第23讲三角恒等变换（1）（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 23 讲 三角恒等变换（1） 【基础知识网络图】 C S T    三 两角和与差的 角 三角函数公式 恒 C S T 等    简单的三角 变 恒等变换 换 倍角公式 C S T 2 2 2 【基础知识全通关】 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S ； (α±β) cos(α±β)＝ cosαcosβ ∓ sinαsinβ ，简记作C (α±β) ； tan(α±β)＝ ，简记作 T (α±β)． 2. 二倍角公式 sin2α＝2sinα·cosα； tan2α＝； cos2α＝ co s 2 α － si n 2 α ＝ 2co s 2 α － 1＝ 1 － 2si n 2 α ． 3. 辅助角公式 y＝asinx＋bcosx＝ sin( x ＋ φ )，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝. 4. 公式的逆用及有关变形 tanα±tanβ＝ tan(α±β)( 1 ∓ tanα·tanβ )； sinα±cosα＝sin(α±)； sinα·cosα＝sin2α； 1＋sin2α＝ (sinα ＋ cosα ) 2； 1－sin2α＝ (sinα － cosα ) 2； sin2α＝； cos2α＝； tan2α＝ ( 降幂公式 ) ； 1－cos2α＝ 2si n 2 α ；1＋cos2α＝ 2co s 2 α (升幂公式)． 【考点研习一点通】 考点01化简与求值 1. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1) (2) sin218cos212sin18cos12 (3) sin2(18)cos248sin(18)cos48 (4) sin2(25)cos255sin(25)cos55 (5) Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论. 【变式1-1】已知 ，求 的值。 【变式 1-2】已知 为第二象限的角，且 ，则 的值为 . 考点02角的变换与求值 2. 求值： π 2 3 cos cos πcos π 7 7 7 （1） ；（2）【变式2-1】求值： （1） ；（2） . 考点03三角形恒等综合 3．已知 ， ，且 ，求 的值. 【考点易错】 1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)．2、(1) 已知 ＝，则sin2x＝________． (2) 已知 ，则cos4x的值为________． 3、化简：(0<θ<π)． 【巩固提升】1．已知 ，则 A． B． C． D． 2、已知 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB= A． B．2 C．4 D．8 4、已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 5、已知 ， ，则 A． B． C． D． 6．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日( Day)．历史上，求圆周率 的方法有多 种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大 时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形(各边均与圆相切的正 边 形)的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似 值的表达式是 A. B.C. D. 7、已知 满足 ，则 A． B． C． D． 8．若 ，则 __________． 9．已知 = ，则 的值是 ▲ ． 10、已知 ，则 _______， _______． 11、已知 为锐角， ， . （1）求 的值； （2）求 的值. 12、 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. (1)若a= c，b=2 ，求 的面积； (2)若sinA+ sinC= ，求C.13、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求 的值； (2)在边BC上取一点D，使得 ，求 的值． 14、已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈ (1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos (α＋2β)的值．15、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ． (Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)求cosA+cosB+cosC的取值范围．