文档内容
第 09 讲 幂函数
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
充分条件的判定及性质 必要条件的判定及性质 比较指数幂的大小 判断
2024年天津卷，第2题,5分
一般幂函数的单调性
2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握幂函数的定义，能够灵活掌握幂函数的性质
2.能掌握幂函数的图像与综合性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图解决单调性与比较大小的问题
4.会解灵活运用幂函数的奇偶性与单调性，解决综合性问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查范围比较灵活。
知识讲解
知识点.幂函数
1.概念:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数
2.幂函数的图像及性质.1 1
y=
x
,
y=x2
, y=x2, y=x3, y=x
y=x y=x2 y=x3 1 y=x−1
y=x2
定义域 R R R [0,+∞） { x| xϵR且x≠0 }
值域 R [0,+∞） R [0,+∞） {y| yϵR且y≠0 }
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 增 x∈[0,+∞ ） 时 ， 增 增 x∈(0,+∞)时，减；
增； x∈(-∞，0)时，增.
x∈(-∞，0]时，
减.
3.幂值的大小比较
(1)直接法:当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
(2)转化法:当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
(3)中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别
比较，从而达到比较大小的目的.
4.幂函数性质的应用
利用幂函数的性质解不等式，实际上就是利用幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小
关系，解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
考点一、幂函数的解析式
1.（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数f (x)=(m2−m−1)x2m−3在(0,+∞)上单调递增，则实数m的值
为（ ）
A．2 B．1 C．−1 D．−2
2.（2023·四川成都·一模）已知幂函数f (x)=xα的图象过点P(3,9)，则α=（ ）
1
A． B．1 C．2 D．3
21
1.（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知幂函数 f (x)=(2m2−m)x m− 2在区间(0,+∞)上单调递增，
则m=（ ）
1
A．-2 B．1 C．− D．-1
2
1
2.（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若幂函数f(x)=xα的图象经过点(4, )，则α2= ．
2
3.（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点(2,4)，则函数的解析式为（ ）
A．y=2x B．y=x2 C．y=log x D．y=sinx
2
考点二、 幂函数的定义域
1.（2022·上海·模拟预测）下列函数定义域为R的是（ ）
1 1 1
A． y=x − 2 B．y=x−1 C． y=x3 D． y=x2
3
2.（23-24高三上·上海静安·期中）函数 y=(3x−2) − 4的定义域为 .
1.（23-24 高三下·上海松江·阶段练习）若函数f (x)=x−m2+2m+3(m∈Z)的定义域为 R，且
f (x+1)=f (−x−1)，则实数m的值为
2.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）设m∈R，若幂函数y=xm2−2m+1定义域为R，且其图像关于
y轴成轴对称，则m的值可以为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
考点 三 、 幂函数求值
1.（2024高三·全国·专题练习）若幂函数y=f (x)的图象经过点(2,√2)，则f (16)＝（ ）
1
A．√2 B．2 C．4 D．
2
2.（22-23高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数y=log (x−3)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，
a
点P在幂函数y=f (x)的图象上，则f (4)=（ ）A．−2 B．2 C．1 D．−1
1. （2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若f (a)=2，则a的值为（ ）
A．2或−√2 B．2或√2 C．√2或−√2 D．1或√2
2.（23-24高三上·四川眉山·期中）已知幂函数f (x)=(m2+m−1)xm的图象与坐标轴没有公共点，则
f (√2)=
3.（22-23高三上·江苏盐城·阶段练习）若函数y=ax−2+3（a>0且a≠1)的图象恒过定点Q，且点Q在
幂函数f(x)=xm的图象上，则f(4)= .
考点 四 、 幂函数的图像
t
1.（2024·天津·模拟预测）下列图象中，不可能成为函数f (x)=x3+ 的图象的是（ ）
x
A． B．
C． D．
2.（2024·四川南充·二模）已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
1 1 1
A． y=x2 B． y=x − 2 C．y=x3 D． y=x31.（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象分别是下降，
急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．c1
n
m
D．m,n是奇数，且 >1
n
考点 五 、 幂函数过定点1.（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知p：f (x)是幂函数，q：f (x)图象过点(0,0)，则p是q的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2022·四川乐山·一模）已知幂函数f(x)=xα和g(x)=xβ，其中α>β>0，则有下列说法：
①f(x)和g(x)图象都过点(1,1)；
②f(x)和g(x)图象都过点(−1,1)；
③在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是f(x)；
④在区间[1,+∞)上，增长速度更快的是g(x).
则其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
1.（22-23高三上·上海徐汇·期末）当α∈R时，函数y=xα−2的图象恒过定点A，则点A的坐标为
．
2.（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数f (x)=2+xa（a为不等于0的常数）的图象恒过定点
P，则P点的坐标为 .
考点 六 、 幂函数的单调性与奇偶性
1.（2024·广西·二模）下列函数中，在(0,2)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=√x−1 B．f (x)=x2−2x
1 1
C．f (x)= x D． f (x)=x4
2.（2024·北京朝阳·一模）已知a∈R，则“00)，α为实数，f(x)的导函数为f' (x)，在同一直角
坐标系中，f(x)与f' (x)的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）函数y=x3的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）设命题p:∃m∈R，使f (x)=(m−1)xm2−4m+3是幂函数，且在
(0,+∞)上单调递减；命题q:∀x∈(2,+∞),2x>x2，则下列命题为真的是（ ）
A．p∧(¬q) B．(¬p)∧q C．p∧q D．(¬p)∨q
4．（2024·陕西西安·二模）下列函数中，既是奇函数又在(−∞,+∞)上单调递减的是（ ）
1
A．y= B．y=x3
x
C．y=−x|x| D．y=3−x
{ 1 1 }
5．（2024高三·全国·专题练习）已知α∈ −2,−1,− , ,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数，且
2 2
在(0,+∞)上递减，则α= .
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=log (x−1)+3的图象经过定点A，且幂函数g(x)的图
a
(1)
象过点A，则g ＝ ．
2
7 ． （ 2022 高 三 · 全 国 · 专 题 练 习 ） 已 知 幂 函 数 y=f(x)的 图 象 过 点 (4,2)， 令
{1 }
a =f(n+1)+f(n),n∈N∗，记数列 的前n项和为S ，则S = ．
n a n 35
n
n
1．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知实数m,n满足(m+1) 3+m=(n−1) 3+n=0，则 =
m
（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
(1)
2．（2022·全国·模拟预测）设函数f (x)=¿，若f (a)=f (a+1)，则f =（ ）
a
1 1
A． B． C．2 D．6
4 2
x3−x
3．（23-24高三上·安徽·期中）函数f (x)= 在[−2,2]上的图象大致为（ ）
2|x|+1A． B． C．
D．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题p：函数f(x)=x−m2+m在区间(0,+∞)上单调递增，命题q：
m1，则x 的取值范围是（ ）
0 0
A．(−1,1)； B．(−1,+∞)；
C．(−∞,−2)∪(0,+∞)； D．(−∞,−1)∪(1,+∞)．
