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第 25 讲 三角函数的图像与性质
【基础知识网络图】
正弦函数的图
象与性质
三 角
函 数 余弦函数的
的 图 图象与性质
应用
象 与
性质
正切函数的
图象与性质
【基础知识全通关】
一、正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 的图象与性质
函
数
图
象
定
义
域
值
域
当 时，
当 时，
； ；
最
既无最大值，也无最小值
值
当
当 时，
时， ．
．
周
期 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
性奇
，偶函 ，奇函
偶 ,奇函数
性 数 数
在
在
在
单 上是增函数； 上是增函数；
调
性 在 在
上是增函数．
上是减函数．
上是减函数．
对称中心
对称中心 ；
；
对称中心 ；
对
对称轴 ，
称
对称轴 无对称轴，
性
既是中心对称图形又是轴对 ， 是中心对称图形但不是轴
称图形. 既是中心对称图形又是 对称图形.
轴对称图形.
二、函数 的图象与性质
1．函数 的图象的画法
（1）变换作图法
由函数 的图象通过变换得到 （A>0,ω>0）的图象，有两种
主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T= ,在一个周期内作出图象；
②令 ,令X分别取0， , , ,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到
的简图.
2．函数 （A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性： 时，函数 为奇函数； 时，函数
为偶函数.
（2）周期性： 存在周期性，其最小正周期为T= .
（ 3 ） 单 调 性 ： 根 据 y=sint 和 t= 的 单 调 性 来 研 究 ， 由
得 单 调 增 区 间 ； 由
得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为 求解，令 ，求得x.
利用y=sin x的对称轴为 求解，令 ，得其对称
轴.
3．函数 （A>0,ω>0）的物理意义
当函数 （A>0,ω>0, ）表示一个简谐振动量时，则 A叫做振
幅，T= 叫做周期，f = 叫做频率, 叫做相位，x=0时的相位 叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（ 1 ） 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ； 函 数
的定义域均为 .
（2）函数 ， 的最大值为 ，最小值为 ；函
数 的值域为 .
（3）函数 ， 的最小正周期为 ；函数
的最小正周期为 ．
（4）对于 ，当且仅当 时为奇函数，当且仅当
时为偶函数；对于 ，当且仅当时为奇函数，当且仅当 时为偶函数；对于 ，当且仅当
时为奇函数．
（5）函数 的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数 的
单调递增区间由不等式 来确定，单调递减区间由不等式
来确定；函数 的单调
递增区间由不等式 来确定．
【注】函数 ， ， （ 有可能为负
数）的单调区间：先利用诱导公式把 化为正数后再求解．
（6）函数 图象的对称轴为 ，对称中心为
；函数 图象的对称轴为 ，对称
中心为 ；函数 图象的对称中心为.
【注】函数 ， 的图象与 轴的交点都为对称中心，
过最高点或最低点且垂直于 轴的直线都为对称轴. 函数 的图象与 轴
的交点和渐近线与 轴的交点都为对称中心，无对称轴.
【考点研习一点通】
1、定义域和值域
[π 2π] [π 3π]
y=√3sinx+cosx,x∈ , y=sin2x−sinx+1,x∈ ,
6 3 3 4
（1） （2）
（3） （4）
【变式1-2】 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，
求常数 ．
考点02奇偶性、周期性、单调性
2、已知函数 ，则 ， ， 的大小关系为 .
【变式2-1】已知函数 若 是偶函数，则
.3、求函数 的单调区间。
【变式3-1】求函数 的单调区间.
4、已知函数f(x)=4tanxsin( )cos( )- .
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[ ]上的单调性.
【变式4-1】已知函数 ，
（1）求 的定义域及最小正周期；
（2）求 的单调递增区间.【变式4-2】设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝ 处取得最大值
2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为 ．
（1）求f(x)的解析式；
6cos4x−sin2x−1
π
f(x+ )
6
（2）求函数g(x)＝ 的值域．【考点易错】
1、已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（II）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【变式1-1】已知函数 （ ）的最大值为 ，最小值为 ，求函数
的最大值和最小值.
【变式1-2】 已知函数 的定义域是 ，值域是 ，
求常数 ．2、已知函数 的部分图象如图.
（1）求函数 的解析式.
（2）求函数 在区间 上的最值，并求出相应的 值.
3、 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）若 在区间 上的最大值与最小值的和为2，求 的值.【巩固提升】
1、 函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
2. 已知函数 （ ， ），若函数 在区间
内没有零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
3.设函数 ， 则下列判断正确的是
A．函数的一条对称轴为
B．函数在区间 内单调递增
C． ，使
D． ，使得函数 在其定义域内为偶函数4、若 在 是减函数，则 的最大值是
A． B．
C． D．
5、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
6、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
7、关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
8. 已知函数 ， ，有以下结论：① 的图象关于
轴对称；② 在区间 上单调递增；③ 图象的一条对称轴方程是 ；
④ 的最大值为2.则上述说法中正确的是______.（填序号）
9.设当x＝θ时，函数f(x)＝cos x－2sin x取得最大值，则cos θ＝________.
10.已知函数 的图象关于点 对称，则当 的绝对值取最小
时， 的值为____.
