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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 25 练 解三角形（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2．（2021·全国·统考高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测
海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，
称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的差”则
海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高C． 表距 D． 表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知， ，而 ，所以
，而 ，
即 ＝ ．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
3．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86
（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C点测
得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平面
的高度差 约为（ ）（ ）A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得 ，进而得到答案．
【详解】
过 作 ，过 作 ，
故 ，
由题，易知 为等腰直角三角形，所以 ．
所以 ．
因为 ，所以
在 中，由正弦定理得：
，
而 ，所以
所以 ．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为 ．
二、填空题
4．（2021·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ， ，
，则 ________．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得 ，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意， ，
所以 ，
所以 ，解得 （负值舍去）.
故答案为： .
5．（2023·全国·统考高考真题）在 中， ， 的角平分线交BC于
D，则 _________．
【答案】
【分析】方法一：利用余弦定理求出 ，再根据等面积法求出 ；
方法二：利用余弦定理求出 ，再根据正弦定理求出 ，即可根据三角形的特征求出．【详解】
如图所示：记 ，
方法一：由余弦定理可得， ，
因为 ，解得： ，
由 可得，
，
解得： ．
故答案为： ．
方法二：由余弦定理可得， ，因为 ，解得： ，
由正弦定理可得， ，解得： ， ，
因为 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，即 ．
故答案为： ．
三、解答题
6．（2021·天津·统考高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知
， ．
（I）求a的值；
（II）求 的值；（III）求 的值．
【答案】（I） ；（II） ；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得 ，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为 ，由正弦定理可得 ，
， ；
（II）由余弦定理可得 ；
（III） ， ，
， ，
所以 .
7．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）先由平方关系求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理的推论 以及 可解出 ，即可由三角形面积公式求出面积．
【详解】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
8．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，
再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
【详解】（1）由 ， 可得， ，而
，所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所
以， ，而 ， ，所以 ．
（2）由 可得，，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
9．（2022·天津·统考高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
（2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
（3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
【详解】（1）因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得：
．
（2）由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以
．（3）因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以
， ，而 ，所以
，
故 ．
10．（2023·全国·统考高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长 的值为 ，然后由余弦定理可得 ，最后由同角
三角函数基本关系可得 ；
(2)由题意可得 ，则 ，据此即可求得 的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则 ， ，
.（2）由三角形面积公式可得 ，
则 .
11．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出 ，再由 求得 ，结合余弦定理及平方关系求
得 ，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得 ，即可求解.
【详解】（1）由题意得 ，则
，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
12．（2021·全国·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ，
.．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
13．（2022·全国·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再
结合 ，即可求出；
（2）由（1）知， ， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成
，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为 ，即
，
而 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
14．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023秋·吉林辽源·高三校联考期末）在 中，∠A､∠B､∠C所对的边分别为a，b，c，若 ，
，b=2，则∠B=（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合大边对大角，即可求 的大小.
【详解】由正弦定理 ，得 ，
又 ，所以 ，则角 为锐角，所以 .故选：B.
2．（2023·北京·高三专题练习）在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】利用余弦定理得到 ， ，利用同角三角函数基本公式得到 ，然后利用面积公式
求面积即可.
【详解】 ， ， ，所以 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ， .
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【分析】根据正弦定理边角互化可得 ，进而由三角函数的性质求解.
【详解】由 得 ,
由二倍角公式可得 或 ，
由于在 ， ,所以 或 ,故 为等腰三角形或直角三角形
故选：B
4．（2023·青海·校联考模拟预测）在 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若 的面
积是 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以 ，则 ．
故选：A
5．（2023·四川成都·成都七中校考二模） 的内角 所对的边分别为 ，且
，则 的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据正弦定理可得 ，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得 .
【详解】由 得 ，又 ，所以 ，从而 ，所以 .
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久
的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得
知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等
特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了 ，测得
， ， ， ，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算 的值（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三条边求出 ，利用平方关系得到 ，结合正弦定理可得 .
【详解】由题意，在 中，由余弦定理可得，
，
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 ，
即 ，解得 .
故选：C.
7．（2023·四川南充·统考二模）在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 ，则
的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】利用正弦定理和余弦定理有 ，再根据条件整体
代换即可.
【详解】因为 ，
则根据正弦定理和余弦定理有.
故选：B.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和
“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的
说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直
杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，
表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为 ， ，如图
2，若影长之差 尺，则表高AB为（ ）尺．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设定义及 ，将公式转化变形即可得结果.
【详解】由题设 ，则 .
故选：C
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ，则 为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C【分析】利用正弦定理及三角恒等变换计算即可.
【详解】由正弦定理可得： ，而 ，
所以 ，
则 ，即
易知 ，所以
在三角形中 ，所以 .
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知在非 中， ， ，且 ，则
ABC的面积为（ ）
△
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】首先由 及 不是直角三角形得出 ，再结合同角三角函数的
平方关系求出 ，代入面积计算公式即可．
【详解】 ，
，
又 不是直角三角形，
，
，即 ，
又 ，
，解得 ，
，即 ，
，
，故选：C．
11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，D是BC边的中点，且 ， ， ，则
的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【分析】分别在 和 中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到 ，然后在
中，由余弦定理判断.
【详解】解：在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
两式相加得 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 是钝角三角形，
故选：C
12．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用正弦定理与和差公式求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得： ， ，
，即 ， ，
又 ，所以 ，即 或 ，
得 或 （舍），
又 ， ， ，所以 ；
故选：B.
13．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， 的角平分线 交 于点D，
的面积是 面积的3倍，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用面积之比可得 ，，作 边上高，垂足为 ，即可求 .
【详解】
因为 ，
即 ，在 中，作 边上高，垂足为 ，
则 ，
故选:A.
二、多选题
14．（2023·全国·高三专题练习）在 中， ， ， 为三个内角 ， ， 的对边，若
，则角 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由余弦定理化边为角即得.【详解】由题得
根据余弦定理可知 ，
∴ 或 ．
故选：BD.
15．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，且 ，则 不可能为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】BCD
【解析】由余弦定理求出 ，然后可得角 ，然后可选出答案.
【详解】由余弦定理 ，所以 ，又 ，所以 ，
故 为等腰直角三角形.
故选：BCD
【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.
16．（2023·全国·高三专题练习）某货轮在 处看灯塔 在货轮北偏东 ，距离为 ；在 处看
灯塔 在货轮的北偏西 ，距离为 .货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在南偏东 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． 处与 处之间的距离是 B．灯塔 与 处之间的距离是
C．灯塔 在 处的西偏南 D． 在灯塔 的北偏西
【答案】ABC
【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可.
【详解】在 中，由已知得 ， ，则 ， ．
由正弦定理得 ，
所以 处与 处之间的距离为 ，故A正确；
在 中，由余弦定理得，
，
又 ，
解得 ．
所以灯塔 与 处之间的距离为 ，故B正确，
，
，
灯塔 在 处的西偏南 ，故C正确；
灯塔 在 的南偏东 ，
在灯塔 的北偏西 ，故D错误；
故选：ABC．
17．（2023春·山东济宁·高三校考阶段练习）如图，在平面四边形 中，已知 ，
， ， ， ，下列四个结论中正确的是（ ）A． B．四边形 的面积为
C． D．四边形 的周长为
【答案】ACD
【分析】在 和 中，分别利用余弦定理，得到 ，结合 ，求得
，得到 ，可判定A正确；利用直角三角形的面积公式，可判定B不正确；在直角
中，利用勾股定理，可判定C正确；求得四边形 的周长，可判定D正确.
【详解】在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
可得 ，即
因为 ，可得 ，可得 ，
又因为 为三角形的内角，所以 ，所以 ，所以A正确；
由
，所以B不正确；
在直角 中，可得 ，所以C正确；
四边形 的周长为 ，
所以D正确.
故选：ACD
三、填空题
18．（2023·高三课时练习）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，，则 的值为___________.
【答案】12
【分析】利用余弦定理结合已知条件求得 ，进而得出 ，即可得解．
【详解】由余弦定理可得 ，即 ，解得 ，
则 ，故 ．
故答案为：12．
19．（2023·全国·高三专题练习）已知在 中， ， ， ，则 _________ ．
【答案】14
【分析】利用两角和正弦公式得到 ，结合正弦定理得到结果.
【详解】∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：14
20．（2023·全国·高三专题练习）若钝角△ABC中， ，则△ABC的面积为
___________．
【答案】
【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．
【详解】由正弦定理 得 ，
是三角形内角，则 或 ，
若 ，则 不合题意，舍去，故 ， ，
．故答案为： ．
21．（2023秋·江西·高三校联考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ，
且 的周长和面积分别是10和 ，则 ______.
【答案】3
【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
由余弦定理可得 ，
即 ，所以 ，
则 ，解得 .
故答案为:3.
22．（2023秋·河南商丘·高三商丘市回民中学校考期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c， ， ， ，则 的面积为______．
【答案】
【分析】由余弦定理及已知条件可得 ，再由三角形的面积公式即可得答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，得 ，
故 ．
故答案为：
23．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，若
，则 的外接圆半径为__________.
【答案】
【分析】由 利用余弦定理化简，再利用余弦定理可求出 ，从而可求出角 ，再利用
正弦定理可求出 的外接圆半径.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以由正弦定理得 ，得 ，
所以 的外接圆半径为 ，
故答案为： .
24．（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中， ， ， ，
， ，则 ________．【答案】
【分析】连接 ，在△ 中求得 ，结合余弦的差角公式，即可求得 ，再在△
中，利用余弦定理即可求得 .
【详解】连接 ，如下所示：
在△ 中，由余弦定理 ，
可得 ，故可得 ，
则 ，又 ，故 ；
又 ，又 ，故可得 ；
则
，
在△ 中，由余弦定理可得
即 ，故 .
故答案为： .四、解答题
25．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
(1)求B；
(2)若 ， ，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简，即可得解；
（2）利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，化简得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
（2）由余弦定理得 ，
又 ，由（1）可得 ，
所以 ，又 ，所以 ．
26．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.【详解】（1）由题意在 中， ， ， ，
由正弦定理 可得 .
（2）由 ， ， ，即 ，
解得 ，
由余弦定理 ，
可得 .
27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知 的内角 的对边分别为 ，
．
(1)求A；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理及条件，进行边转角即可求出结果；
(2)利用余弦定理及条件，建立方程求出 的值，再用面积公式 求出结果.
【详解】（1）(1)由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
即 ，所以
因为 ，所以 ，又 ，所以
（2）(2) ， ，又由(1)知
由余弦定理得 ，即 ，则
所以 的面积为
28．（2023春·海南海口·高三校联考阶段练习） 的内角 ， ， 分别为 ， ， .已知
.
(1)求 ；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
① ；② ；③ .
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由三角形内角性质及三角恒等变换可得 ，再应用二倍角正切公式、同角三角函数关
系求 ；
（2）根据所选两个条件，结合平方关系、余弦定理、三角形面积公式求证第三个条件成立即可.
【详解】（1）由 ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，故 ，
由 ，故 ，则 .
（2）选①②： ， ，由（1）知： ，
由 ， ，则 ，
所以 ，则 ，故 .选②③： ， ，由（1）知： ，
由 ，则 ，
由 ，故 .
选①③： ， ，
由 ，可得 ，
由（1）知： ，则 .
29．（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 的周长为6， .
(1)求角 的大小；
(2)若 是边 的中点，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角形 的周长以及余弦定理求得 ，进而求得 .
（2）利用向量运算、三角形 的周长以及（1）求得 ，从而求得三角形 的面积.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得
又由 ，可得 ，
整理得 ，所以
又因为 ，
所以 ；（2）因为 是边 的中点，所以 .
即
又 ， ，
解得 .所以 的面积 .
30．（2023·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小．
(2)若 ，求 的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据余弦定理，结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为因为 ，所以 ，
所以
因此有 ．
又因为 ，所以 ．
（2）由 ， 及余弦定理，得，
所以 ，当且仅当 时取等号．
又因为 ，所以 ，故 的周长的取值范围为 ．
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·江苏南京·统考二模）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若
，则角 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到 ，解得答案.
【详解】 ，即 ，
即 ，
，则 ， ，则 ，故 ，
，故 ， .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】运用正弦定理与和差公式可得 ，根据角的范围可得 ，再结合倍角正弦公
式即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理得： ， ，
，即 ，
即 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，得 或 （舍），
又 ， ， ，
所以 .
故选：D.
3．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若
， 的面积为 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，利用余弦定理及三角形的周长公式即可求解.
【详解】因为 ， 的面积为 ，
所以 ，解得 .
所以 .
由余弦定理得 ，解得 ，所以 的周长为 .
故选：D.
4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）在 中内角 的对边分别为 ，若 ，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得 ，即可判断
的形状．
【详解】由正弦定理，余弦定理及 得，
，即 ，
则 ，即
或 为等腰三角形或直角三角形．
故选：D.
5．（2023·西藏拉萨·统考一模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得 ，再利用余弦定理得 ，从而求出 的面积.
【详解】由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以由余弦定理得
，
解得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
6．（2023·河南郑州·三模）在 ABC中，若 ， ， ，点P为 ABC内一点，
△ △
PA⊥PB且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】在 中，由余弦定理求得 ，在Rt 中，令 ，则 ，在 中，
由正弦定理求得 ，即可得出结果．
【详解】
在 中，由余弦定理得 ，即 ，解得 ，
在Rt 中，令 ，则 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）如图，为了在两座山之间的一条河流上面修建一座桥，勘测
部门使用无人机测量得到如下数据：无人机P距离水平地面的高度为h，A，B两点的俯角分别为 ， .
则下列求A，B两点间的距离的表达式中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出三角形示意图，然后分别利用正、余弦定理求出 即可判断各选项是否正确.
【详解】
由题意知 .
设高线与 交于点 ，则 ,
所以 ，故选项A正确.
由正弦定理得 ，又因为 ，所以 ，故选项B正确.
由余弦定理得 ，
又因为 ，
所以
所以 ，故选项C错误，选项D正确.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ， ，
，则线段 的长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 写出 的向量表达式 ，平方后转化为与 的边 ， 有关
的表达式，再利用正弦定理将边转化为角，从而求出最大值.
【详解】在 中，由正弦定理得， ，所以 ， .
由 得， ，两边平方得，，其中 ， .
因为 ，所以当 时，
取得最大值为 ，
所以 最大值为 .
故选：D.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是钝角三角形
C．当 时， 的面积 D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐项分析、计算判断作答.
【详解】由 得 ，
在 中，由正弦定理得： ，A正确；依题意，角C是最大角， ，则C是锐角， 是锐角三角形，B不正确；
当 时， ， ， ， ，C，D都正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足
，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】利用两角和的正弦公式化简得出 ，结合角 的取值范围以及正弦定理可得
出结论.
【详解】因为 ，
所以， ，
所以， ，即 .
所以， 或 ， ， 或 .
故选：AD.
三、填空题
11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）在 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则 ________．
【答案】1
【分析】根据题意利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换运算求解.
【详解】∵ ，由正弦定理可得： ，则 ，
整理得 ①，
又∵ ，则 ，即 ，
将①式两边同除于 ，可得 ，即 .
故答案为：1.
12．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）在 ABC中，若 ， 且
△
，则 的面积是______________．
【答案】
【分析】利用诱导公式可得 ，再由商数关系和平方关系可得 ，然后由面积公式可得.
【详解】因为 ，
所以 ，解得
又 ，所以 ，
所以 ．故答案为：
13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）记 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
△
， ，则 ______．
【答案】1
【分析】利用正弦定理及三角恒等变换得 ，则 ，求出 的大小，再求出
的大小，最后得到角 ，则得到 .
【详解】由 和正弦定理得 ,则有 ,整理得 ，
，则 ，
，又 ，则由正弦定理有 ，
，
故答案为：1,
14．（2023·陕西·统考一模）在 中，点D是边BC上一点，且 ， . ，
，则DC=___________.
【答案】3
【分析】在 中，利用余弦定理得到 进而在 中，利用两角差正弦公式
得到结果．
【详解】在 中， ，可得 .
又由余弦定理， ，可得 .
在 中， ，
由此可得 ，
由已知可得 ，代入可得 ，
所以 ，所以 .故答案为：3.四、解答题
15．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）在△ABC中，已知 ， ，再从
条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
(1)求 ；
(2)求△ABC的面积．
条件①： ；条件②： ．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）根据所选条件，应用平方关系、和角正弦公式或正弦定理求 ；
（2）由所选条件，应用正余弦定理求边，再由三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）选①：因为 ， ，B， ，
所以 ， ．
所以 ．
所以 ．
选②：由 ， ，可得 ．
由正弦定理得 ．
（2）选①：由正弦定理得 ．
所以 ．
选②：由余弦定理 ，得 ．即 ，解得 （负值舍），
所以 ．
16．（2023·浙江·校联考模拟预测）记锐角 内角 的对边分别为 .已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到 ，进而求解；
（2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由 ，故 ，
故 ，
，
故 ，因 是锐角三角形，故 ，.
故 ，故 ，所以 .
（2）由正弦定理可知 ，
故 ，.
.
由 是锐角三角形，可知 ，
故 ，
故 .
17．（2023·山东聊城·统考三模）如图，函数 的图象经过
的三个顶点，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 在区间 上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图像性质 ，结合正弦定理与 ，求得 ，从
而得解；（2）由（1）及 的面积为 得 ，再结合图像性质依次求得 ，从而求得
，最后根据 的范围，结合正弦型函数的图像即可得解.
【详解】（1）由函数 的图象性质可知 ，
在 中由正弦定理，得 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）及 的面积为 ，得 ，解得 ，
设 与 轴的交点为 ，则 为边长是2的正三角形，
所以 ， ，所以 ．
又 ，所以 ，即
又 ，解得 ，即 ．因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
即 在区间 上的值域为 .
18．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 的平分
线BD交AC于点 ．
(1)从下面三个条件中任选一个作为已知条件，求 的大小．
① ；② ；③ ．
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)三个条件任选其一都有
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再对等式进行化简，进而根据 的取值范围求出其大小．
（2）运用角平分线的条件求出 ，然后利用面积公式求出 的取值范围．
【详解】（1）选①，
因为 ，所以 ．
由正弦定理得 ．
即 ，
故 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ．选②，
由 及正弦定理，得
，
即 ，
，
所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ．
又 ，所以 ，所以 ．
选③，
由 及正弦定理，得
，
即 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
（2）因为BD平分 ，所以 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故 ．
因为 ， ， ，所以 ，
又 ，
所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
即 的取值范围为 ．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
， ，若点M满足 ，且∠MAB＝∠MBA，则△AMC的面积
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦定理及诱导公式结合 可得 .
由 ，结合 可得 ， .后由∠MAB＝∠MBA， 结合正弦定理，可得
，即可得面积【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：
，
化简得： ，又 ，则 .
又 ，则 ， .
因 ，则 ， ，
则在 MAC中， ，解之： .
则 ，
则 MAC中，边 对应高 ，
则 MAC面积 ．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 的值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换结合条件可得 ，然后利用正弦定理可得，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.
【详解】由题知 ，
则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，则 ， 为钝角， 为锐角，
，
因为 ，则 ，则 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，则 ，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到 ，然后利用边角互化及换元法把问题
转化求函数最值，再利用导数即得.
3．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是
AB上的三等分点（靠近点A）且 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C．2 D．4【答案】A
【分析】由正余弦边角关系可得 ，进而有 ，设 ，则 ，且
，利用正弦定理、和差角正弦公式得 ，即可求最大值.
【详解】由 ，则 ，即 ，
所以 ， ，则 ，
设 ，则 ，且 ，
△ 中 ，则 ，
△ 中 ，则 ，
又 ，即 ， （ 为△ 的外接圆半径），
所以 ， 即 ，
又 ，故 ， 时， .
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）在非直角 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
， 是角 的内角平分线，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二
倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】由 及正弦定理，得 .
由余弦定理，得 ，
因为 为非直角三角形，
所以 ，
所以 ，
因为 是角 的内角平分线，且 ，
所以由三角形的面积公式得 ，
所以 ，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ,
所以 ，
,
.故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面
积，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理和 的面积公式，结合题意求出 、 的值，再用 表示 ，求出 的取值范围，即可求出 的取值范围．
【详解】因为 的面积为 ，
所以 ，
中，由余弦定理得， ，
则 ，
因为 ，
所以 ,
又 ， ，
所以 ，
化简得 ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，
所以
，
又 ，
所以 时， 取得最大值为 ，
时， ， 时， ，且 ，
所以 ，即 的取值范围是 ，
故选：D．
二、多选题
6．（2023·山西阳泉·统考三模）设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】由 ，得到 或 ，推出 ，判断AB；由 得到C
正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.【详解】因为 中， ，所以 或 ，
当 时， ，由于 无意义，A错误；
当 时， ，
此时 ，故 ，B正确；
因为 ，所以 ，由大角对大边，得 ，C正确；
因为 ，所以 ，
即 ，
令 ， ，
则 ，所以 单调递减，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知 的三个内角 所对边的长分别为
，若 ，则下列正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 是 边上的一点，且 ， ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是D．若 平分 交 点 ，且 ，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据正弦定理和余弦定理变形求出 .对于A，将 化为关于 的三角函数，根据 的
范围可求出 的范围；对于B，根据 两边平方得到 ，利用基
本不等式得 ，再由面积公式可得 的面积的最大值；对于C，由锐角三角形得 ，由正
弦定理将 化为 的三角函数可求出 的范围；对于D，根据 ，得 ，再根据
基本不等式可得 的最小值.
【详解】由 及正弦定理得，
，得 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 .
对于A，
，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，故A不正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 .故B正确；
对于C，因为三角形为锐角三角形，所以 ，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 平分 交 点 ，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，又 ，即 ， 时，等号成立.故D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：D中利用三角形的面积关系推出 是解题关键.
三、填空题8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知
的面积S满足 ，则角A的值为______．
【答案】
【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得
求解 可得角A的值.
【详解】由已知得 ，
根据余弦定理和三角形面积公式，
得 ，
化简为 ，
由于 ，所以 ，
化简得 ，
即 ，
解得 ，或 （舍），
由于 ，所以 .
故答案为：
9．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）记锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，若
，则 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由正弦边角关系及锐角三角形内角的性质可得 且 ，将目标式化边为角，结合三角恒等变换有 ，应用基本不等式及分式型函数性质求范围即可.
【详解】由正弦边角关系知： ，
所以 ，故 或 （舍），则 ，
而 ， ，则 ，且 ，
又 ，
则 ，
令 ，则 ，仅当 时等号成立，
当 时， ，当 时， ，
综上， .
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据已知条件，应用正弦定理边角关系求得 且 是关键.
四、解答题
10．（2023·全国·高三专题练习）在 中， .
(1)求A；
(2)若 的内切圆半径 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据已知条件、三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，再结合解三角方程即可求解.
（2）由题意可知，利用三角形的等面积法 及余弦
定理得出含有 和 的关系式，再利用基本不等式的变形即可求得 的最小值.【详解】（1）在 中, ，
整理得 ，即
，于是
所以 ，
因为 ，所以 ，即
，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
所以 .
（2）令 ，（1）知 .
由 ，得
，即 ，
由余弦定理及（1）知 ，得
，
所以 ，
即 ，
于是当且仅当 时取等号
所以 ，
或
又 的内切圆半径 ， ， ，
， 的最小值为 .
11．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
.
(1)求证：存在 ，使得 ；
(2)求 面积S的最大值.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2) .
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换即可证明；
（2）将 的面积用角表示出来，进而求出最大值.
【详解】（1）证明：由 ， 可得：
由正弦定理得：
所以
所以
即
所以 或者
即 或者
当 时，符合题意
此时令 ，得：所以存在 ，使得
（2）解：由（1）知 或者 ， ，
①当 时，
对 求导得：
因为 ，所以在三角形 中， ，且
令 得：
在 时，
在 时，
所以当 ， 时，， 取得最大值 ；
②当 时，
当 时， ， 取得最大值 .
所以 面积的最大值为 .
【点睛】思路点睛：本题第二问利用三角形的面积公式将面积表示出来，再分别对 和 两种
情况进行讨论，进而利用导数或三角函数求最值.
