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第23讲 分类讨论思想
分类讨论思想是⼀种重要的数学思想⽅法，其基本思路是将⼀个较复杂的数学问题分解(或分割)成若
⼲个基础性问题， 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论，是⼀种重要的数学思想，也是⼀种逻辑⽅法，同时⼜是⼀种重要的解题策略。在⾼中数学中，
分类讨论时⾮ 常重要的⼀种解题思路，每次⾼考的数学试卷中，必然会有需要⽤到这种思想⽅法的题⽬。
⼀、 分类讨论的要求及其意义
1、分类讨论的要求：
⾸先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进⾏合理分类，即标准统⼀、
不重不漏、
分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进⾏讨论，分级进⾏，获取阶段性结果；最后进⾏归纳⼩结，综合
得出结论。
2、分类讨论的因素：
(1)由数学概念⽽引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、⼆次函数的定义、直线的倾斜⾓等。
(2)由数学运算要求⽽引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次⽅根为⾮负数，对数运算中真数与
底数的要求，
指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以⼀个正数、负数，三⾓函数的定义域，等⽐数列{an}的前n
项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制⽽引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性⽽引起的分类讨论：如⼆次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。
(5)由参数的变化⽽引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，
或者由于对
不同的参数值要运⽤不同的求解或证明⽅法等。
⼆、分类讨论思想的原则
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循⼀定的原则进⾏，在中学阶段，我们经常⽤到的有以下四⼤原则：
(1) 同⼀性原则：分类应按照同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。
(2) 互斥性原则：分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各个⼦项相互排斥，分类后不能有些元素既属
于这个⼦项，
⼜属于另⼀个⼦项。
(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。(4) 层次性原则：分类有⼀次分类和多次分类之分，⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；多次分类是把
分类后的所有
的⼦项作为母项，再次进⾏分类，直到满⾜需要为⽌。
分类讨论思想的应⽤与例题详解
一、分类讨论思想在函数中的应用
1．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 时， 恒成立，求实数k的取值范围．
2．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间和极值；
(2)若对于任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；3．已知函数 ，求函数 在区间 上的最大值．
4．已知函数 .(1)若 ，求证： .
(2)讨论函数 的极值；
(3)已知 ，证明
5．设函数 ， ， ，已知曲线 在点 处的切线与直线
垂直．
(1)求a的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若 对 成立，求b的取值范围．6．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围.
7．已知函数 .(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 有两个极值点，求 的取值范围.
8．已知函数 ．
(1)试讨论 的单调性；
(2)求使得 在 上恒成立的整数a的最小值 ；
(3)若对任意 ，当 ， 时，均有 成立，求实数m的
取值范围．9．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围.
10．（B）已知函数 .(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若 有两个极值点 ，且 ，求证： .
（参考数据： ）
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
1．已知函数 ， ．
(1)求函数 的值域；
(2)若a>0，b>0，且 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．2．已知函数 .
(1)若 ， ，求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为1，求 的最小值.
3．已知函数 .(1)求不等式 的解集；
(2)若 的最小值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.
4．已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若存在 ，使得 ，求a的取值范围.5．已知 ．
(1)求 的解集；
(2)已知 在 上恒成立，求实数a的取值范围．
6．已知函数 .
(1)求 的最小值；(2)若 ，不等式 恒成立，求a的取值范围.
7．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时，存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围．8．已知a，b， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若不等 对一切实数a，b，c恒成立，求x的取值范围．
9．已知函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 ，求a的取值范围．
