第23讲三角恒等变换（1）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 23 讲 三角恒等变换（1） 【基础知识网络图】 C S T    三 两角和与差的 角 三角函数公式 恒 C S T 等    简单的三角 变 恒等变换 换 倍角公式 C S T 2 2 2 【基础知识全通关】 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S ； (α±β) cos(α±β)＝ cosαcosβ ∓ sinαsinβ ，简记作C (α±β) ； tan(α±β)＝ ，简记作 T (α±β)． 2. 二倍角公式 sin2α＝2sinα·cosα； tan2α＝； cos2α＝ co s 2 α － si n 2 α ＝ 2co s 2 α － 1＝ 1 － 2si n 2 α ． 3. 辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝ sin( x ＋ φ )，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝. 4. 公式的逆用及有关变形 tanα±tanβ＝ tan(α±β)( 1 ∓ tanα·tanβ )； sinα±cosα＝sin(α±)； sinα·cosα＝sin2α； 1＋sin2α＝ (sinα ＋ cosα ) 2； 1－sin2α＝ (sinα － cosα ) 2； sin2α＝； cos2α＝； tan2α＝ ( 降幂公式 ) ； 1－cos2α＝ 2si n 2 α ；1＋cos2α＝ 2co s 2 α (升幂公式)． 【考点研习一点通】 考点01化简与求值 1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1) (2) sin218cos212sin18cos12 (3) sin2(18)cos248sin(18)cos48 (4) sin2(25)cos255sin(25)cos55 (5) Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 30 【点拨】注意到（2）中可以转换为 的函数值，从（2）计算入手. 1 3 sin215cos215sin15cos151 sin30 【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 2 4 sin2cos2(30)sincos(30) Ⅱ.证明: 【总结】例1是对公式的正用．本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公 式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. 【变式1-1】已知 ，求 的值。 【答案】 π π π sin(α+ )=sinαcos +cosαsin 6 6 6 【解析】【变式 1-2】已知 为第二象限的角，且 ，则 的值为 . 【答案】 【解析】 又 为第二象限的角，且 ，所以 所以原式 考点02角的变换与求值 2. 求值： π 2 3 cos cos πcos π 7 7 7 （1） ；（2） 【点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值. 【解析】 （1）原式= ；π 2 4 π 2 4 cos cos πcos(π− π)=−cos cos πcos π 7 7 7 7 7 7 （2）原式= 【总结】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的 2倍；③ 最大角的2倍与最小角的和与差是。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到 掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则 可考虑采用这个方法。 【变式2-1】求值： （1） ；（2） . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）原式= 2sin400cos400cos800 2sin800cos800 = = 2×2sin200 8sin200 sin1600 1 = 8sin200 8 = （2）考点03三角形恒等综合 3．已知 ， ，且 ，求 的值. 【点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑 正切值的计算，同时通过估算 的区间求出正确的值. 【解析】 ， 而 ，故 ， 又 ， ，故 ， 从而 ， 而 ， ，而 ， ， 又 ， 【总结】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值， 再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算 的区 间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧， ， ，这些都要予以注意. 【考点易错】 1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)． 【解析】 ∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π， ∴cos＝＝， sin＝＝， ∴cos＝cos＝ coscos＋sinsin＝ ×＋×＝，∴cos(α＋β)＝ 2cos2－1＝2×－1＝－. 2、(1) 已知 ＝，则sin2x＝________． (2) 已知 ，则cos4x的值为________． 【答案】：(1) － (2) － 【解析】：(1) 因为sin2x＝cos＝cos2＝2cos2－1， 所以sin2x＝2×－1＝－1＝－． (2) 由已知得sin cos＝－， ∴ cos2＝． ∴ sin2x＝cos＝2cos2－1＝－． ∴ cos4x＝1－2sin22x＝1－＝． 3、化简：(0<θ<π)． 【解析】： 由θ (0，π)，得0<<，∴ cos>0． 因此＝＝2cos． 又(1＋sinθ＋cosθ)＝ ＝2cos＝－2coscosθ． 故原式＝＝－cosθ． 【巩固提升】 1．已知 ，则A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： ， 则： ， ， 从而有： ， 即 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题. 2、已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，得 ，即 ，解得 或 （舍去），又 ，故选A． 3．在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB= A． B．2 C．4 D．8 【答案】C【解析】设 故选：C 【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础 题. 4、已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得： ，则： ， ，从而有： ，即 ．故选B． 5、已知 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【 解 析 】 ， ， ， ， ， ， ， ，故选 ． 6．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大 时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边 形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似 值的表达式是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ， 单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ， ， 则 . 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 7、已知 满足 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据两角和差的余弦公式得到 ，因为 ,得到sin = 或 代入得到结果为 . 故答案为:A． 【点睛】 三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α= ;形如 ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2- 2sinθcosθ=tan 等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ- cosθ)2=2的关系进行变形、转化. 8．若 ，则 __________． 【答案】【解析】 . 故答案 为. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题. 9．已知 = ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础 题. 10、已知 ，则 _______， _______． 【答案】 ； 【解析】 ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能 力，属基础题.11、已知 为锐角， ， . （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）因为 为锐角， ，所以 . 因为 为锐角，所以 ，同理可得， . 所以 . 所以 的值为 （2）由 ， ，得 . 因为 ， 为锐角，所以 所以 .所以 . 所以 的值为 12、 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. (1)若a= c，b=2 ，求 的面积； (2)若sinA+ sinC= ，求C. 【解析】(1)由题设及余弦定理得 ， 解得 (舍去)， ，从而 . 的面积为 ． (2)在 中， ，所以 ， 故 . 而 ，所以 ，故 . 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查 计算求解能力，属于基础题. 13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求 的值； (2)在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．【解析】(1)在 中，因为 ， 由余弦定理 ，得 ， 所以 . 在 中，由正弦定理 ， 得 ， 所以 (2)在 中，因为 ,所以 为钝角， 而 ,所以 为锐角. 故 则 . 因 为 ， 所 以 ， . 从而 . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 14、已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈ (1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值． 【解析】(1)由题意得(sin α＋cosα)2＝， ∴1＋sin2α＝，∴sin2α＝. 又2α∈，∴cos 2α＝＝， ∴tan 2α＝＝. (2)∵β∈，∴β－∈， 又sin＝，∴cos＝， ∴sin 2＝2sincos＝. 又sin 2＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－， 又2β∈，∴sin 2β＝， ∵cos2 α＝＝， ∴cosα＝，∴sin α＝. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－. 15、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【解析】(Ⅰ)由正弦定理得 ，故 ， 由题意得 . (Ⅱ)由 得 ， 由 是锐角三角形得 . 由 得 .故 的取值范围是 . 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理 实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关 系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.