第 07 讲 指数函数
（12 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数
2023年天津卷，第4题,5分
的图象(含正、弦、正切)根据函数图象选择解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有低有高，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指数函数的图像与性质，能够根据指数函数求定义域与值域
2.能掌握指数函数的图像特征
3.具备数形结合的思想意识，会利用函数图像解决比较大小最值等问题
4.会结合函数的奇偶性，解决指数函数的综合问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，考查内容比较广泛。
知识讲解
知识点一.指数函数的图象与性质
1.指数函数的定义：一般地，函数 y ＝ a x ( a > 0 ， a ≠1 )叫做指数函数，函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质y＝ax a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点(0,1)
性质 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
注意：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
知识点二.指数函数图象的特点
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系
为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越
高，底数越大．
3.函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
注意 解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．
考点一、指数函数的解析式
1
1.（2022·北京·高考真题）已知函数f(x)=
，则对任意实数x，有（ ）
1+2x
A．f(−x)+f(x)=0 B．f(−x)−f(x)=0
1
C．f(−x)+f(x)=1 D．f(−x)−f(x)=
3
2.（22-23 高三上·江苏常州·阶段练习）若 p：函数 f(x)=(m2−3m+3)mx是指数函数，
q:m2−3m+2=0，则q是p的（ ）条件
A．充要条件 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要1.（21-22高三上·广东江门·阶段练习）若函数f (x)同时具有下列性质：①f (x +x )=f (x )f (x )；②
1 2 1 2
当x∈(0,+∞)时，f (x)>1.请写出f (x)的一个解析式 .
2.（2020高三·全国·专题练习）函数y=(2a2−3a+2)ax是指数函数，则a的取值范围是
3.（22-23高三上·黑龙江七台河·期中）设函数f (x)=¿，且f(−2)=3，f(−1)=f(1)，则f(x)的解析
式为 ．
考点二、 指示函数求参问题
xex
1.（2023·全国·高考真题）已知f(x)= 是偶函数，则a=（ ）
eax−1
A．−2 B．−1 C．1 D．2
a⋅2x,x≥0,
2.（江西·高考真题）已知函数f(x)={ (a∈R)，若f(f(−1))=1，则a=（ ）
2−x,x<0
1 1
A． B． C．1 D．2
4 2
1−aex
1.（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若f(x)= sinx为偶函数，则a=（ ）
1+ex
A．1 B．0 C．−1 D．2
2.（2024·全国·模拟预测）设a>0且a≠1，若函数f (x)=(4x−3x)ax是R上的奇函数，则a=（ ）．
√6 √6 √3 √3
A． B． C． D．
6 3 3 6
ex−a
3.（2024·贵州毕节·三模）已知函数f(x)= 是奇函数，若f(2023)>f(2024)，则实数a的值为
ex+a
（ ）
A．1 B．−1 C．±1 D．0
4.（2024·全国·模拟预测）已知f(x)=¿是定义在R上的偶函数，则m−n=（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
考点 三 、 指数函数的定义域与不等式(x)
1.（2022高三·全国·专题练习）设函数f (x)=√4−2x，则函数f 的定义域为（ ）
2
A．[2,+∞) B．[4,+∞) C．(−∞,2] D．(−∞,4]
1 √ (1) x
2.（23-24高三下·北京·阶段练习）函数f (x)= + −8的定义域为（ ）
2x+10 2
A．(−∞,−5)∪(−5,−3) B．(−∞,−3) C．(−∞,−5)∪(−5,−3] D ．
(−∞,−3]
1. （ 21-22 高 三 上 · 内 蒙 古 乌 海 · 阶 段 练 习 ） 已 知 函 数 f (x)的 定 义 域 为 [-2,2]， 则 函 数
g(x)=f (2x)+√1−2x的定义域为
2.（2024高三·全国·专题练习）设函数f (x)=¿则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是（ ）
A．(−∞,−1] B．(0,+∞) C．(−1,0) D．(−∞,0)
3.（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3x−2−32−x，则满足f (x)+f (8−3x)>0的x的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4) B．(−∞,2) C．(2,+∞) D．(−2,2)
4.（2024高三·全国·专题练习）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1)=2，且对任意0≤x <x ，
1 2
f (x )−f (x )
都有 1 2 >−1，则不等式f(2x−1)<4−2x的解集为（ ）
x −x
1 2
A．(−∞,0) B．(0,+∞) C．(−∞,1) D．(0,1)
考点 四 、 指数函数的值域
1.（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数f(x)=1−3x的值域是（ ）
A．(−∞,1) B．(−∞,1] C．[0,1) D．[0,1]
2.（2024·上海杨浦·二模）若函数g(x)=¿为奇函数，则函数y=f (x)，x∈(0,+∞)的值域为 .
1.（23-24高三下·北京·开学考试）函数f (x)=¿的值域为 .
2.（2024·贵州·模拟预测）已知函数f(x)=2−x2+2x+3，则f(x)的最大值是
.3.（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=¿的值域为 ．
(1) √−x2+2x+3
4.（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）函数y= 的值域为 ，单调递增
2
区间为 .
考点 五 、 由指数函数定义域与值域求参
1.（2022·海南·模拟预测）已知函数f (x)=√2x−a的定义域为[2,+∞)，则a= ．
( 1 1)
2. （ 2023· 上 海 浦 东 新 · 模 拟 预 测 ） 设 f (x)=x + . 若 函 数 y=f (x)的 定 义 域 为
2x−a 2
(−∞,1)∪(1,+∞)，则关于x的不等式ax≥f (a)的解集为 .
( 1 1)
1.（2022高三·全国·专题练习）函数f(x)=x +
定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足
2x−a 2
不等式ax≥f（a）的实数x的集合为 ．
2.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若函数f (x)=¿有最小值，则m的取值范围是 .
3.（2024·四川成都·二模）已知函数f
(x)=2ax2−x+1的值域为M．若(1,+∞)⊆M，则实数a的取值范围
是（ ）
( 1] [ 1] ( 1] [1 ) [1 )
A． −∞, B． 0, C． −∞,− ∪ ,+∞ D． ,+∞
4 4 4 4 4
考点 六 、 指数函数过定点
1.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数y=2ax−2−3（a>0且a≠1）的图象恒过定点P，
则点P的坐标为 .
2.（23-24 高三上·福建莆田·阶段练习）函数 y=ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b)，若
9 1
m+n=b−k且m>0,n>0，则 + 的最小值为（ ）
m n
9 5
A．9 B．8 C． D．
2 21.（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数f (x)=ax−2+2（a>0且a≠1）的图像过定点P，且角
(11π
)
(9π
)
cos −α sin +α
α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则 2 2 等于（ ）
sin2(−π−α)
2 2 3 3
A．− B． C． D．−
3 3 2 2
2.（21-22 高三上·上海奉贤·阶段练习）已知f (x)=ax−2+2(a>0,a≠1)过定点 P，且 P 点在直线
1 2
mx+ny=1(m>0,n>0)上，则 + 的最小值= ．
m n
考点 七 、 指数函数的单调性
1.2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
2.（2023·全国·高考真题）设函数f (x)=2x(x−a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−2] B．[−2,0)
C．(0,2] D．[2,+∞)
1.（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（ ）
A．f (x)=lnx B．f (x)=−tanπ C．f (x)=x❑ 3 D．f (x)=|e❑ −x|
2.（2024·山西吕梁·二模）已知函数y=f (4x−x2)在区间(1,2)上单调递减，则函数f (x)的解析式可以
为（ ）
A．f (x)=4x−x2 B．f (x)=2|x|
C．f (x)=−sinx D．f (x)=x
(1) (x−a)(x+2)
3.（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）若函数f (x)= 在区间(−1,2)上单调递增，则a的取值
3
范围是（ ）
A．[0,6] B．[−2,0] C．[6,+∞) D．(−∞,0]
4.（2024·广东广州·三模）函数f (x)=¿，其中a>0且a≠1，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为
．考点 八 、 指数函数的图像
1.（2020·山东·高考真题）已知函数y=f (x)是偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=ax(0<a<1)，则该函数
在(−∞,0)上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-1】2. （2023·天津·高考真题）已知函数f (x)的部分图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为
（ ）
5ex−5e−x 5sinx
A． B．
x2+2 x2+1
5ex+5e−x 5cosx
C． D．
x2+2 x2+1(1) x
1.（·四川·高考真题）函数y= +1的图象关于直线y=x对称的图象大致是（ ）
2
A． B．
C． D．
1−ex
2.（2024·河北保定·二模）函数f(x)= cos2x的部分图象大致为（ ）
1+ex
A． B．
C． D．
3.（2024·天津·二模）已知函数y=f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）．
ex+1 ex−1 x2 x
A．f (x)= B．f (x)= C．f (x)= D． f (x)=
ex−1 ex+1 √3 x4−1 √3 x4−1考点 九 、 指数函数模型的实际应用
1.（2024·广东茂名·模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，
随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软
件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经
ex−e−x 3
网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx= ，经过某次测试得知tanhx = ，则当把变量减
ex+e−x 0 5
x
半时，tanh 0=（ ）
2
1 1
A． B．3 C．1 D． 或3
3 3
2.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有
关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，
参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85）
A．1 B．2 C．3 D．4
1.（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知
某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系．y=eax+b(a，b．为常数)，若
该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则
物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
2.（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料
和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳
3
2π
为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系：T= ⋅a2，
√GM
其中M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长
约为水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
3.（2024·新疆喀什·二模）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均
匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计
算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数
f(x)=aex+be−x（其中a,b为非零常数，e=2.71828⋯）来表示，当f(x)取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
A．此时x=lna B．此时a+b的最小值为2
C．此时2a+2b的最小值为2 D．此时lnalnb的最小值为0
考点 十 、 指数函数比较大小
1.（2023·全国·高考真题）已知函数 f (x)=e−(x−1)2 ．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
√3
2.（2024·河北沧州·二模）若 a=log 3,b=0.1 2 ,c=ln(sin22024)，则下列大小关系正确的是
8
（ ）
A．b<a<c B．c<b<a
C．a<b<c D．c<a<b
(5)− 5 (7) 3 14
1.（2024·甘肃兰州·二模）故a= 7，b= 5，c=log ，则 a，b，c 的大小顺序是
7 5 3 5
（ ）
A．b<a<c B．c<a<b C．b<c<a D．c<b<a
2.（2024·陕西西安·模拟预测）若e2a−eb>4a2−b2+1，则（ ）
A．4a2>b2 B．4a2<b2
1 a 1 b 1 a 1 b
C．( ) >( ) D．( ) <( )
4 2 4 2
π
3.（2024·北京石景山·一模）设a=20.3，b=sin ，c=ln2，则（ ）
12
A．c<b<a B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c
考点 十一 、 指数函数综合应用
1.（2024·宁夏银川·一模）已知定义在 R 上的偶函数f (x)满足f(x)=f(2−x)，当x∈[0,1]时，
f (x)=2x.函数g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为 .
2.（23-24 高三上·四川·期末）已知f (x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=¿，若函数g(x)=f (x)−k恰有5个零点，则k的取值范围是（ ）
A．(−2,−1)∪(1,2) B．(−2,2) C．(−1,0)∪(0,1) D．(−1,1)
1.（2024·广东深圳·一模）已知函数f (x)是定义域为R的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且对任意
x ,x ，均有f (x x )=f (x )f (x )成立，则下列函数中符合条件的是（ ）
1 2 1 2 1 2
A．y=ln|x| B．y=x3 C．y=2|x| D．y=|x|
2.（23-24 高三下·四川巴中·阶段练习）已知偶函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且
a=log 2，b=−ln3，c=2−0.3 则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
5
A．f(c)>f(a)>f(b) B．f(b)>f(c)>f(a)
C．f(a)>f(b)>f(c) D．f(c)>f(b)>f(a)
3.（2024·山东潍坊·二模）已知函数f (x)=¿则f (x)图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4.（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=axlna+(1+a) xln(1+a)，若f (x)<0在(−∞,0)上恒成立，则
实数a的取值范围是（ ）
( √5−1) ( √5−1] ( √5+1) ( √5+1]
A． 0, B． 0, C． 0, D． 0,
2 2 2 2
考点 十二 、 指数函数的奇偶性与对称性
1.（2024·内蒙古赤峰·一模）已知f (x)是定义在 R上的偶函数，且周期T=6.若当x∈[−3,0]时，
f(x)=4−x，则f (2024)=（ ）
1 1
A．4 B．16 C． D．
16 4
2.（2024·陕西西安·二模）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当0<x<2时，
f(x)=3x−lnx，则f(211)= .
1.（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知函数 f (x)为指数函数， g(x)为幂函数，若
ℎ(x)=f (x)+g(x)，且ℎ(1)=3，则f (−1)= ．
2.（2024·贵州毕节·二模）已知奇函数f (x)与偶函数g(x)满足f (x)+g(x)=ex，则下列结论正确的是
（ ）A．[f (2024)] 2 −[g(2024)] 2 =1 B．f (2024)=f (1012)g(1012)
C．g(2024)=[f (1012)] 2 +[g(1012)] 2 D．f (2024)−g(2024)=e−2024
3.（2024·山东烟台·一模）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f (2−x)=f (x)，当0≤x≤1时，
f (x)=2x−1，则f (log 12)=（ ）
2
1 1 1 1
A．− B．− C． D．
3 4 3 2
4⋅2010x+2
4.（2024高三下·全国·专题练习）已知f(x)= +xcosx(−1≤x≤1)，设函数f(x)的最大
2010x+1
值是M，最小值是N，则（ ）
A．M+N=8 B．M−N=8
C．M+N=6 D．M−N=6
1．（2024·山东青岛·二模）函数f (x)=a❑ x−a(a>0，a≠1)的零点为（ ）
A．0 B．1 C．(1,0) D．a
2．（2024·江西·模拟预测）函数f
(x)=3x2−2|x|的一个单调递减区间为（
）
A．(−∞,0) B．(−1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)
2x2cosx
3．（2024·福建南平·模拟预测）函数f (x)= 的部分图像大致为（ ）
2x+2−x
A． B．
C． D．
4．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，
肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：f
(x)=kab−x
（其中
k>0,b>0，a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现a=e.
若x=1表示该新产品今年的年产量，估计明年(x=2)的产量将是今年的e倍，那么b的值为（e为自然数对
数的底数）（ ）√5−1 √5+1
A． B． C．√5−1 D．√5+1
2 2
5．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知a>0且a≠1,b>0，且b≠1，若函数f(x)=ax
[ (1) x
+bx
]
为
2
偶函数，则（ ）
A．ab2=2 B．a2b=2
C．ab=√2 D．ab=2
ax b
6．（2024·广西河池·模拟预测）已知a>0且a≠1，则“b=−1”是“函数f (x)= + 为偶函数”的
b ax
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·四川成都·三模）已知函数f (x)=¿，则f (log 2)的值为
3
1
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数f(x)=1+lgx(x∈[ ,100])，则函数F(x)=2[f(x)]2−f(x2)的
10
值域为（ ）
1
A．[ ,16] B．[1,8] C．[2,16] D．[1,16]
2
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列{a }的通项公式为a =en2+μn，则“μ≥−21”是“
n n
∀n∈N*,a ≥a ”的（ ）
n 10
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·北京西城·三模）已知函数f(x)=2x，若∀x ,x ∈R，且x <x ，则下面结论错误的是
1 2 1 2
（ ）
(x +x ) f(x )+f(x )
A．f(x )<f(x ) B．f 1 2 < 1 2
1 2 2 2
C．f(x x )=f(x )+f(x ) D．f(x +x )=f(x )f(x )
1 2 1 2 1 2 1 2
4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数f (x)=ex(x−1)−x−1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C．√3 D．2
4
5 ． （ 2024 高 三 · 全 国 · 专 题 练 习 ） 已 知 函 数
f(x)= +sinx，
则
ex+1
f(−2020)+f(−2019)+⋯+f(−1)+f(0)+f(1)+⋯+f(2020)= .
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意x∈[1,3]，a≤2x+2−x”为假命题，则实数a的取值范围是1
7．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log ，c=log 3，则三者大小关系为 （按从小
1 3 2
4
到大顺序）
S−1
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d= 是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示
lnN
河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类
数S没有变化，生物个体总数由N 变为N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
1 2
A．3N =2N B．2N =3N
2 1 2 1
C．N2=N3 D．N3=N2
2 1 2 1
log b<log a<log c
2．（·天津·高考真题）已知 1 1 1 ，则（ ）
2 2 2
A．2b>2a>2c B．2a>2b>2c C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
3．（2019·全国·高考真题）已知a=log 0.2,b=20.2,c=0.20.3 ，则
2
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a
1 −0.8
4．（·天津·高考真题）已知a=21.2，b=( ) ，c=2log 2，则a, b, c的大小关系为
2 5
A．c<b<a B．c<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
