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第十三讲：三角函数图象及性质
【考点梳理】
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
y=sinx x∈[0，2π]
(1)在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
y=cosx， x∈[0，2π] 的图象中，五个关键点是：
(2)在余弦函数
．
y=Asin(wx+ϕ)
的图象与性质
2、
2π
T=
w
（1）最小正周期： .
y=Asin(wx+ϕ)
（2）定义域与值域： 的定义域为R，值域为[-A,A].
A>0，w>0
（3）最值（ ）.
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π
{ 当wx+ϕ= +2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值A;
2
π
当wx+ϕ=− +2kπ(k∈Z)时，函数取得最小值−A;
2
A>0，w>0
（4）对称轴与对称中心.（
）
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π
{当wx +ϕ=kπ+ (k∈Z)，即sin(wx +ϕ)
0 2 0
¿±1时，y=sin(wx+ϕ)的对称轴为x=x
0
当wx +ϕ=kπ(k∈Z)，即sin(wx +ϕ)=0
0 0
时，y=sin(wx+ϕ)的对称中心为(x ,0).
0A>0，w>0
（5）单调性.（
）
y=Asin(wx+ϕ)
对于 ，
π π
{wx+ϕ∈[− +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒增区间；
2 2
π 3π
wx+ϕ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈Z)⇒减区间.
2 2
（6）平移与伸缩
由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
【典型题型讲解】
考点一：三角函数的性质
【典例例题】
例1．（多选）（2022·广东汕头·高三期末）对于函数 ，x∈R，则（ ）
A．f(x)的最大值为1 B．直线 为其对称轴
C．f(x)在 上单调递增 D．点 为其对称中心
【答案】BD
【详解】依题意， ， 的最大值为 ，A错误；
当 时， ，则直线 为 图象的对称轴，B正确；当 ，即 时，由 得 ，即 在 上单调递增，
由 得 ，即在 上单调递减，C错误；
因 ，则点 为其对称中心，D正确．
故选：BD
例2．（2022·广东珠海·高三期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到
B． 的图象关于直线 对称
C． 的表达式可以改写为
D．若函数 在 的值域为 ，则m的取值范围是
【答案】BD
【详解】对于A，由函数 的图象向左平移 个单位可得到函数 的图象，所以A选项错
误；
对于B，当 时， ，所以B选项正确；
对于C， ，所以C选项错误；
对于D，由 得 ，又函数 在的值域为 ，得 ，
解得 ，所以D选项正确．
故选：BD
【方法技巧与总结】y=Asin(wx+ϕ) y=Acos(wx+ϕ)(A>0,w>0)
与
研究三角函数的性质，关键式将函数化为
的形式利用正余弦函数与复合函数的性质求解.
【变式训练】
1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，则该函数的增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，
解得 ，
所以函数的增区间是 .
故选：C.
2.（2022·广东茂名·一模）函数 在区间 上的最大值为______
【答案】3
【详解】由题意， ,而 ，
则 ，所以函数的最大值为 .
故答案为：3.
3.已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】B
【详解】
因为
，
所以 ，
所以 ，所以 为偶函数，故A错误，B正确；
又 ，所以函数 为非奇非偶函数函数，故
C、D错误.
故选：B.
4.设函数 ，若 时， 的最小值为 ，则（ ）
A．函数 的周期为
B．将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数为奇函数
C．当 ， 的值域为
D．函数 在区间 上的零点个数共有6个
【答案】D
【详解】
由题意，得 ，所以 ，则 ，所以 选项A不正确；
对于选项B：将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时 ，则 ，所以 的值域为 ，选项C不正确；
对于选项D：令 ，所以当 时， ，所以函数 在
区间 上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
5．设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最
小正周期大于 ，则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【详解】
由 的最小正周期大于 ，得 ，
又 ， ，得 ，
，则 ，即 ,
，
由 ，得 ,
， ,
取 ，得 ,
， ,
故选： ．
6.若函数 ， ， ，又 ， ，且 的最小值为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】
，
所以 ，
因为 的最小值为函数 的最小正周期的 ，
所以，函数 的最小正周期为 ，
因此， .
故选：A
7.（2022·广东湛江·一模）已知函数 ， ， ，且 在区间 上有且只有一个极大值点，则 的最大值为___________.
【答案】
【详解】由题意知， , ， ，则 , ， ，
其中 ， ,
当 时， ， ， ；当 时， ， ， .
又 在区间 上有且只有一个极大值点，所以 ，
得 ，即 ，所以 .
当 时， ， ，此时 ，此时有2个极大值点，舍去；
当 时， ， ，此时 ，此时有1个极大值点，成立，
所以 的最大值为 ，
故答案为：
8．（2021·广东佛山·一模）已知函数 .从下面的两个条件中任选其中一个：
① ；②若 ，且 的最小值为 ， ，求解
下列问题：
(1)化简 的表达式并求 的单调递增区间；
(2)已知 ，求 的值.【答案】
(1) ，单调递增区间为 ， (2)
(1)
解：若选择条件① ；
，
由 ，
得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
若选择条件②，若 ，即 是 的最大值点， 是 的零点且 的最小值为 ，
设 的周期为T，
由此可得 ，即有 ，
∴
由 ，可得 ，即有
可得 或 ，
再结合 ，可得 ，
综上可得： ，
(2)解： ，
可得 ，
∵ ，
∴ ，
从而可得 ，即有 ，
∵
∴ ，
由 ，
可得 ，
故 .
考点二：三角函数的图象
【典例例题】
例1．（2022·广东·金山中学高三期末）为了得到函数 的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【详解】 ．
故选：A.例2．（多选）（2022·广东中山·高三期末）已知函数 的部分图
象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 图象向右平移 个单位可得函数 的图象
【答案】AB
【详解】解：由图可知 ， ，
所以 ，所以 ，
则 ，
将点 代入得： ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
对于A，因为 ，
所以函数 的图象关于点 对称，故A正确；
对于B，因为 ，为最小值，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上不单调递减，故C错误；
对于D，将函数 图象向右平移 个单位，
可得函数 ，故D错误.
故选：AB.
【方法技巧与总结】
1.图象变换过程中务必分清式相位变换，还是周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的
系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.
y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)
2.已知函数 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最
低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个
零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【变式训练】
1．（2022·广东广东·一模）将正弦函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数
的图象．则 图象的一个对称中心为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正弦函数 的对称中心是 ，若图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标
不变，那么对称中心是 ， ，当 时，对称中心是
，A符合，其他选项不成立.
故选：A
2．（2022·广东韶关·一模）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后的函数图象的一条
对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，将函数 的图象向左平移 个单位可得函数 的图象，
则平移后函数的对称轴方程为 ，取 可得， ，
所以直线 为平移后的函数图象的一条对称轴，
故选：B.
3．（2022·广东广州·一模）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 ，则 是偶函数 B．若 ，则 在区间 上单调递减
C．若 ，则 的图象关于点 对称 D．若 ，则 在区间 上单调递增
【答案】AC
【详解】由题设， ，时， 为偶函数，
在 上有 ， 递增，故A正确，B错误；
时， ，
此时， ，即 关于点 对称，
在 上有 ， 不单调，故C正确，D错误.
故选：AC
4．(多选)（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数 的图象向右平移 个单位长
度后得到函数 的图象，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 为奇函数 B．
C．当 时， 在 上有4个极值点 D．若 在 上单调递增，则 的最大值为5
【答案】BCD
【详解】∵
∴ ，且 ，
∴ ，即 为奇数，
∴ 为偶函数，故A错.
由上得： 为奇数，∴ ，故B对.由上得，当 时， ， ,由图象可知 在 上有4个极值点,故C
对，
∵ 在 上单调，所以 ,解得： ，又∵ ，
∴ 的最大值为5，故D对
故选：BCD.
5．(多选)（2022·广东东莞·高三期末）已知函数 ，若 且对任意 都有
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的图象向左平移 个单位后，图象关于原点对称
D． 的图象向右平移 个单位后，图象关于 轴对称
【答案】BD
【详解】 ，
，又对任意 都有 ，
则 为 的最大值，，
整理得： ，则 ，
所以 ，
因此A选项错误，B正确；
的图象向左平移 个单位后得到的图象对应的函数解析式为：
，该函数图象不关于原点对称，故C错误；
的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，
该图象关于y轴对称，故D正确，
故选：BD
6．（多选）（2022·广东清远·高三期末）将函数 图象上所有的点向右平移 个单
位长度后，得到函数 的图象，若函数 ，则（ ）
A． 的最小值是 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期是 D． 的单调递增区间是
【答案】ACD
【详解】由题意知， ，则
， 的最小值是 ，最小正周期是 ，故A，C正确；
令 ，得 ，若 ，则 ，故B错误；
令 ，得 ，即 的单调递增区间是 ，
故D正确．
故选：ACD.
7．（多选）（2022·广东惠州·一模）已知函数 （其中 ， ， ）的部分
图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于 直线对称 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增
D． 与图象 的所有交点的横坐标之和为
【答案】BCD
【解析】根据图象求出函数解析式，再判断各选项．
【详解】由题意 ， ，∴ ，又 ，
，又 ，∴ ，
∴ ．∵ ，∴ 不是对称轴，A错；
，∴ 是对称中心，B正确；
时， ，∴ 在 上单调递增，C正确；
， ， 或 ，
即 或 ， ，又 ，∴ ，和为 ，D正确．
故选：BCD．
9．（2022·广东茂名·二模）已知函数 的部分图象如图所示．将函数 的图
象向左平移 个单位得到 的图象，则（ ）
A． ） B．
C． D．
【答案】D
【详解】由图象知， ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∵将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象，
∴ ，
故选：D．
10．（2022·广东惠州·二模）已知函数 的部分图象如图所示，
则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小正周期为 B．
C． 在 上单调递增 D． 为奇函数
【答案】ABD
【详解】由图知 ，由 ，得 ，又因为 ，所以 ，
由 得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 .
故 ，选项A正确；
又 ，所以 为函数的一条对称轴，故选项B正确；
由 ，得 ，
由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故C错误；
为奇函数，故D正确.
故选：ABD.
【巩固练习】
一、单选题
1．已知直线 是函数 的图象的一条对称轴，为了得到函数 的图象，
可把函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【详解】
依题意，直线 是函数 的图象的一条对称轴，
则 ，即 ，解得 ，因为 ，所以 ，
所以函数 ．
将 的图象，
向右平移 个单位长度得 ．
故选：B．
2．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【详解】
设 ，
则 ，即函数 是奇函数，
，则 ，而
所以 .
故选：C
3．已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期是 B．函数 在区间 上单调递减
C．函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数 的图象关于 对称
【答案】C
【详解】，
所以函数 的最小正周期是 ，A正确；
当 时， ，所以 单调递减，故B正确；
函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 ，
故C错误；
当 时， ，所以 ，
所以 的图象关于 中心对称，D正确.
故选：C
4．如图是函数 的图象的一部分，则要得到该函数的图象，只需
要将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A【详解】
由题图知： ，又 ，
，
解得 ，又
，
将 向左平移 得 .
故选：A.
二、多选题
5．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 为函数f(x)图象的一条对称轴
B．函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 后得到
C．函数f(x)在[－ ， ]上单调递增
D．函数 的值域为[－2， ]
【答案】AD
【详解】
解：对于A： ，选项A正确；
对于B：函数f(x)图象横坐标缩短为原来的一半，得到 ，再向左平移 后得到
，选项B错误；对于C：当 时， ，其中 ，不妨令 为
锐角，
当 即， 时，f(x)单调递增，
当 ，即 时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－ ， ]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为： ．
因此：可取区间[－ ， ]探究f(x)值域，
当 时， ，其中 ，
即： ，选
项D正确．
故选：AD.
6．设函数 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最小值为0
【答案】ABC
【详解】
当 时， ，所以 的图象关于点 对称，A正确；当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，B正确；
当 时， ， 在 上单调递减，故C正确；
当 时， ， 在 上的最小值为 ，D错误.
故选：ABC
7．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的图象关于原点对称
C．若 ，则 D．对 ， ， ，有 成
立
【答案】ACD
【详解】
∵函数 的周期 ，所以 恒成立，
故A正确；
又 ，所以 ， ，所
以 ，
所以 的图象不关于原点对称，故B错误；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，故C正确；因为 ，所以 ，故 ，
，又 ，即 ，
所以对 有 成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ___________；已知函数满足：① ；
② ；③函数在 上单调递减；
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
对于①，若 ，则 的图象关于 中心对称，
对于②，若 ，则 的图象关于 对称，
设 ，则 ， ，
又 的图象关于 对称，且函数在 上单调递减，
则 ，得
故答案为： （答案不唯一）
9．已知函数 的部分图象如图所示，则 ________．【答案】
【详解】
解：由 知， ，由五点法可知，
，即 ，又 ，所以
故答案为：
10．已知函数 ，若 ，且 在 上有最大值，没有最小值，
则 的最大值为______．
【答案】17
【详解】
由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得 ， 所以
.
由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得 ，又
，当 时， ，则 的最大值为17，,
故答案为：17
四、解答题11．已知函数
(1)求 的值；
(2)求函数 在 上的增区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为 ，值域为
【解析】
(1)
解：因为 ，
所以
，
即 ，
所以
(2)
解：由（1）可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
令 ，解得 ，即函数在 上的单调递增区间为 ；12．设 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数 ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)当 时， 取最大值，求 在 上的值域.
【答案】(1)若 ， 的面积为 ，
若 ， 的面积为 ；
(2)
【解析】
(1)
因为 ，
所以 ，即 ，
或 ，
由正弦定理可得 ,又 ，所以 ，
若 则
所以 ，
，
当 则
所以 ，
，(2)
．
因为 在 处取得最大值，所以 ，
即 ．因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
在 上的值域为 .
14．已知函数 ， 从下面两个条件：条件① 、条件
② 中选择一个作为已知．
(1)求 时函数 的值域；
(2)若函数 图象向右平移m个单位长度后与函数 的图象重合，求正数m的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
(1)
若选择条件①作为已知： ，
时， ，，
故函数 的值域为 ；
若选择条件②作为已知：
时， ， ，
故函数 的值域为 ；
(2)
若选择条件①作为已知：
函数 图象向右平移 个单位长度后，
得到函数 ，即 的图象，
∵ 的图象与函数 的图象重合．
∴ ， ，即 ， ，
当 为正数时， ．
若选择条件②作为已知：
函数 图象向右平移 个单位长度后，
得到函数 ，即 的图象．
的图象与函数 的图象重合．
∴ ， ，即 ， ，
当 为正数时， ．
15．已知函数 的部分图象如图所示．(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2
倍（纵坐标不变），得到函数 的图象．当 时，方程 恰有三个不相等的实数
根 ，求实数a的取值范围和 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【解析】
(1)
解：由图示得： ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ；
(2)
解：由已知得 ，
当 时， ，令 ，则 ，
令 ，则
， ， ， ，
所以 ，
因为 有三个不同的实数根 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
15．设 .
(1)若 ，求 使函数 为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)
因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以
(2)
在（1）成立的条件下， ，
因为 ，所以 ，
所以
所以
16．（已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数 关于点 中心对称，求 在 上的值域．
【答案】(1)最小正周期为 ， (2)
【解析】
(1)
．∴ 的最小正周期为 ，
令 ，∴ 的单调递增区间为(2)
．
∵ 关于点 中心对称，∴ ，∵ ，∴ ．
∴ ．当 ∴ ．
