文档内容
考点 26 三角函数的图象与性质（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正
弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
【知识点】
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，， ， ，
(2π，0)．
(2)在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，， ，
，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域
周期性
奇偶性 奇函数
单调递增区间
单调递减区间
对称中心
对称轴方程
常用结论1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
【核心题型】
题型一 三角函数的定义域和值域
三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
【例题1】（2024·陕西·模拟预测）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式1】（2023·河南·二模）已知偶函数 的图象的
相邻两条对称轴间的距离为 ，则函数 在区间 上的值域为 .
【变式2】（2023·上海嘉定·三模）函数 ， 的值域是 .
【变式3】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 的最小正
周期为 ，且
(1)求 的解析式；(2)设 求函数 在 内的值域．
题型二 三角函数的周期性与对称性
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，
而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝
Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
【例题2】（2023·山东·模拟预测）已知 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． 是周期函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象关于 对称
D．方程 在 有2个相异实根
【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的最小正周期为 ，
则函数 图象的一条对称轴方程为 ．
【变式2】（2024·北京海淀·二模）已知函数 .
（i）若 ，则函数 的最小正周期为 .
（ii）若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 .
【变式3】（2023·黑龙江·三模）已知函数 的图象是由的图象向左平移 个单位长度得到的．
(1)若 的最小正周期为 ，求 图象的对称轴方程，与 轴距离最近的对称轴的方
程；
(2)若 图象相邻两个对称中心之间的距离大于 ， 且 ，求 在
上的值域．
题型三 三角函数的单调性
(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个
整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性
弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
命题点1 求三角函数的单调区间
【例题3】（2022·全国·一模）设函数 ，其中 ， ，若
， ，则 在 上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．【变式1】（2024高三·江苏·专题练习）函数 的单调递增区间是
.
【变式2】（23-24高三下·北京西城·开学考试）函数 的单调递增
区间为 .
【变式3】（2024·山西临汾·三模）已知函数 的
图象可由函数 的图象平移得到，且关于直线 对称．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间．
命题点2 根据单调性求参数
【例题4】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数 的一条对称轴为 ，且 在 上单调，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1】（2024·河南·三模）在 中， ， 的最大值为 ．若函数
在区间 上单调递增，则 的最大值为 ．
【变式2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 在区间
上单调递减，则 的取值范围是 ．
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 在区间 上单调，
其中 为正整数， ，且 .
(1)求 图象的一条对称轴；
(2)若 ，求 的值．【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2022高三上·河南·专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ，则 的图像（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于 中心对称 D．关于 中心对称
3．（2024·河北·二模）已知函数 ，若对任意的
，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·重庆·二模）若函数 在 上单调递增，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数 的图象关于点 成
中心对称，则（ ）
A． 在区间 上单调递减
B． 在区间 上有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
6．（23-24高三上·广西·开学考试）已知 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 的图象的对称轴方程为
C．
D． 在 上单调递减
三、填空题
7．（22-23高三上·吉林·阶段练习）函数 的部分图
象如图所示，则函数 的解析式为 .8．（2024高三·上海·专题练习）已知集合 ， ，
则两集合间的关系是： ；
9．（2023·北京昌平·二模）若函数 的最大值为2，则
， 的一个对称中心为 .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在 中， ，求 周长的取值范围.
11．（2022·上海宝山·模拟预测）已知函数 ，其中
(1)若 且直线 是 的一条对称轴，求 的递减区间和周期；
(2)若 ，求函数 在 上的最小值；【综合提升练】
一、单选题
1．（2024·云南·二模）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津河东·一模）关于函数 ，下列结论正确的为（ ）
A． 的最小正周期为 B． 是 的对称中心
C．当 时， 的最小值为0 D．当 时， 单调递增
4．（2024·宁夏·二模）设函数 ，若对于任意的 ，都有
，则 的最小值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
5．（2024·四川自贡·一模）函数 的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
6．（2024·山东·二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到
函数 的图象，若 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西渭南·二模）关于函数 ，给出如下结论：
① 的图象关于点 对称
② 的图象关于直线 对称
③ 的最大值是3
④ 是函数 的周期
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·天津·二模）已知函数 ，
则下列结论正确的是（ ）A．若 相邻两条对称轴的距离为 ，则 ；
B．若 ，则 时， 的值域为 ；
C．若 在 上单调递增，则 ；
D．若 在 上恰有2个零点，则 .
二、多选题
9．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的一个周期为2 B． 的定义域是
C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上单调递增
10．（2024·贵州贵阳·二模）函数 的部分图象如图所示，
则（ ）
A．
B． 在 上的值域为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是11．（2024·海南·模拟预测）已知函数 的一个最大值点为 ，与之
相邻的一个零点为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 为奇函数
C． 在 上单调递增 D． 在 上的值域为
三、填空题
12．（2023·全国·模拟预测）函数 的图象的对称中心为
13．（2023·上海普陀·一模）若函数 在区间 上是严格增函数，则实数 的
取值范围为 .
14．（2022·全国·模拟预测）若函数 在 上单调递减，且在
上的最大值为 ，则 .
四、解答题
15．（2024·上海金山·二模）已知函数 ，记 ， ， ，
.
(1)若函数 的最小正周期为 ，当 时，求 和 的值；
(2)若 ， ，函数 有零点，求实数 的取值范围.16．（2023·广东佛山·一模）已知函数 在区间 上单调，其中 为
正整数， ，且 .
(1)求 图象的一个对称中心；
(2)若 ，求 .
17．（2024·四川成都·模拟预测）已知 ，设 .
(1)求函数 的对称中心；
(2)若 中，角 所对的边分别为 ， ，且 外接圆的半径为
， 是 边的中点，求线段 长度的最大值.18．（2020·山西大同·一模）已知 ， ，
(1)求 的最小正周期及单调递增区间；
(2)已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ， ，求 边上的
高的最大值.
19．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 ， ，求 .
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数 的两条相邻的对称轴的距离为
，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 的图象关于点 对称
C． 的图象关于直线 对称
D． 在 上单调递增
2．（2024·江苏南通·二模）已知函数 （ ）在区间 上单
调递增，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 的一个零点是 ，且
在 上单调，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 满足：对 ，有
，若存在唯一的 值，使得 在区间 上单
调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 的图象向左平移 个单位后
得到 的图象，则下列结论正确的是（ ）A．
B． 的图象关于 对称
C． 的图象关于 对称
D． 在 上单调递增
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且
有两个零点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．
C．若 ，则 D．
三、填空题
7．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，（ ， ，
）的大致图象如图所示，将函数 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再
向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为
.8．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的图像关
于点 成中心对称，则函数 在 上的单调递增区间为 .
9．（2024·全国·模拟预测）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”
的 条件．
四、解答题
10．（2022·浙江·模拟预测）已知 ，设函数 ．
(1)若 ，求函数f（x）的单调递增区间；
(2)试讨论函数f（x）在[－a，2a]上的值域．11．（2024·河北·二模）已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如
，对于函数 ，若存在 ，使得 ，则称
函数 是“ 函数”.
(1)判断函数 是否是“ 函数”；
(2)设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，若 不是“ 函数”，
求 的最小值；
(3)若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.
