第24讲三角恒等变换（2）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 24 讲 三角恒等变换（2） 【基础知识全通关】 1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数 化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦． 2. 要注意对“1”的代换： 如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2. 3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成： 如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±. 4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋ (α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等． 5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤. (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式． (3)y＝(或y＝) 可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界 性求解． 6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式： (1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式． (2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般 可用基本不等式或单调性求解． 【考点研习一点通】 1.已知 ， ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 ， ，又 ，， ， ， = ． 【变式1-1】已知 为锐角，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】因为 为锐角， ， 则 ， 所以 ， . 故答案为： . 【变式1-2】设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b. (1) 求tan的值；(2) 求cos的值． 【解析】 (1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b. 所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分 因为α∈，所以α＋∈，(4分) 所以cos＝， 故sin＝＝ 所以tan＝.(6分) (2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分) 因为α∈，所以2α＋∈， 所以sin＝.(10分) 所以cos＝coscos－sinsin(12分) ＝.(14分) 方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运 用有关公式进行求解。 2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与 单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求： (1) tan(α＋β)的值； (2) α＋2β的大小． 【解析】： 由条件得cosα＝，cosβ＝． ∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝＝，sinβ＝＝． 因此tanα＝＝7，tanβ＝＝． (1) tan(α＋β)＝＝＝－3． (2) ∵ tan2β＝＝＝， ∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1． ∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝． 【变式2-1】在平面直角坐标系 中，锐角 的顶点为坐标原点 ，始边为 轴的非负半轴，终边上有一点 ． (1)求 的值； (2)若 ，且 ，求角 的值． 【解析】(1) 角 的终边上有一点P∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ． (2)由 ， 得 ，∵ ， ∴ ， 则 ，因 ，则 ． 方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦 还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。 【考点易错】1、若 ，则 ______． 【答案】 【解析】 ， ， ， 化为： ， ， ，解得 ． ， 故答案为 2、已知函数 ， （1）求 的最小正周期和单调递减区间。 （2）若方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。 【解析】（1）∴ 由 ，解得： ∴ 的单调递减区间为： （2）即 在区间 上的图象与直线 有两个不同的交点． 由（1）知： 在 上单调减，在 上单调增， ∴ ， ， ∴当 时， 在区间 上的图象与直线 有两个不同的交点， 即方程 在区间 上两个不同的实数解． ∴ 的取值范围为 ． 【巩固提升】 1、若 ，则A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法 ， ， 法 ， ， ， 故选 ． 2、已知 ， ，则 的值为______． 【答案】 【解析】 ， ，又 ， ， ， ， = ．Δ AEB 3、已知 ， ，则 的值为_______． ¿ [ 【答案】3 【解析】 ．   4、已知函数 f(x) 2cos  x  ,xR ．  12  f (1) 求  的值；  3 3 3    (2) 若 cos ,  ,2 ，求 f   ． 5  2   6  【解析】（1） （2） <θ<2π，所以 ， 因此 5、已知函数 ． （1）求 的值． （2）求 的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 （1）由 ， ， ． 得 ．（2）由 与 得 ． 所以 的最小正周期是 ． 由正弦函数的性质得 ， 解得 ， 所以， 的单调递增区间是 ． 6、已知 ． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数 ， 的值域． 【答案】（1）最小正周期为 （2） 【解析】（1） ， ， 所以函数 的最小正周期为 ， （2） ， ，因为 ，所以 ， 所以 ， 所以函数 的值域为 . 7、已知函数 ． (1)求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量x的取值集合； (2)若 ，求函数 的单调增区间． 【解析】(1) ． 当 ，即 时， 取得最小值0． 此时， 取得最小值时自变量x的取值集合为 ． (2)因为 ，令 ， 解得 ，又 ，令 ， ，令 ， ，所以函数在 的单调增区间是 和 ．   8、已知函数 f x2sin   x 3   cosx ．若 0 x 2 ，求函数 f x 的值域．   f x sinx 3cosx cosxsinxcosx 3cos2 x 【解析】 1 3 3   3  sin2x cos2x sin 2x    ， 2 2 2  3 2    4 3   0 x 2x   sin  2x  1 由 得， ， ． 2 3 3 3 2  3   3 3  3 ∴0sin   2x 3    2 1 2 ，即函数 f x的值域为   0,1 2   ． 方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用 二倍角公式的解题技巧． 9、已知函数 ． (1)求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量x的取值集合； (2)若 ，求函数 的单调增区间． 【解析】(1) ． 当 ，即 时， 取得最小值0． 此时， 取得最小值时自变量x的取值集合为 ．(2)因为 ，令 ， 解得 ，又 ，令 ， ，令 ， ，所以函数在 的单调增区间是 和 ． 10、 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. (1)若a= c，b=2 ，求 的面积； (2)若sinA+ sinC= ，求C. 【解析】(1)由题设及余弦定理得 ， 解得 (舍去)， ，从而 . 的面积为 ． (2)在 中， ，所以 ， 故 . 而 ，所以 ，故 . 【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算 求解能力，属于基础题. 11、在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作角 ，角 的终边经过点 .（1）求 的值； （2）求 的值. 【解析】（1）由于角 的终边经过点 ， 所以 ， . . （2） . 则 ， 故 . 【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求 的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.