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第24讲 函数与方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决
问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些
量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;
2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步
骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需
要构造函数，利用函数的相关知识解决问题;（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根
据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程
（或方程组）求出它们，这就是方程思想;
3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需
要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间
的辩证关系，形成了函数方程思想
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关
求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通
过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难
为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1、函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系
或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。
2、方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造
方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。方
程思想是动中求静，研究运动中的.等量关系;
3、函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数 y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）
=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y―f（x）=0。
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f
（x）>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分
重要;
（4）函数f（x）=（1+x）^n（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋
值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方
程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;（6）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数
表达式的方法加以解决。
应用一：函数观点解决方程与不等式
一、填空题
1．已知函数 的零点为1，则实数a的值为______．
2．命题“方程 有整数解”是______命题．（填“真”或“假”）
3．函数 零点的个数为_____________.4．不等式 的解集是______．
5．若函数 有零点，则实数k的取值范围是________．6．若函数 只有一个零点，则实数 的取值范围是__________；
7．已知函数 是R上的奇函数，其零点为 ， ， ， ， ，则 ________.
8．下列说法中，正确的是______．（填序号）
①一次函数在R上只有一个零点；②二次函数在R上只有一个零点；
③指数函数在R上没有零点；④对数函数在 上只有一个零点；
⑤函数在其定义域内可能没有零点．应用二：曲线方程与函数的应用
一、填空题
1．参数方程 （ 为参数， ）对应曲线的长度为______．
2． 为参数，圆 的圆心的轨迹方程为______．3．将方程 （ 为参数）化为普通方程为______．
4．已知 ，则2x＋y的取值范围是______．
5．所有斜率为2的直线被椭圆 截得线段中点的轨迹的一个参数方程可以是______．应用三： 函数与方程
一、单选题
1．已知函数 ，若方程 有六个不相等的实数根，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 的图像是轴对称图形； ②函数 在 上单调递减；③函数 的值域是 ； ④方程 有4个不同的实数解．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知定义在 上的偶函数 满足：当 时， ，且 ，则方
程 实根个数为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
4．已知函数 是偶函数，当 时， ．若曲线 在点 处的切线方程为
，则实数a的值为（ ）A．4 B．2 C．1 D．
二、多选题
5．已知函数 ， ，则（ ）
A． （ 且 ）
B．若函数 ，则函数 的定义城为
C．若函数 ，则
D．方程 所有解的和为06．已知函数 ，则（ ）
A． 定义域为 B． 值域为
C． 在 的切线方程为 D． 与 只有一个交点
三、填空题
7．已知函数 ，关于x的方程 恰有2个不同实数解，则a
的值为__________．四、解答题
8．已知函数 .
(1)求 在点 处的切线方程;
(2)求证：当 时， .
9．已知函数 ，其中 且 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若存在实数 ，使得 ，则称 为函数 的“不动点”求函数 的“不动点”的个数；
(3)若关于x的方程 有两个相异的实数根，求a的取值范围．
