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第 25 讲 三角函数的图像与性质
【基础知识网络图】
正弦函数的图
象与性质
三 角
函 数 余弦函数的
的 图 图象与性质
应用
象 与
性质
正切函数的
图象与性质
【基础知识全通关】
一、正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质
函
数
图
象
定
义
域
值
域
当 时，
当 时，
； ；
最
既无最大值，也无最小值
值
当
当 时，
时， ．
．
周
期 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
性奇
，偶函 ，奇函
偶 ,奇函数
性 数 数
在
在
在
单 上是增函数； 上是增函数；
调
性 在 在
上是增函数．
上是减函数．
上是减函数．
对称中心
对称中心 ；
；
对称中心 ；
对
对称轴 ，
称
对称轴 无对称轴，
性
既是中心对称图形又是轴对 ， 是中心对称图形但不是轴
称图形. 既是中心对称图形又是 对称图形.
轴对称图形.
二、函数 的图象与性质
1．函数 的图象的画法
（1）变换作图法
由函数 的图象通过变换得到 （A>0,ω>0）的图象，有两种
主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T= ,在一个周期内作出图象；
②令 ,令X分别取0， , , ,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到
的简图.
2．函数 （A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性： 时，函数 为奇函数； 时，函数
为偶函数.
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为T= .
（ 3 ） 单 调 性 ： 根 据 y=sint 和 t= 的 单 调 性 来 研 究 ， 由
得 单 调 增 区 间 ； 由
得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为 求解，令 ，求得x.
利用y=sin x的对称轴为 求解，令 ，得其对称
轴.
3．函数 （A>0,ω>0）的物理意义
当函数 （A>0,ω>0, ）表示一个简谐振动量时，则 A叫做振
幅，T= 叫做周期，f = 叫做频率, 叫做相位，x=0时的相位 叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（ 1 ） 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ； 函 数
的定义域均为 .
（2）函数 ， 的最大值为 ，最小值为 ；函
数 的值域为 .
（3）函数 ， 的最小正周期为 ；函数
的最小正周期为 ．
（4）对于 ，当且仅当 时为奇函数，当且仅当
时为偶函数；对于 ，当且仅当时为奇函数，当且仅当 时为偶函数；对于 ，当且仅当
时为奇函数．
（5）函数 的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数 的
单调递增区间由不等式 来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数 的单调
递增区间由不等式 来确定．
【注】函数 ， ， （ 有可能为负
数）的单调区间：先利用诱导公式把 化为正数后再求解．
（6）函数 图象的对称轴为 ，对称中心为
；函数 图象的对称轴为 ，对称
中心为 ；函数 图象的对称中心为.
【注】函数 ， 的图象与 轴的交点都为对称中心，
过最高点或最低点且垂直于 轴的直线都为对称轴. 函数 的图象与 轴
的交点和渐近线与 轴的交点都为对称中心，无对称轴.
【考点研习一点通】
1、定义域和值域
[π 2π] [π 3π]
y=√3sinx+cosx,x∈ , y=sin2x−sinx+1,x∈ ,
6 3 3 4
（1） （2）
（3） （4）
【点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求
出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围. （2）根据角的范围得出sinx的范
围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二
倍角的正弦公式化简后求值域；
( π) [π 2π]
y=√3sinx+cosx=2sin x+ ,x∈ ,
6 6 3
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
2π π
x= x=
3 y=1 3 y=2
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
y∈[1,2]
∴ .
y=sin2x−sinx+1= ( sinx−
1
)
2
+
3
,x∈
[π
,
3π]
2 4 3 4
（2） ，[√2 ]
[π 3π]
t=sinx,x∈ , t∈ ,1
3 4 2
令： ，则
1 2 3 [√2 ]
( )
y= t− + ,t∈ ,1
2 4 2
∵ 为增函数；
[3−√2 ]
y∈ ,1
2
∴ .
（3）根据 可知 ，
故函数的值域为 .
（4） ，
由 知 ，由正弦函数的单调性可知 ，
故函数的值域为 .
【总结】①形如 或 ，可根据 的有界性来求最值；
②形如 或 可看成关于 的二次函
数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中 ；③形如
可化为 （其中 ）的形式来确定最值.
【变式1-2】 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，求常数 ．
【解析】
∵ ，∴ ， ∴ ，
若 ，则当 时函数取得最大值 ，当 时函数取得最小值 ，
∴ ，解得： ，
若 时，则当 时函数取得最大值 ，当 时函数取得最小值 ，
∴ ，解得： ， 所以， 或 ．
考点02奇偶性、周期性、单调性
2、已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为 是偶函数，所以 ，
又 时，
所以函数 在 上单调递增. .
所以【变式2-1】已知函数 若 是偶函数，则
.
【答案】
【解析】
是偶函数
解得：
3、求函数 的单调区间。
【点拨】运用换元法，注意定义域，转化为求熟悉的二次函数单调区间的问题.
【解析】令 ，则 ， 且
显然函数 在 始终是单调递减的，
所以 时， 单调递增， 单调递减；
时， 单调递减， 单调递增；
故 单调递减区间为 ；单调递增区间为.
【变式3-1】求函数 的单调区间.
【解析】令 ，则 ，
函数 的周期为 ，且图象如图所示：
显然，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
∴当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
故 的单调递减区间为 ；单调递增区间为
.
4、已知函数f(x)=4tanxsin( )cos( )- .(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[ ]上的单调性.
【点拨】通过诱导公式、两角差的余弦函数、二倍角公式，化简函数的表达式，（1）直
接求出函数的定义域和最小正周期．（2）根据（Ⅰ）的结论，研究三角函数在区间[
]上的单调性．
f(x)的定义域为
【解析】（Ⅰ）
所以f(x)的最小正周期
（Ⅱ）令 函数 的单调递增区间
由 ,得
设 ，易知 .所以, 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单
调递减.
【总结】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为 或
的形式进行.注意三角函数的单调性的求解.
【变式4-1】已知函数 ，
（1）求 的定义域及最小正周期；
（2）求 的单调递增区间.
【解析】（1）由题知 ，即 ，
所以 的定义域为 ，
.
（2）由 ，即 ， 单调递增，
故 的单调递增区间区间为 .
【变式4-2】设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝ 处取得最大值
2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为 ．（1）求f(x)的解析式；
6cos4x−sin2x−1
π
f(x+ )
6
（2）求函数g(x)＝ 的值域．
【解析】（1）由题设条件知f(x)的周期T＝π，即 ，解得ω＝2．
π π
x= sin(2× +ϕ)=1
6 6
因f(x)在 处取得最大值2，所以A＝2，从而 ，
π π π
+ϕ= +2kπ,k∈Z ϕ=
3 2 6
所以 ．又由－π＜φ≤π得 ．
π
=2sin(2x+ )
6
故f(x)的解析式为f(x) ．
6cos4x−sin2x−1
π
6cos4x+cos2x−2
2sin(2x+ ) =
2 2cos2x
（2）g(x)＝
1 7 7 5
[1, )∪( , ]
2 4 4 2
因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠ ，故g(x)的值域为 ．
【考点易错】
1、已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（II）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.【点拨】（1）注意到所求角和已知角的关系，用二倍角公式来处理；（2）先求出 的
解析式，再运用求最值的方法解决.
（Ⅰ）∵
【解析】 ，
∴
（II）
∴
∵ ，
∴当 即 时，
即 时，
当
【总结】先通过倍角公式和两角的和、差公式进行化简，利用余弦函数的单调性可知函数
的最值.
【变式1-1】已知函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 ，求函数
的最大值和最小值.【解析】 （ ）
当 时， ， ①
当 时， ， ②
由①②得 ， ∴ ，
所以，当 时， ，当 时， ．
【变式1-2】 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，
求常数 ．
【解析】
∵ ，∴ ， ∴ ，
若 ，则当 时函数取得最大值 ，当 时函数取得最小值 ，
∴ ，解得： ，
若 时，则当 时函数取得最大值 ，当 时函数取得最小值 ，
∴ ，解得： ， 所以， 或 ．2、已知函数 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式.
（2）求函数 在区间 上的最值，并求出相应的 值.
【解析】（1）由图象可知 ，又 ，故 .
周期 ，
又 ，∴ .
∴
∵ .
则函数 的解析式为 .
（2）∵ ，∴ .
当 时， ， ；
当 时， ， .
所以 ， .
3、 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）若 在区间 上的最大值与最小值的和为2，求 的值.
【解析】（1）
，
则 .
（2）因为 ，所以 .
当 ，即 时， 单调递增；
当 ，即 时， 单调递减，
所以 .又因为 ，所以 ，
故 ，因此 .
【巩固提升】
1、 函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所
以最小正周期为 .
故选D.
2. 已知函数 （ ， ），若函数 在区间
内没有零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，令 ，得 ， ，即 ，
因为函数 在区间 内没有零点，
所以 且 ，解得 ， ，
令 可得 ，令 可得 ，因为 ，所以 的取值范围是
.
故选C.
3.设函数 ， 则下列判断正确的是
A．函数的一条对称轴为
B．函数在区间 内单调递增
C． ，使
D． ，使得函数 在其定义域内为偶函数
【答案】D
【解析】函数 ，
当 时，当 时， 不能使函数取得最值，
所以不是函数的对称轴，A错；当 时， ，函数先增后减，B不正确；
若 ，那么 不成立，所以C错；
当 时， 函数是偶函数，D正确，
故选：D．
4、若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以由 得 ，
因此 ，从而 的最大值
为 ，
故选A.
5、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】【解析】函数 ，周期为 .
6、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】
【解析】函数 ，周期为 .
7、关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【 解 析 】 对 于 命 题 ① ， ， ， 则
，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
8. 已知函数 ， ，有以下结论：① 的图象关于
轴对称；② 在区间 上单调递增；③ 图象的一条对称轴方程是 ；
④ 的最大值为2.则上述说法中正确的是______.（填序号）
【答案】 ①
【解析】 ，
当 时， ，
当 时， ，的图象关于 轴对称，①正确；
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，②错误；
因为函数 的定义域为 ，不关于直线 对称，
所以直线 不是一条对称轴，③错误；
的最大值为 ，④错误.
故答案为：①.
9.设当x＝θ时，函数f(x)＝cos x－2sin x取得最大值，则cos θ＝________.
【答案】
【解析】利用辅助角公式f(x)＝－2sin x＋cos x＝－＝－sin(x＋α)，其中cos α＝，sin α＝
－，已知当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，f(θ)＝－sin(θ＋α)，故θ＋α＝2kπ－，k∈Z，则
θ＝2kπ－－α，故cos θ＝cos＝cos＝－sin α＝＝.
10.已知函数 的图象关于点 对称，则当 的绝对值取最小
时， 的值为____.
【答案】
【解析】由于函数 的图象关于点 对称，
，
，当 时， 最小，此时 ，因此， .
故答案为： .
