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第 25 节 直线、平面垂直的判定与性质
基础知识要夯实
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个
平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一条直线的两平面平行．
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一条直线与一个平面内的两条
判定定理 相交直线都垂直，则该直线与 l⊥α
此平面垂直
⇒
两直线垂直于同一个平面，那
性质定理 a∥b
么这两条直线平行
⇒
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法．
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．
[难点正本 疑点清源]
1．两个平面垂直的性质定理
两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂
直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点 P作平面的垂线，通常是先作(找)
一个过点P并且和α垂直的平面β，设β∩α＝l，在β内作直线a⊥l，则a⊥α.
2．两平面垂直的判定
(1)两个平面所成的二面角是直角；
(2)一个平面经过另一平面的垂线．基本技能要落实
考点一 线面垂直的判定与性质
【例1】(2020·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为
AC的中点.
(1)证明：PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.
【方法技巧】1.证明直线和平面垂直的常用方法有：
(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，
α∥β a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⇒β l⊥α).
2.证明⇒线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需⊂借⇒助线面垂直的性质.因此，判定定理与
性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.
【跟踪训练】
1. 如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF
过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )
A． B． C． D．
2. (2020·南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABC－ABC 中，已知AB⊥侧面BBC C，AB＝
1 1 1 1 1
BC＝1，BB＝2，∠BCC ＝60°.
1 1
(1)求证：BC ⊥平面ABC；
1
(2)E是棱CC 上的一点，若三棱锥E－ABC的体积为 ，求线段CE的长.
1
考点二 面面垂直的判定与性质【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，
PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
【方法技巧】1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.
2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，
然后进一步转化为线线垂直.
【跟踪训练】
1.（如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝
CD＝ AB，侧面SAD⊥底面ABCD.
(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；
(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S－BCD的体积为 ，求侧面 △SAB的面积.
(1)证明 设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，
则BD＝ a，∠CBD＝45°，
所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，
在△ABD中，
AD＝ ＝ a，
因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，
由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面SAD，
⊂
又BD 平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.
(2)解 ⊂由(1)可知AD＝SD＝ a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝ a.
作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，则SH＝SDsin 60°＝ a，
由(1)知BD⊥平面SAD，
因为SH 平面SAD，所以BD⊥SH.
又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，
⊂
所以SH为三棱锥S－BCD的高，
所以V ＝ × a× ×a2＝ ，
S－BCD
解得a＝1.
由BD⊥平面SAD，SD 平面SAD，可得BD⊥SD，
⊂
则SB＝ ＝ ＝2.
又AB＝2，SA＝ ，
在等腰三角形SBA中，
边SA上的高为 ＝ ，
则△SAB的面积为 × × ＝ .
达标检测要扎实
一、单选题
1．在空间中，下列命题是真命题的是（ ）
A．经过三个点有且只有一个平面
B．平行于同一平面的两直线相互平行
C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
D．如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面
2．如图，在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则下列命题中错误的
是（ ）A．直线 和平面 所成的角为定值
B．点 到平面 的距离为定值
C．异面直线 和 所成的角为定值
D．直线 和平面 平行
3．在如图所示的棱长为20的正方体 中，点 为 的中点，点 在侧面
上，且到 的距离为6，到 的距离为5，则过点 且与 垂直的正方体截面的形状是
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则三棱
锥 的体积为（ ）A． B． C． D．不确定
5．如图. 是圆的直径， ， ， 是圆上一点(不同于 ， )，且 ，则二
面角 的平面角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿
AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选
项错误的是（ ）
A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDC
C．PD⊥AC D．PB＝2AN
7．如图，正方体 中，E为AB中点，F在线段 上.给出下列判断：①存在点F
A B C D
使得 平面 ；②在平面 1 1 1 1内总存在与平面 平行的直线；③平面 与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥 的体积与点F的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
8．已知正三棱锥 和正四棱锥 的所有棱长均为2，如图将三棱锥 的一个
面和正四棱锥 的一个侧面重合在一起，得到一个新几何体，则下列关于该新几何体说法
不正确的是（ ）
A． B．
C．新几何体为三棱柱 D．正四棱锥 的内切球半径为
二、多选题
9．如图，点 在正方体 的面对角线 上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积不变B． 平面
C．
D．平面 平面
10．如图所示，棱长为1的正方体 中，P为线段 上的动点（不含端点），则下
列结论正确的是（ ）
A．平面 平面 B． 不是定值
C．三棱锥 的体积为定值 D．
11．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、
三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四
角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面
所成的锐二面角为 ，这个角接近 ，若取 ，侧棱长为 米，则（ ）
A．正四棱锥的底面边长为6米 B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为 平方米 D．正四棱锥的侧面积为 平方米12．正方体 ，的棱长为4，已知 平面α， ，则关于α､β截此正方体
所得截面的判断正确的是（ ）
A．α截得的截面形状可能为正三角形 B． 与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形
三、填空题
13．如图，已知棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动，给出下列结论：
①异面直线 与 所成的角范围为 ；
②平面 平面 ；
③点 到平面 的距离为定值 ；
④存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角为 .
其中正确的结论是___________.
14．正四棱柱 中， ， .若 是侧面 内的动点，且
，则 与平面 所成角的正切值的最大值为___________.
15．已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥底面所成角为45°，若的面积为 ，则该圆锥的侧面积为__________．
16．如图，把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离为a，则异面直线AC与
BD的距离为______．
四、解答题
17．如图长方体 中， ， ，点 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值.
18．如图，在四棱锥 中， 是等腰直角三角形， ，底面 是直角
梯形，其中 ， ， ， ， ，（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
19．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足
为N , AE⊥PB，垂足为E .
（1）求证：平面PAM⊥平面PBM.
（2）求证： 是二面角A-PB-M的平面角.
20．如图所示，在直三棱柱 中，侧面 为长方形， ， ，
， .
(1)求证：平面 平面 ；(2)求直线 和平面 所成角的正弦值；
(3)在线段 上是否存在一点T，使得点T到直线 的距离是 ，若存在求 的长，不存在
说明理由.
21．如图，在直角梯形ABCD中， ， ， ，点E是BC的中点．将
沿BD折起，使 ，连接AE、AC、DE，得到三棱锥 ．
(1)求证：平面 平面BCD；
(2)若 ，二面角 的大小为60°，求三棱锥 的体积．
22．在多面体 中，正方形 和矩形 互相垂直， 、 分别是 和 的中点，
．
（1）求证： 平面 ．
（2）在 边所在的直线上存在一点 ，使得 平面 ，求 的长；
