文档文本内容
第 26 讲 Y=sin(wx+b)的图像与性质
【基础知识全通关】
1.用五点法作函数 的图象
用“五点法”作 的简图，主要是通过变量代换，设 ，由
z取 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
y Asin(x)
【微点拨】用“五点法”作 图象的关键是点的选取，其中横坐标成
等差数列，公差为 .
2.函数 中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅， 叫做周
期， 叫做频率， 叫做相位，x=0时的相位 称为初相.
3.由 得图象通过变换得到 的图象
（1）振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长
(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，
最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.
（2）周期变换：
函数 的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍(纵坐标不变).若 则可用诱导公式将
符号“提出”再作图. 决定了函数的周期.
（3）相位变换：
函数 (其中 )的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左
(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动 个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方
向：“左加右减”).
【微点拨】一般地，函数 的图象可以看作是
用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动 个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短 或伸长 到原来的 倍(纵坐标不
变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).
【考点研习一点通】
考点一：三角函数 的图象
π
3
例1.画出函数y=sin(x+ )，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
π 2π 7π 5π
x
6 3 6 3
π π 3π
0 π
3 2 2
x+π
0 1 0 -1 0
3
sin(x+ )
描点画图：
法二：(图象变换)
π π
3 3
函数y=sin(x+ )，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动 个单位长度
而得到.
【变式1-1】已知函数 ．
【变式1-2】如何由函数y=sin x的图象得到函数 的图象？考点二：三角函数 的解析式
例2.如图，它是函数 ，
的图象，由图中条件，写出该函数解析式.
【变式2-1】函数 的图象如下图，确定A、ω、 的值，确定其一个函
数解析。
【变式2=2】（1）已知函数 的图象如下图①所示，求解析式：
（2）函数 的图象如下图②所示，确定A、ω、 的值，确定其一个函数
解析式。【变式2-3】已知函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象的一个最高
点为 ，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解
析式．
考点三：函数 的性质的综合运用
例3．函数 的图象如图所示，试依图推出：
（1） 的最小正周期；
（2） 时x的取值集合；
（3）使 的x的取值集合；
（4） 的单调递增区间和递减区间；
（5）使 取最小值时的x的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心；（8）要使 成为偶函数，应对 的图象作怎样的平移变换？
【变式3-1】已知函数 的图象过点 ，图象上与点
最近的一个最高点是 ．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数 的递增区间．
【变式3-2】已知函数 的图象过点 ，图象上与点
最近的一个最高点是 。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数 的递增区间。【考点易错】
1．已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数
的图象，只要将 的图象（ ）
A． 向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2.函数 （A＞0，ω＞0， ）的图象如图所示，为了得到
y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度3.已知函数 （其中 ）的周期为 ，且
图象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的最值.
4．已知函数 其中 ，
（I）若 求 的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函
数 的解析式；并求最小正实数 ，使得函数 的图像象左平移 个单位所对应
的函数是偶函数．
【点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出 ，由 ，
，求出 的值．（Ⅱ）由题意求得， ，故 ，进一步求出 的解析式．5.已知f（x）的定义域为[－π，π]，且f（x）为偶函数，且当 x∈[0，π]时，
．
（1）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（2）若 ，求x的所有可能取值．
【巩固提升】
1.已知函数 在一个周期内，当 时，取得最大值2，当 时
取得最小值-2，那么( )2．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的 倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的 倍，横坐标变为原来的2倍
3．已知函数 的最小正周期为π，将 的图象向
左平移| |个单位长度，所得图象关于y轴对称，则 的一个值是（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝ 的图象( )
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
5．要得到y＝ 的图象，只需将y＝ 的图象( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6．为得到函数 的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
7．函数 的图象为C，
①图象 C 关于直线 对称；②函数 在区间 内是增函数；③由
y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C．以上三个结论中，正确结论的个
数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数 的图象经 平移后所得的图象关于点 中心对
称．
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
9．函数 的最小值为―2，其图象上相邻的最高点
与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．10．函数f(x)＝2sin ，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－ π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋ π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－ ，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋ ，k∈Z}
11．已知a是实数，则函数 的图象不可能是（ ）
12．若函数 对于任意的 都有 成立，则
的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．4
13．有下列四种变换方式：
①向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ；②横坐标变为原来的 ，再向左平移 ；③
横坐标变为原来的 ，再向左平移 ；④向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ．
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为 的图象的是________．
12 ． 如 图 是 函 数 的 图 象 的 一 部 分 ， 则
A=________， =________， =________．14．函数 （A，ω， 为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象
如下图所示，则ω=________．
15 ． 函 数 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则
．
16．已知函数 （A＞0，ω＞0）的图象过点 ，图象与P点最近
的一个最高点坐标为 ，
（1）求函数解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0时，x的取值范围．π
x=
f(x)=sin(2x+ϕ) (−π<ϕ<0),y=f(x) 8
17．设函数 图象的一条对称轴是直线 .
(Ⅰ)求ϕ；
y=f (x)
(Ⅱ)求函数 的单调增区间.
18．已知函数 ， 的图象关于点
对称，且在区间 上是单调函数，求 的值．
