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第 25 节 直线、平面垂直的判定与性质
基础知识要夯实
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个
平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
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一条直线与一个平面内的两条
判定定理 相交直线都垂直，则该直线与 l⊥α
此平面垂直
⇒
两直线垂直于同一个平面，那
性质定理 a∥b
么这两条直线平行
⇒
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
[难点正本 疑点清源]
1．两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂
直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点 P作平面的垂线，通常是先作(找)
一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.
2．两平面垂直的判定
(1)两个平面所成的二面角是直角；
(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实
考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为
AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.
【解析】(1)证明 因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝2 .
连接OB.因为AB＝BC＝ AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝ AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.
由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.
(2)解 作CH⊥OM，垂足为H.
又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离.
由题设可知OC＝ AC＝2，CM＝ BC＝ ，∠ACB＝45°.
所以OM＝ ，CH＝ .
所以点C到平面POM的距离为 .
【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，
α∥β a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⇒β l⊥α).
⇒ ⊂ ⇒2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与
性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【跟踪训练】
1. 如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF
过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据相等向量的定义，分析可得 与 不平行， 与 不平行，所以 ,
均错误. 与 平行，但方向相反也不相等，只有 与 方向相同，且大小都等
于线段EF长度的一半，所以 .故选：D
2. (2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－ABC 中，已知AB⊥侧面BBC C，AB＝
1 1 1 1 1
BC＝1，BB＝2，∠BCC ＝60°.
1 1
(1)求证：BC ⊥平面ABC；
1
(2)E是棱CC 上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为 ，求线段CE的长.
1
【解析】(1)证明 ∵AB⊥平面BBC C，BC 平面BBC C，
1 1 1 1 1
∴AB⊥BC ，
1 ⊂
在△CBC 中，BC＝1，CC ＝BB＝2，∠BCC ＝60°，
1 1 1 1
由余弦定理得BC＝BC2＋CC－2BC·CC ·cos∠BCC ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴BC ＝ ，
1 1 1
∴BC2＋BC＝CC，∴BC⊥BC ，
1
又AB，BC 平面ABC，BC∩AB＝B，∴BC ⊥平面ABC.
1
⊂(2)解 ∵AB⊥平面BBC C，∴V ＝V ＝ S ·AB＝ S ·1＝ ，
1 1 E－ABC A－EBC BCE BCE
△ △
∴S ＝ ＝ CE·BC·sin∠BCE＝ CE· ，∴CE＝1.
BCE
考点△ 二 面面垂直的判定与性质
【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，
PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【证明】(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD，
∴PA⊥底面ABCD.
⊂
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴四边形ABED为平行四边形.
∴BE∥AD.
又∵BE 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
⊄ ⊂
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
⊂
∴CD⊥平面PAD，又PD 平面PAD，
⊂
∴CD⊥PD.
⊂
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，
∴CD⊥平面BEF，又CD 平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
⊂
【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，
然后进一步转化为线线垂直.
【跟踪训练】
1.（如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝
CD＝ AB，侧面SAD⊥底面ABCD.
(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；
(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为 ，求侧面 △SAB的面积.
(1)证明 设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，
则BD＝ a，∠CBD＝45°，
所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，
在△ABD中，
AD＝ ＝ a，
因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，
由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面SAD，
⊂
又BD 平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.
(2)解 ⊂由(1)可知AD＝SD＝ a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝ a.
作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，
则SH＝SDsin 60°＝ a，
由(1)知BD⊥平面SAD，
因为SH 平面SAD，所以BD⊥SH.
又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，
⊂
所以SH为三棱锥S－BCD的高，
所以V ＝ × a× ×a2＝ ，
S－BCD
解得a＝1.由BD⊥平面SAD，SD 平面SAD，可得BD⊥SD，
⊂
则SB＝ ＝ ＝2.
又AB＝2，SA＝ ，
在等腰三角形SBA中，
边SA上的高为 ＝ ，
则△SAB的面积为 × × ＝ .
达标检测要扎实
一、单选题
1．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
【答案】D
【解析】当三点在一条直线上时，可以确定无数个平面，故A错误；
平行于同一平面的两直线可能相交，故B错误；
由等角定理可知，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；
如果两个相交平面 垂直于同一个平面 ，且 ，则在平面 、 内分别存在直线 垂
直于平面 ，由线面垂直的性质可知 ，再由线面平行的判定定理得 ，由线面平行的性质
得出 ，则 ，故D正确；故选：D
2．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题中错误的
是（ ）A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
【答案】A
【解析】对A，由 平面 ，当点 分别在点 或 时，线面角不一致，故A错误；
对B，由 // , 平面 , 平面 ,所以 //平面 ，
所以点 到平面 的距离为直线 上任意点到平面 的距离，故B正确
对C，由平面 即平面 , , ,
平面 ，所以 平面 ，所以 ，故C正确
对D，由平面 即平面 ， // ， 平面 ，
平面 ，所以 //平面 ，所以D正确故选：A
3．在如图所示的棱长为20的正方体 中，点 为 的中点，点 在侧面上，且到 的距离为6，到 的距离为5，则过点 且与 垂直的正方体截面的形状是
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【解析】如图所示，过点 作 分别交 于点 ，因为 ，可得
，
在正方体 中， 平面 ，所以
又 ,所以 平面 , 平面 ,所以
过 作 交于 点 ，则 ,设
则 ,所以 ，即 ,则
所以
A B C D
在正方形 1 1 1 1中，取 的中点 ，连接
则 与 ,则
所以 ,即
取 的中点 ，过 作 交 于点 ，连接 ，则
A B C D
又 平面 1 1 1 1,所以 ,由所以 平面 ，所以
又 ，所以 平面
连接 ，过 作 ,由 ，则 ，所以 (且 )
连接 ，则四边形 为梯形，所以 平面
所以截面的形状为四边形边形 .
故选：B.
4．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则三棱
锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】由题可知，正方体 的棱长为1，
则 平面 ，又 ， 在线段 上运动，平面 ，
点 到直线 的距离不变，
A B C D
由正方体的性质可知 平面 1 1 1 1，则 ，
而 ， ，
故 的面积为 ，
又由正方体可知， ， ，且 ，
平面 ，则 平面 ，
设 与 交于点 ，则 平面 ，
点 到平面 的距离为 ，
.
故选：A.
5．如图. 是圆的直径， ， ， 是圆上一点(不同于 ， )，且 ，则二
面角 的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是圆上一点(不同于 ， )， 是圆的直径，∴ ， ， ，即 面 ，而 面 ，
∴ ，又面 面 ， ，
∴由二面角的定义： 为二面角 的平面角.故选：C
6．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿
AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选
项错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
【答案】A
【解析】图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；
由PD⊥平面ABCD，PD 平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，
而平面PDC∩平面ABCD⊂＝CD，BC 平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；⊂
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，
而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．
由于BC⊥平面PDC，又 平面
∴平面 ⊥平面PDC
若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC
由于 平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线
显然 不与平面PBC垂直，故A错误故选：A
7．如图，正方体 中，E为AB中点，F在线段 上.给出下列判断：①存在点FA B C D
使得 平面 ；②在平面 1 1 1 1内总存在与平面 平行的直线；③平面 与平面
ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥 的体积与点F的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】对于①，假设存在F使得 ⊥平面 ，则 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ ＝ ，
∴ ⊥平面 ，则 ⊥ ，这与 ⊥ 矛盾，所以①错误；
A B C D A B C D
对于②，因为平面 与平面 1 1 1 1相交，设交线为 ，则在平面 1 1 1 1内与 平行的直线平
行于平面 ，故②正确；
对于③，以 点为坐标原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间坐标系，则平面 的法向量为 而平面 的法向量 ，随着 位置变化，
故平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小与点 的位置有关，故③错误；
对于④，三棱锥 的体积即为三棱锥 ，因为 ∥平面 ，所以，当 在线
段 上移动时， 到平面 的距离不变，故三棱锥 的体积与点 的位置无关，即
④正确．故选：D．8．已知正三棱锥 和正四棱锥 的所有棱长均为2，如图将三棱锥 的一个
面和正四棱锥 的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法
不正确的是（ ）
A． B．
C．新几何体为三棱柱 D．正四棱锥 的内切球半径为
【答案】D
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连 、 、 、 ，如图：
因为正三棱锥 和正四棱锥 的所有棱长都为 ，
所以 ， ， ，
又 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
所以平面 与平面 重合，
因为 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
同理得四边形 也为平行四边形，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理得 平面 ，因为 ，所以平面 平面 ，
又 ，根据棱柱的定义可得该新几何体为三棱柱，故C正确；
设正四棱锥 的内切球半径为 ，
因为正四棱锥 的高为 ，
由 得 ，故D不正确.故选：D.
二、多选题
9．如图，点 在正方体 的面对角线 上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积不变
B． 平面
C．
D．平面 平面
【答案】ABD
【解析】对于A， 的面积是定值， ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，故 到平面 的距离为定值，
∴三棱锥 的体积是定值，即三棱锥 的体积不变，故A正确；对于B， ，
∴平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，故B正确；
对于C，以 为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体 的棱长为2，P在 上，故可设 ，
则 ，
， ，
则 不一定为0，和 不垂直，故C错误；
对于D，设 ，
则 ，
， ， ， ，
设平面平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
.
∴平面 和平面 垂直，故D正确.故选：ABD.
10．如图所示，棱长为1的正方体 中，P为线段 上的动点（不含端点），则下
列结论正确的是（ ）A．平面 平面 B． 不是定值
C．三棱锥 的体积为定值 D．
【答案】ACD
【解析】A.因为是正方体，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面
，所以A正确；
B.
，故 ，故B不正确；
C. ， 的面积是定值， 平面 ，点 在线段 上的动点，所以点
到平面 的距离是定值，所以 是定值，故C正确；
D. ， ， ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，故D正确.故选：ACD
11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、
三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四
角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 ，这个角接近 ，若取 ，侧棱长为 米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为 平方米 D．正四棱锥的侧面积为 平方米
【答案】AC
【解析】
如图，在正四棱锥 中，
O为正方形 的中心， 为 的中点，
则 ，
设底面边长为 ．
因为 ，
所以 ．
在 中， ，
所以 ，底面边长为6米，
平方米．故选：AC.
12．正方体 ，的棱长为4，已知 平面α， ，则关于α､β截此正方体
所得截面的判断正确的是（ ）A．α截得的截面形状可能为正三角形 B． 与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形
【答案】ABC
【解析】如图
因为正方体
∴ ， ，又∵
∴ 平面
又∵ 平面
∴
同理：
又∵
∴ 平面
∴平面 可以是平面 ，又因为∴ 为等边三角形，故A正确
取 的中点 并依次连接
易知 ，因为 平面 ， 平面
∴ 平面
同理： 平面
又因为 且 平面 ， 平面
∴平面 平面
∴平面 可以是平面
∵
∴六边形 是正六边形，故C正确
以平面 是平面 为例计算：设A到平面 的距离为
等体积法求距离
∵ ，∴
又因为 ，
∴
则 与平面 所成角的正弦值为
∴余弦值等于 ，故B正确
对于D选项：由于直线 ，在正方体上任取点但异于 ，与 可构成平面 ，但是截
面的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC
三、填空题13．如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是___________.
【答案】②③
【解析】对于①，当 在 点时， ，
异面直线 与 所成的角最大为 ，当 在 点时，异面直线 与 所成的角最小为 ，
所以异面直线 与 所成的角的范围为 ，故①错误；
对于②，如图，因为 平面 ,所以 ,同理
,又因为 平面 ,所以 平面 ，所以平面 平
面 ，故②正确；
对于③，因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ，所以点 到平面
的距离为定值，且等于 的 ，即 ，故③正确；对于④，直线 与平面 所成的角为 ， ，
当 时， 最小， 最大，最大值为 ，故④不正确，
故答案为：②③.
14．正四棱柱 中， ， .若 是侧面 内的动点，且
，则 与平面 所成角的正切值的最大值为___________.
【答案】2.【解析】
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，设点 ，则 ，
，又 ，
得 即 ；
又 平面 ， 为 与平面 所成角，
令 ，
当 时， 最大，即 与平面 所成角的正切值的最大值为2.
故答案为：2
15．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若
的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【解析】因为母线 ， 所成角的余弦值为 ，所以母线 ， 所成角的正弦值为 ，因为的面积为 ，设母线长为 所以 ，
因为 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
16．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与
BD的距离为______．
【答案】 ## ##
【解析】分别取AC、BD的中点S、E，连接AE、CE、SB、SD、SE.
，又 ，则 平面 ，则
，又 ，则 平面 ，则
则 是异面直线AC与BD的公垂线段
△ 中， ， ，则
则异面直线AC与BD的距离为 故答案为：
四、解答题
17．如图长方体 中， ， ，点 为 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
【解析】（1）连接 交 与点 ，连接
四边形 为正方形， 点 为 的中点
又点 为 的中点，
平面 ， 平面
平面
（2）连接
由勾股定理可知 ，，则
同理可证 ，
平面
平面
（3）建立如下图所示的空间直角坐标系
显然平面 的法向量即为平面 的法向量，不妨设为
由（2）可知 平面 ，即平面 的法向量为
又二面角 是钝角
二面角 的余弦值为18．如图，在四棱锥 中， 是等腰直角三角形， ，底面 是直角
梯形，其中 ， ， ， ， ，
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 为等腰直角三角形，且 ，所以 且 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，且 ，所以四边形 为矩形，
所以 ，且 ，所以 平面 ，
所以 ，所以
则 ， ， ，
所以 ，所以 ，
又因为 且 ，所以 平面 ；（2）记 ，取 中点 ，连接 ，过点 作 交 于 点，连接 ， ，
因为 ，所以四边形 是平行四边形，所以 为 中点，
又因为 为 中点，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 且 ，所以 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 平面 ，所以 ，
所以二面角 的平面角为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
19．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足
为N , AE⊥PB，垂足为E .（1）求证：平面PAM⊥平面PBM.
（2）求证： 是二面角A-PB-M的平面角.
【解析】（1）因为PA垂直于圆O所在的平面，所以 ，又 为直径所对的圆周角，
所以 ，而 ，故 面 ，而 面 ，所以平面PAM⊥平面
PBM.
（2）由（1）知， 面 ，所以 ，而 ，所以 面 ，
即有 ，又 ，所以 面 ，由此可得 ，而 ，
根据二面角的定义可知， 是二面角A-PB-M的平面角．
20．如图所示，在直三棱柱 中，侧面 为长方形， ， ，
， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在一点T，使得点T到直线 的距离是 ，若存在求 的长，不存在
说明理由.【解析】(1)由于 ，所以 ，
根据直三棱柱的性质可知 ，由于 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 .
(2)设N是 的中点，连接 ，则 ，MA，MB，MN，两两相互垂直.
以M为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，可得 ，
设直线 和平面 所成角为 ，则 ；
(3)设 ，则 ，
过T作 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ 或 （舍）∴ .
21．如图，在直角梯形ABCD中， ， ， ，点E是BC的中点．将
沿BD折起，使 ，连接AE、AC、DE，得到三棱锥 ．
(1)求证：平面 平面BCD；
(2)若 ，二面角 的大小为60°，求三棱锥 的体积．
【解析】 (1) ， ， ，故 平面 ， 平面 ，
故 ， ， ，故 平面 ，
平面BCD，故平面 平面BCD.
(2)如图所示： 分别为 的中点，连接 ，
分别为 中点，故 ， 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 .
分别为 中点，故 ， ，故 ，
，故 平面 ，
故 为二面角 的平面角，即 ，
设 ，则 ， ， ， ， ，
，
根据 的等面积法： ，解得 .
.22．在多面体 中，正方形 和矩形 互相垂直， 、 分别是 和 的中点，
．
（1）求证： 平面 ．
（2）在 边所在的直线上存在一点 ，使得 平面 ，求 的长；
【解析】（1）因为四边形 为矩形，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ；
（2）因为 平面 ，四边形 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ，设点 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，令 ，可得 ，
要使得 平面 ，则 ，所以， ，解得 ，
则 ，此时， .
