＝5a＝c，故选项计算正确，不符合题意；
B、a+c＝a+5a＝6a＝3b，故选项计算正确，不符合题意；
C、b+c＝2a+5a＝7a≠6a，故选项计算错误，符合题意；
D、3a+b＝3a+2a＝5a＝c，故选项计算正确，不符合题意；
故选：C．
7．（3分）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
【分析】把a2﹣2a﹣1＝0进行整理，得出a2﹣2a＝1，再将2a3﹣a2﹣8a+4变形，将前面的代入即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣a2﹣8a+4
＝2a•a2﹣a2﹣8a+4
＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4
＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4
＝3a2﹣6a+4
＝3（a2﹣2a）+4
＝3×1+4
＝7．
故选：B．
8．（3分）我们定义：一个整式能表示成a2+b2（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例
如：因为 M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x、y 是整式），所以 M 为“完全式”．若 S＝x2+4y2﹣
8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
【解答】解：S＝x2﹣8x+16+4y2+12y+9+k﹣25＝（x﹣4）2+（2y+3）2+k﹣25，
∵S＝x2+4y2﹣8x+12y+k（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，
∴k﹣25＝0，
解得：k＝25，
故选：C．
9．（3分）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原
理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个
因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于
多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【分析】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【解答】解：∵x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y），
∵x＝52，y＝28，则各个因式的值为x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
10．（3分）已知实数m，n满足m2+n2＝2+mn，则（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为（ ）
44 16
A．24 B． C． D．﹣4
3 3
2
【分析】方法1、先化简（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）＝10﹣7mn，再判断出− ≤mn≤2，即可求
3
出答案．
1 2 7 44
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，进而得出mn= k2− ，进而得出原式＝10﹣7mn=− k2+
3 3 3 3
，即可求出答案．
【解答】解：方法1、∵m2+n2＝2+mn，
∴（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）
＝4m2+9n2﹣12mn+m2﹣4n2
＝5m2+5n2﹣12mn
＝5（mn+2）﹣12mn＝10﹣7mn，
∵m2+n2＝2+mn，
∴（m+n）2＝2+3mn≥0（当m+n＝0时，取等号），
2
∴mn≥− ，
3
∴（m﹣n）2＝2﹣mn≥0（当m﹣n＝0时，取等号），
∴mn≤2，
2
∴− ≤mn≤2，
3
14
∴﹣14≤﹣7mn≤ ，
3
44
∴﹣4≤10﹣7mn≤ ，
3
44
即（2m﹣3n）2+（m+2n）（m﹣2n）的最大值为 ，
3
故选：B．
方法2、设m+n＝k，则m2+2mn+n2＝k2，
∴mn+2+2mn＝k2，
1 2
∴mn= k2− ，
3 3
7 44 44
∴原式＝10﹣7mn=− k2+ ≤ ，
3 3 3
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
2
11．（3分）已知3m＝4，3n＝6，求92m+n÷27m+n的值 ．
3
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
【解答】解：∵3m＝4，3n＝6，
∴92m+n÷27m+n
＝（32）2m+n（33）m+n
＝34m+2n÷33m+3n
＝34m+2n﹣（3m+3n）
＝3m﹣n＝3m÷3n
＝4÷6
2
= ，
3
2
故答案为： ．
3
12．（3分）已知（x2+ax﹣4）（2x+b）的展开式中不含x2项，常数项是﹣8，则a﹣b＝ ﹣ 3 ．
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据（x2+ax﹣4）（2x+b）的展开式中不含
x2项和常数项是﹣8得出b+2a＝0且﹣4b＝﹣8，再求出a、b即可．
【解答】解：（x2+ax﹣4）（2x+b）
＝2x3+bx2+2ax2+abx﹣8x﹣4b
＝2x3+（b+2a）x2+（ab﹣8）x﹣4b，
∵（x2+ax﹣4）（2x+b）的展开式中不含x2项，常数项是﹣8，
∴b+2a＝0且﹣4b＝﹣8，
解得：a＝﹣1，b＝2，
∴a﹣b＝﹣1﹣2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）已知m+n＝8，mn＝15，则m2﹣mn﹣n2的值是 1 或﹣ 3 1 ．
【分析】由已知条件入手，把 m+n＝8两边同时平方，就可以出现m2+2mn+n2的形式，再结合mn＝
15，求出m﹣n的值后，再求m2﹣mn﹣n2的值即可．
【解答】解：∵m+n＝8，mn＝15，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
＝82﹣4×15
＝4，
∴m﹣n＝±2，
当m﹣n＝2时：
m2﹣mn﹣n2
＝m2﹣n2﹣mn
＝（m+n）（m﹣n）﹣mn
＝8×2﹣15
＝1，当m﹣n＝﹣2时：
m2﹣mn﹣n2
＝m2﹣n2﹣mn
＝（m+n）（m﹣n）﹣mn
＝8×（﹣2）﹣15
＝﹣31．
故答案为：1或﹣31．
14．（3分）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+8）（x﹣6），乙看
错了b的值，分解的结果为（x﹣6）（x﹣2），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 （ x +4 ）（ x ﹣
12 ） ．
【分析】根据题意先求出a、b的值，再根据十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：根据题意得，b＝8×（﹣6）＝﹣48，a＝﹣6+（﹣2）＝﹣8，
∴x2+ax+b＝x2﹣8x﹣48＝（x+4）（x﹣12），
故答案为：（x+4）（x﹣12）．
15．（3分）若正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，a+b＝6，ab＝7，则△AEG与△ADG
15
的面积之和为 ．
2
【分析】用代数式表示△AEG与△ADG的面积之和，再根据完全平方公式的结构特征进行计算即可．
【解答】解：如图，连接AC，由于AC是正方形ABCD的对角线，GE是正方形CEFG的对角线，
∴AC∥GE，
1
∴S△AGE ＝S△CGE = b2，
2
1 1 1 1
∵S阴影部分 = DG•AD= a（a﹣b）= a2− ab，
2 2 2 2
1 1 1 1
∴△AEG与△ADG的面积之和为 a2− ab+ b2= [（a+b）2﹣3ab]，
2 2 2 2
∵a+b＝6，ab＝7，1 15
∴△AEG与△ADG的面积之和为 ×[36﹣21]= ．
2 2
15
故答案为： ．
2
16．（3分）已知：x﹣y＝m，z﹣y＝4，x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz＝12，则m＝ 2 ．
1
【分析】由x﹣y＝m，z﹣y＝5，易得x﹣z＝m﹣4，然后把x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz＝12进行变形得到
2
1
（2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2yz﹣2xz）＝12，根据完全平方公式分组分解为 [（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]
2
＝12，再代入转化为方程求解．
【解答】解：∵x﹣y＝m，z﹣y＝4，
∴x﹣z＝m﹣4，
∴x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz＝12
1
∴ （2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2yz﹣2xz）＝12
2
1
∴ [（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]＝12，
2
∴m2+16+（m﹣4）2＝24，
∴m2﹣4m+4＝0，
（m﹣2）2＝0，
m＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）分解因式：
（1）ax2﹣8ax+16a；
（2）2a4﹣32．
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）ax2﹣8ax+16a
＝a（x2﹣8x+16）
＝a（x﹣4）2；
（2）2a4﹣32
＝2（a4﹣16）
＝2（a2+4）（a2﹣4）
＝2（a2+4）（a+2）（a﹣2）．
18．（6分）先化简，再求值，（2a﹣b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）+（2ab2﹣b3）÷b，其中a＝2，b＝（﹣
3）0．
【分析】将原式中的第一项利用完全平方公式进行化简，第二项利用平方差公式进行化简，第三项利用
多项式除以单项式的法则计算，最后去括号后合并同类项即可得到最简结果，再将 a和b的代入计算即
可求值．
【解答】解：原式＝（4a2﹣4ab+b2）﹣（4a2﹣b2）+（2ab﹣b2）
＝4a2﹣4ab+b2﹣4a2+b2+2ab﹣b2
＝﹣2ab+b2，
当a＝2，b＝（﹣3）0＝1时，
原式＝﹣2×2×1+12＝﹣3．
19．（6分）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：
（1）如果2×4x×8x＝221，求x的值；
（2）如果3a+2•5a+2＝153a﹣4，求a的值．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵2×4x×8x＝221，
∴2×（22）x×（23）x＝221，
∴2×22x×23x＝221，
∴21+2x+3x＝221，
∴21+5x＝221，
∴1+5x＝21，
解得：x＝4，
∴x的值为4；
（2）∵3a+2•5a+2＝153a﹣4，∴（3×5）a+2＝153a﹣4，
∴15a+2＝153a﹣4，
∴a+2＝3a﹣4，
解得：a＝3，
∴a的值为3．
20．（8分）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．
（1）（﹣2，16]＝ 4 ；若（2，y]＝6，则y＝ 6 4 ；
（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；
2ab
（3）若（5，10]＝a，（2，10]＝b，令t= ．
a+b
①求25a的值；②求t的值．
16b
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则和有理数的乘方解答；
（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；
（3）①根据幂的乘方和新定义解答即可；
②根据定义分别计算a+b和ab，从而解答即可．
【解答】解：（1）∵（﹣2）4＝16，
∴（﹣2，16]＝4，
∵（2，y]＝6，且26＝64，
∴y＝64，
故答案为：4，64；
（2）∵（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝y，
∵a+b＝c，
∴4a+b＝4c，即4a•4b＝4c，
∴y＝12×5＝60；
（3）①∵（5，10]＝a，（2，10]＝b，
∴5a＝10，2b＝10，
∴52a＝100，24b＝10000，
∴25a＝100，16b＝1000，∴25a 100 1 ；
= =
16b 10000 100
②∵（5a）b＝10b，
∴5ab＝10b，
∴（5，10b]＝ab，
由①知：5a＝10，2b＝10，
∴5a•5b
＝10×5b
＝2b×5b，
∴5a•5b＝10b，
∴5a+b＝10b，
∴（5，10b]＝a+b，
∴ab＝a+b，
2ab
∵t= ．
a+b
∴t＝2．
21．（8分）（1）填空并观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）＝ a 2 ﹣ b 2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；
（a﹣b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）＝a5﹣b5；
…
可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝ a 202 5 ﹣ b 202 5 ．
（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝ a n ﹣ b n （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：37﹣36+35⋯+33﹣32+3．
【分析】（1）根据平方差公式和规律即可得出答案；
（2）根据（1）的规律可得结果；
（3）把（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝8代入即可求解．
【解答】解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
可得到（a﹣b）（a2024+a2023b+⋯+ab2023+b2024）＝a2025﹣b2025；
故答案为：a2﹣b2；a2025﹣b2025；（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+⋯+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）；
故答案为：an﹣bn；
（3）设（2）中式子中的a＝3，b＝﹣1，n＝8，
则有[3﹣（﹣1）][37+36•（﹣1）+35•（﹣1）2+⋯+3•（﹣1）6+（﹣1）7）]＝38﹣（﹣1）8，
即4×（37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1）＝38﹣1，
38−1
∴37﹣36+35+…+33﹣32+3﹣1= ，
4
38−1 38+3
∴37﹣36+35+…+33﹣32+3= +1= ．
4 4
22．（8分）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式“，如果一个多项式不是完全平
方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式
子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不
能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：分解因式：x2+2x﹣3．
解：原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣
8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7＝ （ x + 1 ）（ x ﹣ 7 ） ．（直接写出结果）
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+5有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试求出等式a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0中a，b的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当 x为何值时，所求式子取得最大值，并
求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【解答】解：（1）（x+1）（x﹣7）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x2+2x）+5＝﹣2（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣2（x+1）2+7，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+5有最大值，最大值是7；
（3）∵a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，
∴a2﹣4ab+4b2+b2﹣2b+1＝0，∴（a2﹣4ab+4b2）+（b2﹣2b+1）＝0，
∴（a﹣2b）2+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣2b＝0，b﹣1＝0，
解得a＝2，b＝1．
23．（10分）综合与实践．
学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长
为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．
（1）选取 1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图 2的方式拼成一个边长为
（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 （ a + b ） 2 ＝ a 2 + 2 a b + b 2
．
（2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式 a2+5ab+6b2分解因
式为 （ a + 3 b ）（ a + 2 b ） ．
（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长
度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S ，S ，若Q＝S ﹣
1 2 1
S ，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由．
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【分析】（1）依据题意，用两种方法表示图2的面积，即可得出公式；
（2）依据题意，观察图形紧扣长乘以宽得面积，进而可以得解；
（3）依据题意，设MN长为x，求出S ，S 即可解决问题．
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【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2，
方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2，
因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由题意得，图3中长方形的长是a+3b，宽是a+2b，
∴a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）．
故答案为：（a+3b）（a+2b）．（3）设MN长为x．
∵S ＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S ＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
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∴Q＝S ﹣S ＝（a﹣3b）x﹣a2+2ab，
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由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变化，
可知当a﹣3b＝0时，即a＝3b时，Q＝﹣a2+2ab为定值．
